Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques

Fonctions de référence : exercices corrigés de 1re technologique

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une fonction de référence sert de modèle simple : on l'étudie pour elle-même et pour comprendre des fonctions plus compliquées.
Les fonctions affines, la fonction carré et la fonction cube forment le socle de ces exercices.
Calculer une image, c'est remplacer x par la valeur donnée, en gardant les parenthèses pour les nombres négatifs.
Un carré est toujours positif ou nul ; un cube garde le signe du nombre de départ.
Pour une fonction affine $f(x)=ax+b$ , deux valeurs connues suffisent à retrouver $a$ puis $b$ .

Comment utiliser ces exercices

Une fonction de référence est une fonction que l'on étudie parce qu'elle est simple, parce qu'elle est un bon exemple, ou parce qu'elle aide à comprendre toute une famille de fonctions.⁶ Parmi les plus étudiées, on trouve les fonctions affines et les fonctions puissances, dont la fonction carré.⁶ En première technologique, tu retrouves aussi les fonctions du premier degré, la fonction carré et la fonction cube, déjà rencontrées auparavant.⁵

Ces exercices te font manipuler ces trois familles : calculer des images, résoudre de petites équations, modéliser une situation et lire un signe. Ils sont classés par difficulté croissante. Cherche d'abord seul(e), avec papier et crayon, puis ouvre les indices, et seulement ensuite la correction.

Les exercices

Exercice 1 Calculer une image avec une fonction affine

★☆☆Environ 4 min

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x-2$ .

Calcule l'image de $4$ , c'est-à-dire $f(4)$ .

Indice 1

L'image de 4, c'est le résultat obtenu quand on remplace $x$ par 4.

Indice 2

Calcule d'abord la multiplication $3\times 4$ , puis soustrais 2.

Voir la correction pas à pas

On remplace $x$ par $4$ : $f(4)=3\times 4-2$ .
On effectue la multiplication : $3\times 4=12$ .
On soustrait : $12-2=10$ .
Conclusion : $f(4)=10$ .

L'image de $4$ par $f$ est $10$ . Pour une fonction affine, on remplace, on multiplie, puis on ajoute ou on soustrait.

Exercice 2 Carré et cube d'un nombre négatif

★☆☆Environ 5 min

On note $g(x)=x^2$ et $h(x)=x^3$ .

Calcule $g(-3)$ et $h(-3)$ .
Calcule $g(2)$ et $h(2)$ .
Que remarques-tu sur le signe des résultats lorsque $x$ est négatif ?

Indice 1

Écris $(-3)^2=(-3)\times(-3)$ et $(-3)^3=(-3)\times(-3)\times(-3)$ .

Indice 2

Un produit de deux nombres négatifs est positif ; avec un troisième facteur négatif, le signe change de nouveau.

Voir la correction pas à pas

$g(-3)=(-3)^2=(-3)\times(-3)=9$ .
$h(-3)=(-3)^3=9\times(-3)=-27$ .
$g(2)=2^2=4$ et $h(2)=2^3=8$ .
Pour $x=-3$ , le carré est positif ( $9$ ) alors que le cube est négatif ( $-27$ ).
Plus généralement, un carré n'est jamais négatif, alors qu'un cube garde le signe du nombre de départ.

Le carré « efface » le signe, le cube le conserve. C'est la différence de comportement à connaître entre ces deux fonctions.

Exercice 3 Un problème de tarif

★☆☆Environ 6 min

Une société de taxi facture une prise en charge de $2{,}5$ € puis $1{,}2$ € par kilomètre parcouru.

Exprime le prix $p(x)$ d'une course de $x$ kilomètres.
Quel est le prix d'une course de $15$ km ?

Indice 1

Le prix se compose d'une partie fixe et d'une partie proportionnelle aux kilomètres.

Indice 2

Une fonction de la forme $ax+b$ convient : $a$ est le prix du kilomètre, $b$ la prise en charge.

Voir la correction pas à pas

La partie fixe est $2{,}5$ €, le prix du kilomètre est $1{,}2$ €.
On obtient $p(x)=1{,}2x+2{,}5$ , une fonction affine.
Pour $15$ km : $p(15)=1{,}2\times 15+2{,}5$ .
On calcule $1{,}2\times 15=18$ , puis $18+2{,}5=20{,}5$ .
Conclusion : la course coûte $20{,}5$ €.

