Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques
Résolution graphique d'équations : cours de 1re technologique
Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Résoudre f(x)=k graphiquement, c'est chercher les abscisses des points de la courbe situés à la hauteur k : on trace la droite horizontale y=k.
Résoudre f(x)=g(x), c'est chercher les abscisses des points d'intersection des deux courbes.
On lit les solutions sur l'axe des abscisses, jamais sur l'axe des ordonnées.
La lecture graphique donne en général des valeurs approchées ; le calcul permet d'obtenir des valeurs exactes et de ne pas oublier de solution 2.
Une équation peut avoir zéro, une ou plusieurs solutions : il faut les chercher sur tout l'intervalle de l'énoncé.
Pourquoi résoudre une équation avec un graphique ?
Tu connais déjà plusieurs fonctions : les fonctions de référence, les polynômes du second degré et ceux du troisième degré. Pour chacune, tu sais tracer ou lire une courbe. Ce chapitre utilise ce savoir pour répondre à une question très fréquente : pour quelles valeurs de x une égalité est-elle vraie ?
Une telle question s'écrit sous la forme d'une équation. Par exemple : « à quelle quantité produite le coût atteint-il 500 euros ? » ou « à quel moment deux tarifs deviennent-ils égaux ? ». Quand on dispose de la courbe, on peut répondre sans aucun calcul compliqué : on regarde le dessin.
La résolution graphique s'appuie sur deux gestes de lecture que tu connais déjà : déterminer une image et déterminer un antécédent 1. Ce cours les rappelle, puis les utilise pour résoudre des équations.
Rappels : image, antécédent et lecture d'une courbe
Un nombre a une seule image, mais il peut avoir plusieurs antécédents, un seul, ou aucun. C'est ce qui rend les équations intéressantes : chercher les antécédents de b, c'est justement résoudre l'équation f(x)=b.
Résoudre une équation f(x) = k
Résoudre x² − 1 = 3 avec la droite y = 3 · La droite horizontale y = 3 coupe la parabole en deux points : les abscisses sont −2 et 2.
Résoudre une équation particulière : f(x) = 0
Un cas revient très souvent : k=0. La droite y=0 est alors l'axe des abscisses lui-même.
Résoudre une équation f(x) = g(x)
Valeurs approchées, valeurs exactes
Sur un dessin, un point d'intersection se lit avec une précision limitée : la taille du graphique, l'épaisseur du trait et la graduation des axes jouent tous un rôle. Ce que tu lis est donc, le plus souvent, une valeur approchée.
Le calcul procède autrement. En résolvant l'équation, tu obtiens l'ensemble des solutions, chacune écrite sous sa forme exacte, comme 3 ou 21. La lecture sur la courbe, elle, se contente d'une estimation 2.
Les deux méthodes se complètent. Le graphique aide à comprendre la situation, à repérer combien de solutions on peut attendre et à les situer. Le calcul précise ensuite leur valeur et évite d'en oublier une. Prends l'habitude de les associer chaque fois que l'énoncé le permet.
Quand une affirmation du type « l'équation n'a pas d'autre solution » est en jeu, un graphique ne suffit pas. Pour trancher, il faut résoudre l'équation, c'est-à-dire chercher toutes ses solutions par le calcul 2. Le graphique sert alors à repérer les solutions ; le calcul les confirme.
Méthode complète et erreurs à éviter
TraduireÉcris l'équation sous la forme f(x) = k ou f(x) = g(x).
TracerTrace la droite y = k, ou repère la deuxième courbe.
RepérerMarque tous les points d'intersection sur l'intervalle.
LireLis chaque abscisse sur l'axe horizontal.
VérifierRemplace x par chaque valeur et conclus avec S.
Les étapes d'une résolution graphique
Exercices corrigés
Exercice 1 Résoudre f(x) = 5 avec une parabole
★☆☆Environ 8 min
La fonction f est définie par f(x)=x2−4. Sa courbe est une parabole dont le point le plus bas est (0;−4).
Quelle droite faut-il tracer pour résoudre f(x)=5 ?
Donne l'ensemble des solutions.
Vérifie par le calcul.
On demande, dans la réponse, la solution positive.
Indice 1
La droite horizontale passe par la hauteur 5.
Indice 2
Une parabole symétrique par rapport à l'axe des ordonnées donne deux solutions opposées.
Voir la correction pas à pas
On trace la droite horizontale d'équation y=5.
Elle coupe la parabole en deux points symétriques, d'abscisses −3 et 3.
Donc S={−3;3}.
Vérification : 32−4=9−4=5 et (−3)2−4=5.
La solution positive est 3.
