Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques

Épreuve et loi de Bernoulli : cours de 1re technologique

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues seulement : le succès (probabilité $p$ ) et l'échec (probabilité $1-p$ ).
La variable aléatoire $X$ qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ : $P(X=1)=p$ et $P(X=0)=1-p$ .
Son espérance vaut $E(X)=p$ : c'est la probabilité du succès.
Répéter $n$ épreuves identiques et indépendantes se représente par un arbre pondéré ; on multiplie les probabilités le long d'un chemin et on additionne celles des chemins qui réalisent l'événement.
Dans un arbre, la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1 ; l'arbre de $n$ épreuves compte $2^n$ chemins complets.

Deux issues seulement : l'épreuve de Bernoulli

Tu as déjà travaillé avec des arbres pondérés et des variables aléatoires. Beaucoup de situations de la vie courante se résument à une question à deux réponses : la pièce tombe-t-elle sur pile ? Le client achète-t-il le produit ? La pièce fabriquée est-elle conforme ? Dans chaque cas, il n'y a que deux résultats possibles. Les mathématiciens ont donné un nom à ces expériences : ce sont des épreuves de Bernoulli. Elles servent de brique de base pour construire des situations plus riches, comme la répétition d'une même expérience plusieurs fois de suite, que tu verras plus loin dans ce cours.

Le mot « succès » est une convention. Il ne veut pas dire que le résultat est heureux : c'est simplement l'issue que toi tu choisis de suivre. Tu peux très bien appeler « succès » le fait de tirer une pièce défectueuse si c'est elle qui t'intéresse. L'autre issue s'appelle alors « échec ».

Reconnaître une épreuve de Bernoulli

DécrireDis ce qu'on fait : un tirage, un lancer, un contrôle.
Nommer le succèsChoisis l'issue qui t'intéresse.
VérifierTout le reste forme une seule autre issue : l'échec.
Calculer pProbabilité du succès ; l'échec vaut 1 - p.
ConclureÉcris : épreuve de Bernoulli de paramètre p.

Reconnaître une épreuve de Bernoulli · Méthode en cinq étapes pour reconnaître une épreuve de Bernoulli.

La loi de Bernoulli et son espérance

Pour travailler avec des calculs, on traduit l'épreuve en nombres. On définit une variable aléatoire $X$ qui prend la valeur 1 quand l'épreuve se termine par un succès, et la valeur 0 quand elle se termine par un échec. C'est un codage très simple, mais il permet d'utiliser tout ce que tu sais déjà sur les lois de probabilité et l'espérance.

Le tableau de la loi de $X$ est donc très court :

Valeur $x_i$	0	1
$P(X=x_i)$	$1-p$	$p$

La somme des deux probabilités vaut $(1-p)+p=1$ , comme pour toute loi de probabilité. Si une des deux cases est connue, tu retrouves donc l'autre par soustraction.

Démonstration · Pourquoi l'espérance vaut $p$

On applique la définition de l'espérance : on multiplie chaque valeur par sa probabilité, puis on additionne.

$E(X)=0\times P(X=0)+1\times P(X=1)=0\times(1-p)+1\times p=p.$

Le premier terme est nul, il ne reste que $p$ .

Ce résultat a une signification concrète. Si tu répètes l'épreuve un grand nombre de fois, la proportion de succès que tu observes se rapproche de $p$ . L'espérance $p$ représente donc la valeur moyenne de $X$ : si $p=0{,}3$ , alors en moyenne $X$ vaut $0{,}3$ , c'est-à-dire que 3 épreuves sur 10 environ donnent un succès. Une simulation proposée par Éduscol permet d'ailleurs d'observer la fluctuation des fréquences de succès sur des échantillons d'une variable de Bernoulli. ²

Interpréter les écritures {X = a} et {X ≤ a}

Le programme demande de savoir lire des écritures comme $\{X=a\}$ et $\{X\leqslant a\}$ , puis de calculer leur probabilité. ¹ Ce sont des événements : on les décrit avec des mots, puis on en cherche la probabilité dans la loi de $X$ .

Répéter l'épreuve : l'arbre pondéré

Une seule épreuve ne suffit pas toujours. On peut lancer la pièce deux fois, tirer trois boules avec remise, contrôler quatre pièces. Le programme s'intéresse à la répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. ¹ Identiques veut dire que le paramètre $p$ est le même à chaque fois. Indépendantes veut dire que le résultat d'une épreuve ne change pas les probabilités des suivantes (c'est le cas d'un tirage avec remise, ou de lancers successifs d'une même pièce).