Une situation avec un montant fixe et un montant proportionnel se modélise par une fonction affine. Ici $a=1{,}2$ et $b=2{,}5$ .

Exercice 4 Retrouver une fonction affine à partir de deux valeurs

★★☆Environ 8 min

Une fonction affine $f$ vérifie $f(2)=7$ et $f(5)=16$ .

Détermine le coefficient $a$ et l'ordonnée à l'origine $b$ de $f(x)=ax+b$ .
Calcule $f(10)$ .

Indice 1

Le coefficient $a$ est le quotient de la variation des images par la variation des antécédents.

Indice 2

Une fois $a$ connu, utilise $f(2)=7$ pour trouver $b$ .

Voir la correction pas à pas

On calcule $a=\dfrac{f(5)-f(2)}{5-2}=\dfrac{16-7}{3}=3$ .
On écrit $f(x)=3x+b$ puis on utilise $f(2)=7$ : $3\times 2+b=7$ .
Donc $6+b=7$ , soit $b=1$ et $f(x)=3x+1$ .
On vérifie avec $f(5)=3\times 5+1=16$ : c'est cohérent.
Enfin $f(10)=3\times 10+1=31$ .

Deux couples (antécédent ; image) suffisent à déterminer une fonction affine. La vérification avec la seconde valeur évite les erreurs de calcul.

Exercice 5 Résoudre une équation avec le carré

★★☆Environ 6 min

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^2=49$ .
L'équation $x^2=-4$ a-t-elle des solutions réelles ? Justifie.

Donne comme réponse numérique la solution positive de la question 1.

Indice 1

Cherche un nombre positif dont le carré est 49, puis pense à son opposé.

Indice 2

Un carré peut-il être négatif ?

Voir la correction pas à pas

On cherche les nombres dont le carré vaut $49$ : $7^2=49$ et $(-7)^2=49$ .
L'équation $x^2=49$ a donc deux solutions : $-7$ et $7$ .
Pour $x^2=-4$ : un carré est toujours positif ou nul, il ne peut pas valoir $-4$ .
L'équation n'a aucune solution réelle.
La solution positive de la question 1 est $7$ .

Une équation $x^2=k$ a deux solutions si $k>0$ , une seule si $k=0$ et aucune si $k<0$ .

Exercice 6 Le cube et son volume

★★☆Environ 6 min

Le volume d'un cube d'arête $x$ (en cm) est donné par $V(x)=x^3$ , en cm³.

Un cube a un volume de $64$ cm³. Quelle est la longueur de son arête ?
Quelle est alors l'aire d'une de ses faces ?

Donne comme réponse numérique la longueur de l'arête.

Indice 1

Cherche un entier dont le cube vaut 64 en testant 2, 3, 4...

Indice 2

L'aire d'une face carrée se calcule avec le carré de l'arête.

Voir la correction pas à pas

On teste : $3^3=27$ , $4^3=64$ .
L'arête mesure donc $4$ cm.
La fonction cube étant croissante sur les nombres positifs, aucune autre arête positive ne convient.
Une face est un carré de côté $4$ cm : son aire est $4^2=16$ cm².
Conclusion : arête $4$ cm, aire d'une face $16$ cm².

Cube et carré se rejoignent dans les problèmes de géométrie : le cube pour les volumes, le carré pour les aires.

Exercice 7 Signe d'une fonction affine décroissante

★★☆Environ 8 min

On considère $f(x)=-2x+6$ .

Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $f(x)=0$ ?
Dresse le tableau de signes de $f$ et indique le sens de variation de $f$ .

Donne comme réponse numérique la valeur de $x$ de la question 1.

Indice 1

Résous l'équation $-2x+6=0$ en isolant $x$ .

Indice 2

Le coefficient de $x$ est négatif : que dit-il du sens de variation ?

Voir la correction pas à pas

On résout $-2x+6=0$ , soit $-2x=-6$ , donc $x=3$ .
Le coefficient $-2$ est négatif : la fonction est décroissante sur $\mathbb{R}$ .
Comme $f$ décroît et s'annule en $3$ , elle est positive pour $x<3$ et négative pour $x>3$ .
Vérification : $f(0)=6>0$ et $f(4)=-2<0$ .
Tableau de signes : $f(x)>0$ sur $]-\infty\,;3[$ , $f(3)=0$ , $f(x)<0$ sur $]3\,;+\infty[$ .

