Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques

Répétition d'épreuves indépendantes : cours de 1re techno

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Deux épreuves sont indépendantes quand le résultat de l'une ne change pas les probabilités de l'autre.
Pour deux épreuves indépendantes, la probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités rencontrées sur ses branches.
La répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes se représente par un arbre à $n$ niveaux, avec $p$ pour un succès et $1-p$ pour un échec.
Pour « exactement $k$ succès », on repère tous les chemins concernés, on calcule chacun, puis on additionne.
Pour « au moins un succès », on passe par l'événement contraire : $1-(1-p)^n$ .

Pourquoi répéter une expérience aléatoire ?

Tu connais déjà l'épreuve de Bernoulli : une expérience qui n'a que deux issues, le succès et l'échec. Un seul lancer, un seul tir, un seul tirage. Mais dans la vie courante, on répète souvent la même expérience : un joueur tire plusieurs fois au panier, une machine produit des pièces à la chaîne, on lance plusieurs fois un dé. La question devient alors : quelle est la probabilité d'obtenir tel ou tel résultat sur l'ensemble des répétitions ?

Le programme de première technologique demande de modéliser des cas simples d'expériences aléatoires à plusieurs épreuves indépendantes. ¹ Il y est aussi question de la probabilité associée à la répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. ¹ Ce cours te donne les outils pour y arriver : l'idée d'indépendance, la probabilité produit, l'arbre pondéré, puis le calcul pour $n$ répétitions.

Deux épreuves indépendantes

Le programme précise que, pour une expérience à deux épreuves indépendantes, le modèle adapté est celui de la probabilité produit. ² ³ Concrètement, voici ce que cela signifie. Notons $A$ un événement de la première épreuve et $B$ un événement de la seconde. Si les épreuves sont indépendantes, alors la probabilité d'avoir à la fois $A$ au premier tour et $B$ au second est :

$P(A \text{ puis } B) = P(A) \times P(B)$

On multiplie parce qu'on prend une « fraction d'une fraction ». Imagine 100 personnes qui font l'expérience. Si $A$ arrive pour 30 % d'entre elles, il reste 30 personnes. Si $B$ arrive ensuite pour 50 % de ces 30 personnes (c'est le sens de l'indépendance : la proportion de $B$ ne dépend pas de $A$ ), on obtient 15 personnes, soit 15 %. Et $0{,}3 \times 0{,}5 = 0{,}15$ .

L'arbre de probabilités à deux épreuves

Pour deux épreuves indépendantes, les attendus officiels consistent à dessiner un arbre pondéré, puis à lire la probabilité de chaque événement en suivant les chemins qui y mènent. ² Les ressources d'accompagnement reprennent cette même démarche. ³ Voyons comment l'arbre se construit et comment on le lit.

ExempleDeux tirs au but

Un joueur tente deux penalties de suite. À chaque tentative, il marque avec la probabilité $0{,}7$ , indépendamment des tentatives précédentes. On note $S$ le succès (but marqué) et $E$ l'échec.

L'arbre comporte quatre chemins :

Chemin	Calcul	Probabilité
$S$ puis $S$	$0{,}7 \times 0{,}7$	$0{,}49$
$S$ puis $E$	$0{,}7 \times 0{,}3$	$0{,}21$
$E$ puis $S$	$0{,}3 \times 0{,}7$	$0{,}21$
$E$ puis $E$	$0{,}3 \times 0{,}3$	$0{,}09$

Contrôle : $0{,}49 + 0{,}21 + 0{,}21 + 0{,}09 = 1$ . Les quatre chemins couvrent tous les cas possibles, la somme doit donc faire 1.

Probabilité de marquer exactement un but. Deux chemins conviennent : $S$ puis $E$ , et $E$ puis $S$ . Ils s'excluent l'un l'autre, donc on additionne :

$P = 0{,}21 + 0{,}21 = 0{,}42$

Répéter $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes

Le programme demande de représenter par un arbre de probabilités la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. ¹ L'idée est exactement celle des deux épreuves, étendue à plus de niveaux. L'arbre a $n$ niveaux. À chaque niveau, chaque point donne naissance à deux branches : $S$ avec la probabilité $p$ , $\overline{S}$ avec la probabilité $1-p$ .

Après un niveau, il y a 2 chemins ; après deux niveaux, 4 ; après trois niveaux, 8 ; après $n$ niveaux, $2^n$ chemins. On double à chaque épreuve car chaque chemin se prolonge de deux façons.

Calculer des probabilités d'événements : exactement $k$ succès, au moins un succès

Une fois l'arbre dressé, on veut souvent la probabilité d'un événement qui regroupe plusieurs chemins. Deux cas reviennent sans cesse.

ExempleTrois tirs à 0,8

Le tireur réussit chaque tir avec la probabilité $0{,}8$ , avec 3 tirs indépendants. Notons $R$ le nombre de tirs réussis.

Tous les chemins de l'arbre :

Chemin	Nombre de réussites	Probabilité
SSS	3	$0{,}8^3 = 0{,}512$
SSE	2	$0{,}8^2 \times 0{,}2 = 0{,}128$
SES	2	$0{,}128$
ESS	2	$0{,}128$
SEE	1	$0{,}8 \times 0{,}2^2 = 0{,}032$
ESE	1	$0{,}032$
EES	1	$0{,}032$
EEE	0	$0{,}2^3 = 0{,}008$

On en déduit :

$P(R=3) = 0{,}512$
$P(R=2) = 3 \times 0{,}128 = 0{,}384$
$P(R=1) = 3 \times 0{,}032 = 0{,}096$
$P(R=0) = 0{,}008$

Contrôle : $0{,}512 + 0{,}384 + 0{,}096 + 0{,}008 = 1$ .

