Épreuve et loi de Bernoulli : exercices corrigés de 1re techno

L'expérience a deux issues seulement : la boule est rouge (succès) ou verte (échec). C'est donc bien une épreuve de Bernoulli.⁴

Nombre total de boules : $5+15=20$.

Cas favorables : 5 boules rouges.

Paramètre : $p=\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}=0{,}25$.

a. Deux issues, pile ou face : épreuve de Bernoulli. La pièce est équilibrée, donc $p=0{,}5$.⁴

b. Six issues sont notées séparément : ce n'est pas une épreuve de Bernoulli. Ce serait le cas si on ne retenait que « obtenir 6 » ou « ne pas obtenir 6 ».

c. Deux cas : la carte est un as ou ne l'est pas. C'est une épreuve de Bernoulli avec $p=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}=0{,}125$.

d. Une taille peut prendre de nombreuses valeurs : ce n'est pas une épreuve de Bernoulli.

Par définition, $P(X=1)=p=0{,}35$.

$P(X=0)=1-p=1-0{,}35=0{,}65$.

Espérance : $E(X)=0\times 0{,}65+1\times 0{,}35=0{,}35$.

On retrouve $E(X)=p$, comme le dit le cours.¹⁴ Ici, ce nombre est la proportion de succès attendue à long terme : environ 35 succès pour 100 répétitions.

Il y a deux issues : pièce défectueuse (succès, $X=1$) ou pièce conforme (échec, $X=0$). $X$ suit donc la loi de Bernoulli de paramètre $p=0{,}04$.¹⁴

$X$ ne prend que 0 et 1 : $\{X \le 0\}=\{X=0\}$, c'est l'événement « la pièce prélevée est conforme ».

$P(X \le 0)=P(X=0)=1-0{,}04=0{,}96$.

$E(X)=p=0{,}04$.

Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=\dfrac{3}{10}=0{,}3$, comme dans l'exemple d'une urne à 3 boules noires sur 10.⁴

Arbre : de la racine partent deux branches, N (probabilité 0,3) et B (probabilité 0,7). Du bout de chacune repartent les mêmes branches N (0,3) et B (0,7). L'arbre a donc 4 chemins complets.³

Chemin N puis B : $0{,}3\times 0{,}7=0{,}21$. Chemin B puis N : $0{,}7\times 0{,}3=0{,}21$.

Ces deux chemins sont incompatibles, on additionne : $0{,}21+0{,}21=0{,}42$.

Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=0{,}6$ ; la probabilité de face est $1-0{,}6=0{,}4$.

Chaque lancer double le nombre de branches : 2 puis 4 puis 8. L'arbre à trois répétitions comporte donc $2^3=8$ chemins complets, ce qui correspond à $2^n$ pour $n$ épreuves.⁴

Aucun pile signifie face, face, face : $0{,}4\times0{,}4\times0{,}4=0{,}064$.

Le contraire de « aucun pile » est « au moins un pile » : $1-0{,}064=0{,}936$.