Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques
Les fonctions de référence : cours de première technologique
Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une fonction de référence est une fonction simple dont on connaît bien la courbe et les propriétés ; elle sert de modèle pour étudier d'autres fonctions. 6
Affinef(x)=ax+b : droite, croissante si a>0, décroissante si a<0, constante si a=0.
Carréx↦x2 : parabole, décroissante sur ]−∞;0], croissante sur [0;+∞[, minimum 0 en x=0, courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Cubex↦x3 : croissante sur R, courbe symétrique par rapport à l'origine, de même signe que x.
Pour comparer x, x2 et x3 : entre 0 et 1, x3<x2<x ; au-delà de 1, l'ordre s'inverse.
Le signe et le tableau de variations d'une fonction se déterminent graphiquement à partir de sa courbe. 5
Pourquoi parler de fonctions de référence ?
Au lycée, tu rencontres des fonctions de plus en plus variées : coût d'une production, hauteur d'un objet qui tombe, volume d'un récipient, bénéfice d'une entreprise. Plutôt que de repartir de zéro à chaque fois, on s'appuie sur quelques fonctions dont on connaît parfaitement le comportement. Ce sont les fonctions de référence.
Dans ce cours, tu vas apprendre à reconnaître trois d'entre elles, à tracer leur courbe, à décrire leurs variations et à t'en servir pour lire un graphique ou comparer des nombres. Ces connaissances préparent l'étude des fonctions polynômes du second et du troisième degré, puis la résolution graphique d'équations.
Parmi les exemples les plus courants, on trouve les fonctions affines et les fonctions puissances, dont la fonction carré. 6 Le programme de première technologique s'appuie sur les méthodes déjà vues : fonctions et problèmes du premier degré, fonctions carré et cube. 5
Rappels : fonction, image, antécédent, variations
Un tableau de variations résume le comportement d'une fonction avec des flèches qui montent ou qui descendent. À partir d'une courbe, tu dois savoir lire où la fonction est positive ou négative, et sur quels intervalles elle croît ou décroît : le programme l'attend de toi. 5
La fonction affine
Démonstration · Pourquoi le signe de $a$ donne les variations
Prenons deux nombres x1<x2. Alors f(x2)−f(x1)=(ax2+b)−(ax1+b)=a(x2−x1). Comme x2−x1>0, ce produit a le signe de a. Si a>0, on obtient f(x2)>f(x1) : la fonction est croissante. Si a<0, on obtient f(x2)<f(x1) : elle est décroissante.
La fonction carré
Calculons quelques images pour comprendre l'allure de la courbe.
Quelques valeurs de la fonction carré
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
x²
9
4
1
0
1
4
9
Quelques valeurs de la fonction carré
Courbe de la fonction carréDémonstration · Pourquoi la fonction carré est croissante sur $[0\,;+\infty[$
Soient 0≤a<b. Alors b2−a2=(b−a)(b+a). Le facteur b−a est strictement positif et b+a l'est aussi (car b>0). Le produit est strictement positif : a2<b2. L'ordre est conservé, la fonction est croissante sur [0;+∞[.
Pour a<b≤0, on a b−a>0 mais b+a<0 : le produit est négatif, donc b2<a2. L'ordre est inversé, la fonction est décroissante sur ]−∞;0].
La fonction cube
Quelques valeurs de la fonction cube
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
x³
-27
-8
-1
0
1
8
27
Quelques valeurs de la fonction cube
Courbe de la fonction cube
Comparer x, x² et x³
Les trois fonctions x, x2 et x3 ne se rangent pas toujours dans le même ordre. Tout dépend de la position de x par rapport à 0 et à 1.
Démonstration · Justification
On a x2−x=x(x−1) et x3−x2=x2(x−1). Pour x>0, les facteurs x et x2 sont positifs : les deux différences ont donc le signe de x−1. Si x<1, elles sont négatives, donc x2<x et x3<x2. Si x>1, elles sont positives, donc x<x2<x3.
Lire une fonction sur sa courbe
Les fonctions de référence te donnent des modèles de courbes. Quand on te montre un graphique, tu peux en tirer le signe de la fonction et son tableau de variations, deux capacités du programme. 5
Bilan et erreurs à éviter
Les trois fonctions de référence
Fonction
Courbe
Symétrie
Variations
Affine ax+b
Droite
Aucune en général
Selon le signe de a
Carré x²
Parabole
Axe des ordonnées
Décroissante puis croissante
Cube x³
Courbe en S
Origine
Croissante sur R
Les trois fonctions de référence
Exercices corrigés
Exercice 1 Images par le carré
★☆☆Environ 5 min
Soit f la fonction carré. Calcule l'image de −1,5, puis donne les antécédents de 49.
Indice 1
Mets le nombre négatif entre parenthèses avant de le mettre au carré.
Indice 2
Une équation x2=49 a deux solutions opposées.
Voir la correction pas à pas
Image de −1,5 : f(−1,5)=(−1,5)2=2,25.
Antécédents de 49 : on résout x2=49.
Comme 72=49 et (−7)2=49, les antécédents sont 7 et −7.
L'image de −1,5 est 2,25 ; les antécédents de 49 sont −7 et 7.
