Résolution graphique d'équations : exercices de 1re techno

La courbe est une droite. Elle coupe l'axe des abscisses au point d'ordonnée 0.

Sur le tracé, ce point a pour abscisse 2 : la solution lue est $x=2$.

Vérification : $f(2)=2\times 2-4=0$. La valeur lue convient.

Par le calcul : $2x-4=0$ donne $2x=4$, donc $x=2$.

On trace la droite horizontale $y=9$ sur le même repère que la parabole.

Elle coupe la parabole en deux points, de part et d'autre de l'axe des ordonnées.

Les abscisses lues sont $-3$ et $3$.

Vérification : $(-3)^2=9$ et $3^2=9$.

La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points.

Les abscisses lues sont $-1$ et $3$.

Vérification : $f(-1)=1+2-3=0$.

Vérification : $f(3)=9-6-3=0$.

Les deux valeurs conviennent.

La parabole et la droite se coupent en deux points.

Les abscisses lues sont environ $1$ et $4$.

Calcul : $f(x)=g(x)$ équivaut à $x^2-4x+1-x+3=0$, soit $x^2-5x+4=0$.

Vérification de $1$ : $f(1)=1-4+1=-2$ et $g(1)=1-3=-2$.

Vérification de $4$ : $f(4)=16-16+1=1$ et $g(4)=4-3=1$.

Une équation du second degré a au plus deux solutions : on les a toutes.

Le point le plus bas de la parabole a pour coordonnées $(2\,;\,-3)$, car $(x-2)^2\geq 0$.

Pour $k=-5$, la droite passe sous ce point : aucun point commun, donc aucune solution.

Pour $k=-3$, la droite touche la courbe en un seul point : une solution, $x=2$.

Pour $k=0$, la droite coupe la parabole deux fois : $(x-2)^2=3$ donne $x=2-\sqrt{3}\approx 0{,}27$ ou $x=2+\sqrt{3}\approx 3{,}73$.

La courbe coupe l'axe des abscisses en trois points, d'abscisses lues environ $-1{,}7$, $0$ et $1{,}7$.

On factorise : $x^3-3x=x(x^2-3)$.

Le produit est nul si $x=0$ ou si $x^2=3$.

On obtient $x=-\sqrt{3}$, $x=0$ ou $x=\sqrt{3}$.

La valeur exacte de la plus grande solution est $\sqrt{3}\approx 1{,}732$, alors que la lecture graphique ne donnait que $1{,}7$.

Sur le tracé, la droite coupe la courbe en $x=2$ et semble la toucher près de $x=-1$ : deux points communs.

$f(-1)=-1+3=2$ : $-1$ est solution.

$f(2)=8-6=2$ : $2$ est solution.

Développement : $(x^2+2x+1)(x-2)=x^3-2x^2+2x^2-4x+x-2=x^3-3x-2$.

$f(x)=2$ équivaut à $(x+1)^2(x-2)=0$, donc à $x=-1$ ou $x=2$.

Il n'y a pas d'autre solution : le tracé ne pouvait pas le garantir, le calcul oui.

L'aire vaut $x(x+3)=x^2+3x$. On résout donc $x^2+3x=10$.

La droite $y=10$ coupe la courbe en un point d'abscisse positive, environ $2$.

Vérification : $2^2+3\times 2=4+6=10$.

Par le calcul : $x^2+3x-10=0$ équivaut à $(x-2)(x+5)=0$, donc $x=2$ ou $x=-5$.

La valeur $-5$ est impossible pour une largeur, on garde $x=2$.