L'équation a deux solutions opposées, −3 et 3, car la parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Exercice 2 Intersection d'une parabole et d'une droite
★★☆Environ 12 min
On donne f(x)=x2−2x−3 et g(x)=x+1, représentées dans le même repère.
Que représentent graphiquement les solutions de f(x)=g(x) ?
On lit des intersections d'abscisses −1 et 4. Vérifie ces deux valeurs par le calcul.
Donne l'ensemble des solutions.
On demande, dans la réponse, la plus grande solution.
Indice 1
Pour vérifier, calcule f(x) et g(x) séparément.
Indice 2
Les solutions sont des abscisses, pas des hauteurs.
Voir la correction pas à pas
Les solutions sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes.
Pour x=−1 : f(−1)=1+2−3=0 et g(−1)=−1+1=0. Les images sont égales.
Pour x=4 : f(4)=16−8−3=5 et g(4)=4+1=5. Les images sont égales.
Donc S={−1;4}.
La plus grande solution est 4.
Les deux valeurs lues sont exactes : le calcul confirme la lecture.
Exercice 3 Les zéros d'une fonction du troisième degré
★★★Environ 12 min
Soit f(x)=x3−x dont la courbe coupe l'axe des abscisses à plusieurs endroits.
Que représentent graphiquement les solutions de f(x)=0 ?
On lit les abscisses −1, 0 et 1. Vérifie chacune.
Combien l'équation a-t-elle de solutions ?
Indice 1
Remplace x par chaque valeur dans x3−x.
Indice 2
Compte les points d'intersection avec l'axe des abscisses.
Voir la correction pas à pas
Les solutions sont les abscisses des points où la courbe rencontre l'axe des abscisses.
f(−1)=(−1)3−(−1)=−1+1=0.
f(0)=0−0=0.
f(1)=1−1=0.
Les trois valeurs conviennent : S={−1;0;1}, soit 3 solutions.
Une fonction du troisième degré peut avoir jusqu'à trois zéros ; ici elle les atteint tous.
Quiz
6 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
La droite y=2 regroupe les points de hauteur 2 ; ses intersections avec la courbe donnent les antécédents de 2, donc les solutions. La droite x=2 ne donne que l'image de 2 : c'est l'erreur de confondre antécédent et image. Quant à l'axe des abscisses, il correspond à f(x)=0, pas à f(x)=2.
Les solutions sont des valeurs de x, donc des abscisses. Les ordonnées des points d'intersection donnent la valeur commune des deux fonctions, ce qui est tentant mais ne répond pas à la question. Les sommets et l'origine n'ont pas de lien avec l'égalité.
Chaque point d'intersection fournit une abscisse différente, donc une solution : il y en a trois. Répondre 1 ou 2 revient à oublier des points. On ne peut pas dire « impossible à dire », puisque le graphique permet de compter.
C'est faux : la lecture graphique donne en général une valeur approchée, alors que la résolution par le calcul donne les valeurs exactes 2. Une valeur peut sembler exacte sur le dessin sans l'être, comme 3.
On cherche x2−1=8, donc x2=9. La solution positive est 3 ; l'autre solution est −3. Donner 9 reviendrait à lire x2 au lieu de x.
Sans point d'intersection, aucun antécédent de −5 n'est visible : l'ensemble des solutions est vide. La valeur −5 est une hauteur, pas une abscisse, d'où l'erreur du dernier choix.
Les questions qu'on se pose
Quelle différence entre une image et un antécédent ?
L'image d'un nombre a est la valeur f(a) : on part de l'abscisse et on lit l'ordonnée. Un antécédent de b est un nombre x tel que f(x)=b : on part de l'ordonnée et on lit l'abscisse. Résoudre f(x)=b revient à chercher les antécédents de b1.
Pourquoi ma réponse graphique est-elle différente de celle du calcul ?
La lecture sur un dessin est limitée par la précision du tracé, d'où une valeur approchée. Le calcul donne la valeur exacte 2. Écris les deux et indique que la lecture est approchée. Si l'écart est important, vérifie que tu as lu une abscisse et pas une ordonnée.
Comment être sûr de ne pas oublier une solution ?
Trace toute la droite horizontale, de gauche à droite, sur l'intervalle de l'énoncé, et compte chaque point d'intersection. Une courbe qui monte puis redescend coupe souvent la droite deux fois. Vérifie ensuite chaque valeur par le calcul.
Que faire si l'énoncé demande de justifier ?
Le graphique ne suffit pas pour affirmer que toutes les solutions sont trouvées. Remplace x par chaque valeur lue dans l'équation pour montrer qu'elle convient, et utilise un calcul quand on te demande de démontrer qu'une affirmation est vraie ou fausse 2.