Exercice 2 Volume d'un cube
★☆☆Environ 5 min
Un cube a une arête de 0,5 m. On note g(x)=x3 le volume d'un cube d'arête x mètres. Calcule son volume en mètres cubes, puis explique ce qui se passe si l'on double l'arête.
Indice 1
Remplace x par 0,5 dans x3.
Indice 2
Calcule aussi g(1) et compare.
Voir la correction pas à pas
On calcule g(0,5)=0,53=0,5×0,5×0,5=0,125.
Le volume est donc 0,125 m³.
Si l'arête double, elle passe à 1 m : g(1)=1 m³.
On compare : 1÷0,125=8. Le volume est multiplié par 8.
Le volume vaut 0,125 m³ ; doubler l'arête multiplie le volume par 8.
Exercice 3 Résoudre $x^3=-27$ et comparer
★★☆Environ 10 min
Résous x3=−27.
Sans calculatrice, range dans l'ordre croissant les nombres 0,3, 0,32 et 0,33.
Range de même (−3), (−3)2 et (−3)3.
Indice 1
La fonction cube est croissante sur R : une seule solution.
Indice 2
Entre 0 et 1, les puissances successives diminuent.
Voir la correction pas à pas
On cherche un nombre dont le cube vaut −27. Comme 33=27 et que (−x)3=−x3, on a (−3)3=−27.
La fonction cube étant croissante, la solution est unique : x=−3.
Pour 0,3, on a 0<0,3<1, donc 0,33<0,32<0,3, soit 0,027<0,09<0,3.
Pour −3 : (−3)2=9 et (−3)3=−27. L'ordre croissant est (−3)3=−27<(−3)<(−3)2=9.
La solution est −3 ; l'ordre croissant est 0,33<0,32<0,3 pour la deuxième question et (−3)3<−3<(−3)2 pour la troisième.
Exercice 4 Lire un graphique de la fonction carré
★★☆Environ 10 min
Une fonction h est définie sur [−2;3] par h(x)=x2. Dresse son tableau de variations et donne son minimum et son maximum.
Indice 1
Repère où la fonction change de sens.
Indice 2
Compare h(−2) et h(3) pour trouver le maximum.
Voir la correction pas à pas
La fonction carré est décroissante sur [−2;0] et croissante sur [0;3].
Valeurs aux bornes : h(−2)=4, h(0)=0, h(3)=9.
Le tableau est donc : 4, flèche descendante, 0, flèche montante, 9.
Le minimum est 0 (atteint en 0), le maximum est 9 (atteint en 3).
Sur [−2;3], le minimum vaut 0 et le maximum vaut 9.
Quiz
7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Un nombre négatif multiplié par lui-même donne un résultat positif : (−4)×(−4)=16. La réponse −16 correspond à −42, écriture sans parenthèses qui est une autre expression ; 8 et −8 viennent d'une multiplication par 2 au lieu d'un carré.
La fonction carré monte à partir de 0. Sur ]−∞;0] elle décroît : par exemple (−3)2=9>(−1)2=1. Elle n'est donc pas croissante sur R tout entier, et exclure 0 n'a aucun sens ici.
Pour a<b, on a toujours a3<b3, y compris pour des nombres négatifs : (−2)3=−8<(−1)3=−1. L'erreur tentante est de la confondre avec la fonction carré, qui change de sens en 0.
On résout x2=25 : 52=25 et (−5)2=25. Un seul antécédent est l'oubli classique de la solution négative ; aucun serait vrai pour −25, pas pour 25.
Pour x=0,5 : x2=0,25 et x3=0,125, d'où 0,125<0,25<0,5. L'ordre x<x2<x3 ne vaut que pour x>1 ; l'égalité n'a lieu que pour x=1 (ou x=0).
(−2)3=(−2)×(−2)×(−2)=4×(−2)=−8. Un produit de trois facteurs négatifs est négatif. La réponse 8 vient d'une erreur de signe : le cube conserve le signe de x, contrairement au carré.
Comme (−x)3=−x3, le point (−x;−x3) est le symétrique de (x;x3) par rapport à l'origine. La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées est celle de la fonction carré.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi dit-on « de référence » ?
Ces fonctions sont simples et bien connues : on s'en sert comme modèles pour comprendre des fonctions plus compliquées, souvent construites à partir d'elles. 6 Les savoir par cœur fait gagner du temps.
Comment savoir si une courbe est celle du carré ou du cube ?
Regarde la partie gauche du repère. Si la courbe reste au-dessus de l'axe des abscisses, descend jusqu'à l'origine puis remonte, c'est un carré. Si elle passe sous l'axe pour x<0 et qu'elle monte de bout en bout, c'est un cube.
Pourquoi $x^2=9$ a deux solutions mais $x^3=8$ une seule ?
Le carré donne la même image à deux nombres opposés, donc 3 et −3 conviennent. Le cube est croissant sur R : chaque valeur n'est prise qu'une fois, donc seul 2 convient pour 8.
Qu'est-ce qui peut tomber sur ce sujet à l'évaluation ?
Une courbe t'est souvent donnée : tu dois y lire le signe de la fonction et construire son tableau de variations. 5 Il faut donc savoir lire des images, des antécédents et des intervalles de croissance.