Pour calculer des probabilités, on représente la répétition par un arbre. Au niveau de la première technologique, on le fait pour $n$ au plus égal à 4. ³ Chaque épreuve ajoute un niveau à l'arbre, avec deux branches par nœud : une branche S (succès) de probabilité $p$ et une branche E (échec) de probabilité $1-p$ . Avec $n$ épreuves, l'arbre possède $2^n$ chemins complets. ⁴

ExempleDeux épreuves avec $p=0{,}3$

On répète deux fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $0{,}3$ . L'arbre a $2^2=4$ chemins complets :

Chemin	Calcul	Probabilité
SS	$0{,}3\times 0{,}3$	$0{,}09$
SE	$0{,}3\times 0{,}7$	$0{,}21$
ES	$0{,}7\times 0{,}3$	$0{,}21$
EE	$0{,}7\times 0{,}7$	$0{,}49$

Vérification : $0{,}09+0{,}21+0{,}21+0{,}49=1$ .

Probabilité d'obtenir exactement un succès : on garde SE et ES, donc $0{,}21+0{,}21=0{,}42$ .

Probabilité d'obtenir au moins un succès : on peut additionner SS, SE et ES, ce qui donne $0{,}09+0{,}42=0{,}51$ . On peut aussi passer par l'événement contraire « aucun succès » (le chemin EE) : $1-0{,}49=0{,}51$ .

Un peu d'histoire : Jacques Bernoulli

Le nom de ces épreuves rend hommage à Jacques Bernoulli, mathématicien et physicien suisse né et mort à Bâle, entre 1654 et 1705. ⁵ Il appartenait à une famille de la même ville : il était le frère de Jean Bernoulli et l'oncle de Daniel et Nicolas Bernoulli. ⁵

Son œuvre la plus originale, Ars Conjectandi, a été publiée à Bâle en 1713, soit huit ans après sa mort. Le travail était resté inachevé, mais il est encore considéré comme un texte majeur pour la théorie des probabilités. ⁵ Dans la dernière partie de ce livre, il énonce et démontre la loi des grands nombres. ⁵ C'est cette idée que tu rencontres déjà de façon intuitive : plus on répète une épreuve, plus la fréquence des succès se stabilise autour de $p$ .

Méthode de rédaction et pièges à éviter

ExempleExemple rédigé complet

Énoncé. Un jeu consiste à tirer une carte dans un paquet de 10 cartes dont 4 sont gagnantes, puis à la remettre. On joue deux fois. Quelle est la probabilité de gagner exactement une fois ?

Rédaction.

Une partie est une épreuve de Bernoulli : le succès est « tirer une carte gagnante », $p=\dfrac{4}{10}=0{,}4$ , l'échec a pour probabilité $0{,}6$ .
La carte est remise : les deux parties sont identiques et indépendantes. On peut donc représenter la situation par un arbre à deux niveaux.
Les chemins qui donnent exactement un succès sont SE et ES.
$P(SE)=0{,}4\times 0{,}6=0{,}24$ et $P(ES)=0{,}6\times 0{,}4=0{,}24$ .
La probabilité cherchée est $0{,}24+0{,}24=0{,}48$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Reconnaître la loi et calculer l'espérance

★☆☆Environ 6 min

Une urne contient 9 boules blanches et 3 boules noires. On tire une boule au hasard. On appelle succès le fait de tirer une boule noire, et on note $X$ la variable aléatoire qui vaut 1 en cas de succès et 0 sinon.

Justifie que l'on a une épreuve de Bernoulli et donne son paramètre $p$ .
Donne la loi de $X$ .
Calcule $E(X)$ .

Indice 1

Compte d'abord le nombre total de boules dans l'urne.

Indice 2

Pour l'espérance, applique la formule $E(X)=0\times P(X=0)+1\times P(X=1)$ .

Voir la correction pas à pas

L'urne contient $9+3=12$ boules. Le tirage n'a que deux issues pour ce qui nous intéresse : boule noire (succès) ou boule blanche (échec). C'est donc une épreuve de Bernoulli.
Le paramètre est la probabilité du succès : $p=\dfrac{3}{12}=0{,}25$ .
La loi de $X$ est : $P(X=1)=0{,}25$ et $P(X=0)=1-0{,}25=0{,}75$ .
Espérance : $E(X)=0\times 0{,}75+1\times 0{,}25=0{,}25$ , ce qui est bien égal à $p$ .

$X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $0{,}25$ et $E(X)=0{,}25$ : en moyenne, une boule tirée sur quatre est noire.

Exercice 2 Au moins un succès sur deux épreuves

★★☆Environ 10 min

On lance deux fois de suite un dé équilibré à six faces. À chaque lancer, on appelle succès l'obtention d'un multiple de 3.

Justifie que chaque lancer est une épreuve de Bernoulli et donne $p$ .
Représente la situation par un arbre pondéré.
Calcule la probabilité d'obtenir au moins un succès sur les deux lancers.

Indice 1

Les multiples de 3 sur un dé sont les faces 3 et 6.

Indice 2

Pour « au moins un succès », compare le calcul direct avec le passage par l'événement contraire « aucun succès ».