Pour une fonction affine, le signe de $a$ donne le sens de variation, et la valeur qui annule la fonction sépare les deux signes. La lecture graphique du signe et des variations fait partie des compétences travaillées au niveau.⁵

Exercice 8 Comparer le carré et le cube

★★★Environ 10 min

On compare les fonctions $g(x)=x^2$ et $h(x)=x^3$ pour $x\ge 0$ .

Complète le tableau de valeurs pour $x=0{,}5$ , $x=1$ et $x=2$ .
Pour quelle valeur non nulle de $x$ a-t-on $g(x)=h(x)$ ?
Entre $0$ et $1$ , quelle fonction a les plus grandes valeurs ? Et après $1$ ?

Donne comme réponse numérique la valeur non nulle de la question 2.

Indice 1

Pour la question 2, écris $x^2=x^3$ puis $x^3-x^2=0$ et factorise par $x^2$ .

Indice 2

Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul.

Voir la correction pas à pas

Pour $x=0{,}5$ : $g=0{,}25$ et $h=0{,}125$ . Pour $x=1$ : $g=h=1$ . Pour $x=2$ : $g=4$ et $h=8$ .
On résout $x^2=x^3$ , soit $x^3-x^2=0$ , donc $x^2(x-1)=0$ .
Un produit est nul si un facteur l'est : $x^2=0$ donne $x=0$ , et $x-1=0$ donne $x=1$ .
La seule valeur non nulle est donc $x=1$ .
Entre $0$ et $1$ , on a $x^3<x^2$ (exemple : $0{,}125<0{,}25$ ) ; après $1$ , on a $x^3>x^2$ (exemple : $8>4$ ).

Les deux courbes se croisent en $x=0$ et en $x=1$ ; entre ces deux valeurs le carré l'emporte, au-delà de $1$ c'est le cube. Un tableau de valeurs aide à deviner, la factorisation permet de le démontrer.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi parle-t-on de « fonctions de référence » ?

Ce sont des fonctions simples, étudiées pour elles-mêmes et qui servent de modèle pour comprendre des familles de fonctions plus larges.⁶ On peut aussi décomposer certaines fonctions plus compliquées en fonctions de référence pour mieux les étudier.⁶ Connaître leur comportement te donne donc des repères pour tout le reste du chapitre.

Comment ne pas me tromper de signe avec $x^2$ et $x^3$ ?

Mets des parenthèses dès que $x$ est négatif : $(-3)^2=9$ et $(-3)^3=-27$ . Retiens aussi le résultat attendu avant de calculer : un carré est positif ou nul, un cube a le même signe que $x$ . Si ton calcul contredit cette règle, tu as fait une erreur.

Comment savoir si une situation se modélise par une fonction affine ?

Cherche une partie fixe et une partie proportionnelle à une quantité qui varie : prise en charge plus prix au kilomètre, abonnement plus prix à l'unité, etc. Si la quantité ajoutée à chaque unité est toujours la même, la fonction est de la forme $ax+b$ , avec $a$ le montant par unité et $b$ la partie fixe.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques de première technologique (séries STD2A, STHR, STI2D, STL, STMG et ST2S) · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse

Programme de mathématiques de première technologique (séries STD2A, STHR, STI2D, STL, STMG et ST2S), Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 11 novembre 2026.
Programmes et ressources en mathématiques - voie générale et technologique, Éduscol (Ministère de l'Éducation nationale). Consulté le 11 novembre 2026.
Bulletin officiel n° 9 du 29 février 2024 - Programme de première technologique, Bulletin Officiel - Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 11 novembre 2026.
Ressources pédagogiques pour l'enseignement des mathématiques en série STI2D, Éduscol STI (Ministère de l'Éducation nationale). Consulté le 11 novembre 2026.
Annexe 1 - Spécifications pour la première technologique, Éduscol (Ministère de l'Éducation nationale). Consulté le 11 novembre 2026.
Fonction de référence, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Calculer une image avec une fonction affine

Exercice 2 Carré et cube d'un nombre négatif

Exercice 3 Un problème de tarif

Exercice 4 Retrouver une fonction affine à partir de deux valeurs

Exercice 5 Résoudre une équation avec le carré

Exercice 6 Le cube et son volume

Exercice 7 Signe d'une fonction affine décroissante

Exercice 8 Comparer le carré et le cube

Les questions qu'on se pose

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