Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques
Épreuve et loi de Bernoulli : fiche de révision de 1re techno
Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : le succès (probabilité p) et l'échec (probabilité 1−p).4
Le paramètrep est un réel compris entre 0 et 1 : c'est la probabilité du succès.4
La variable aléatoire X qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec suit la loi de Bernoulli de paramètre p ; son espérance vaut p.4
Répéter des épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes se représente par un arbre de probabilités (au programme avec n⩽4).3
L'épreuve de Bernoulli : deux issues, un paramètre
Le mot « succès » ne veut pas dire « bonne nouvelle ». C'est simplement l'issue que tu décides de suivre. Tu la choisis au départ, puis tu appelles « échec » tout le reste. Une fois ce choix fait, il n'y a plus que deux cas, et leurs probabilités s'additionnent pour faire 1.
La loi de Bernoulli et son espérance
Répéter des épreuves : arbre et notation
Méthode express et points de vigilance
Questions flash
5 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Il y a 3 boules noires sur 10, donc p=103=0,3.4 La valeur 0,7 est la probabilité de l'échec (tirer une blanche), pas celle du succès choisi. La valeur 0,5 ne conviendrait que si les deux couleurs étaient en nombre égal. Et 3 n'est pas une probabilité, qui est toujours comprise entre 0 et 1.
L'espérance d'une loi de Bernoulli de paramètre p vaut p.4 Ici E(X)=0×0,6+1×0,4=0,4. Écrire 0,6 reviendrait à prendre la probabilité de l'échec.
C'est faux : le dé a six issues, alors qu'une épreuve de Bernoulli en a seulement deux. Elle le devient quand on regroupe les issues, par exemple « obtenir 6 » contre « ne pas obtenir 6 ».
Chaque épreuve double le nombre de chemins : 23=8.4 Le nombre 6 vient de 2×3 et le nombre 9 de 32 : ce sont des confusions de calcul. Le nombre 3 ne compte que les épreuves, pas les chemins.
La variable vaut 1 en cas de succès (probabilité p) et 0 en cas d'échec (probabilité 1−p).4 Les deux probabilités s'additionnent donc pour faire 1. En revanche l'espérance vaut p et non 1−p : E(X)=0×(1−p)+1×p=p.
Les questions qu'on se pose
Comment choisir quelle issue est le succès ?
Tu le choisis librement, mais l'énoncé le précise souvent (« on appelle succès l'événement… »). Prends l'issue sur laquelle porte la question posée. Attention : ce choix décide de la valeur de p. Si tu inverses succès et échec, tu remplaces p par 1−p.
Pourquoi l'espérance d'une loi de Bernoulli est-elle égale à $p$ ?
Parce que X ne prend que deux valeurs, 0 et 1. Le calcul est E(X)=0×(1−p)+1×p=p. Le terme de l'échec est nul, il ne reste que la probabilité du succès.4 Elle s'interprète comme la proportion moyenne de succès sur un grand nombre de répétitions.
Quand peut-on dessiner un arbre de répétition d'épreuves de Bernoulli ?
Quand les épreuves sont identiques (même p à chaque étape) et indépendantes (le résultat d'une épreuve ne change pas les probabilités de la suivante). Le programme se limite à n⩽4 épreuves.3 Un tirage sans remise ne convient pas, car la composition de l'urne évolue.