Voir la correction pas à pas

Les issues favorables sont 3 et 6 : 2 faces sur 6. Chaque lancer a deux cas (multiple de 3 ou non), donc c'est une épreuve de Bernoulli avec $p=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ . La probabilité de l'échec est $\dfrac{2}{3}$ .
Les deux lancers sont identiques et indépendants. L'arbre a deux niveaux et $2^2=4$ chemins : SS, SE, ES, EE, avec les probabilités $\dfrac{1}{9}$ , $\dfrac{2}{9}$ , $\dfrac{2}{9}$ , $\dfrac{4}{9}$ (somme égale à $\dfrac{9}{9}=1$ ).
L'événement contraire de « au moins un succès » est « aucun succès », c'est-à-dire le chemin EE, de probabilité $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}$ .
La probabilité cherchée est donc $1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}$ . Contrôle par le calcul direct : $\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{9}=\dfrac{5}{9}$ , ce qui donne $0{,}556$ environ.

La probabilité d'obtenir au moins un multiple de 3 en deux lancers est $\dfrac{5}{9}\approx 0{,}556$ .

Exercice 3 Trois tirages avec remise

★★★Environ 12 min

Dans une urne, 2 boules sur 5 sont rouges, les autres sont vertes. On tire une boule, on note sa couleur, puis on la remet ; on répète l'opération trois fois en tout. Le succès est « tirer une boule rouge ».

Donne le paramètre $p$ de chaque tirage et explique pourquoi l'arbre à trois niveaux est adapté.
Combien de chemins l'arbre compte-t-il ? Quelle est la probabilité du chemin SSE ?
Calcule la probabilité d'obtenir exactement deux boules rouges.

Indice 1

Le nombre de chemins complets d'un arbre à $n$ niveaux avec deux branches par nœud est $2^n$ .

Indice 2

Les chemins à exactement deux succès sont ceux qui contiennent deux S et un E : place le E à chacune des trois positions.

Voir la correction pas à pas

Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli avec $p=\dfrac{2}{5}=0{,}4$ et une probabilité d'échec de $0{,}6$ . La boule est remise après chaque tirage, donc les trois épreuves sont identiques et indépendantes : on peut utiliser un arbre à trois niveaux ( $n=3$ est inférieur ou égal à 4).
L'arbre compte $2^3=8$ chemins. Le chemin SSE a pour probabilité $0{,}4\times 0{,}4\times 0{,}6=0{,}096$ .
Les chemins avec exactement deux succès sont SSE, SES et ESS.
Chacun a pour probabilité $0{,}4\times 0{,}4\times 0{,}6=0{,}096$ , car on multiplie les mêmes trois facteurs dans un ordre différent.
On additionne les trois chemins : $3\times 0{,}096=0{,}288$ .

La probabilité d'obtenir exactement deux boules rouges en trois tirages avec remise est $0{,}288$ .

Les questions qu'on se pose

Pourquoi appelle-t-on « succès » une issue qui n'est pas forcément agréable ?

C'est une convention de vocabulaire. Le succès est simplement l'issue dont tu veux la probabilité. Tu peux appeler succès le fait de tirer une pièce défectueuse. Ce qui compte, c'est de le préciser dans ta rédaction, car $p$ désigne la probabilité de cette issue-là.

Quelle différence y a-t-il entre une épreuve de Bernoulli et une loi de Bernoulli ?

L'épreuve est l'expérience aléatoire elle-même, avec ses deux issues. La loi est la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ qui code cette épreuve par 1 (succès) et 0 (échec). On passe de l'une à l'autre en définissant $X$ .

Comment savoir si je peux utiliser un arbre avec les mêmes probabilités à chaque niveau ?

Il faut que les épreuves soient identiques et indépendantes. Un tirage avec remise ou des lancers successifs d'une même pièce conviennent. Un tirage sans remise ne convient pas, car la composition de l'urne change et les probabilités du second tirage sont différentes.

Faut-il toujours dessiner l'arbre en entier ?

Pour $n$ petit, oui : cela évite d'oublier un chemin. Au niveau de la première technologique, on traite des arbres jusqu'à 4 épreuves. ³ Tu peux, si l'énoncé le permet, ne dessiner que les chemins utiles, mais vérifie que tu as bien compté tous ceux qui réalisent l'événement demandé.

Pourquoi l'espérance d'une variable de Bernoulli est-elle égale à $p$ ?

Parce que $X$ ne vaut que 0 ou 1. Dans la somme $0\times(1-p)+1\times p$ , le premier terme est nul et il ne reste que $p$ . ⁴ Cela signifie que la valeur moyenne de $X$ est la proportion de succès attendue.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques de la classe de première de la voie technologique · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse

Programme de mathématiques de la classe de première de la voie technologique, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 11 novembre 2026.
Programmes et ressources en mathématiques - voie GT, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Ressources complémentaires - Probabilités et statistiques, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Épreuve de Bernoulli, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Jacques Bernoulli, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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