La probabilité de réussir au moins deux tirs est $0{,}384 + 0{,}512 = 0{,}896$ .

Méthode complète et pièges à éviter

ExempleUn exemple de rédaction complète

Énoncé. Une machine produit une pièce défectueuse avec la probabilité $0{,}1$ . Les pièces sont produites indépendamment les unes des autres. On prélève 3 pièces. Quelle est la probabilité d'avoir exactement une pièce défectueuse ?

Rédaction. On répète 3 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli dont le succès est « la pièce est défectueuse » avec $p = 0{,}1$ . L'échec a la probabilité $0{,}9$ .

Trois chemins contiennent exactement une pièce défectueuse : DOO, ODO et OOD. Chacun a pour probabilité $0{,}1 \times 0{,}9^2 = 0{,}081$ .

$P = 3 \times 0{,}081 = 0{,}243$

La probabilité d'avoir exactement une pièce défectueuse est donc $0{,}243$ .

Représenter la situation : arbre, tableau et lecture

On peut résumer le résultat d'une répétition par un tableau qui donne la loi du nombre de succès. Dans l'exemple des trois tirs à $0{,}8$ :

Nombre de réussites $k$	0	1	2	3
$P(R=k)$	$0{,}008$	$0{,}096$	$0{,}384$	$0{,}512$

Ce tableau est une loi de probabilité : tous les nombres sont compris entre 0 et 1, et leur somme vaut 1. Il permet de retrouver rapidement n'importe quel événement : « au plus une réussite » vaut $0{,}008 + 0{,}096 = 0{,}104$ ; « au moins une réussite » vaut $1 - 0{,}008 = 0{,}992$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Deux lancers d'une pièce truquée

★☆☆Environ 5 min

Une pièce truquée donne « pile » avec la probabilité $0{,}3$ . On la lance deux fois, de manière indépendante. Quelle est la probabilité d'obtenir « pile » aux deux lancers ?

Indice 1

Les lancers sont indépendants : pense à la probabilité produit.

Voir la correction pas à pas

On note $S$ l'événement « obtenir pile » : $P(S) = 0{,}3$ .
Les deux lancers sont indépendants, donc on multiplie les probabilités le long du chemin $S$ puis $S$ .
$P = 0{,}3 \times 0{,}3 = 0{,}09$ .

La probabilité d'obtenir pile deux fois de suite est $0{,}09$ , soit 9 %.

Exercice 2 Trois tirs au panier

★★☆Environ 8 min

Une joueuse réussit un tir avec la probabilité $0{,}6$ , indépendamment des autres tirs. Elle tire 3 fois. Quelle est la probabilité qu'elle réussisse exactement 2 tirs ?

Indice 1

Liste les chemins qui contiennent 2 réussites et 1 échec.

Indice 2

Tous ces chemins ont la même probabilité.

Voir la correction pas à pas

Les trois chemins concernés sont SSE, SES et ESS.
Chaque chemin contient 2 succès et 1 échec : sa probabilité est $0{,}6^2 \times 0{,}4 = 0{,}36 \times 0{,}4 = 0{,}144$ .
Ces chemins s'excluent mutuellement : on additionne, soit $3 \times 0{,}144 = 0{,}432$ .

La probabilité de réussir exactement 2 tirs sur 3 est $0{,}432$ .

Exercice 3 Au moins une pièce défectueuse

★★★Environ 8 min

Un atelier fabrique des pièces dont chacune est défectueuse avec la probabilité $0{,}2$ , indépendamment des autres. On prélève 3 pièces. Quelle est la probabilité qu'au moins une soit défectueuse ?

Indice 1

Passe par l'événement contraire.

Indice 2

Quelle est la probabilité qu'aucune pièce ne soit défectueuse ?

Voir la correction pas à pas

L'événement contraire est « aucune pièce défectueuse », c'est-à-dire trois pièces conformes.
Une pièce est conforme avec la probabilité $1 - 0{,}2 = 0{,}8$ . Par indépendance, la probabilité des trois conformes est $0{,}8^3 = 0{,}512$ .
Donc $P(\text{au moins une défectueuse}) = 1 - 0{,}512 = 0{,}488$ .

La probabilité d'avoir au moins une pièce défectueuse parmi les trois est $0{,}488$ .

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si des épreuves sont indépendantes ?

Regarde si le résultat d'une épreuve change les conditions de la suivante. Des lancers de pièce ou de dé, des tirages avec remise, des tirs répétés dans les mêmes conditions sont indépendants. Un tirage sans remise ne l'est pas. L'énoncé le précise souvent avec le mot « indépendantes ».

Pourquoi multiplie-t-on les probabilités le long d'un chemin ?

Parce qu'on cherche la part d'une part. Si 30 % des cas donnent $A$ et que, parmi eux, 50 % donnent ensuite $B$ , on obtient $0{,}3 \times 0{,}5 = 0{,}15$ , soit 15 % des cas. L'indépendance garantit que le 50 % reste valable quel que soit le premier résultat.

Quand additionne-t-on et quand multiplie-t-on ?

On multiplie le long d'un chemin (« et puis »). On additionne les chemins qui réalisent un même événement (« ou »). Pour « exactement 2 succès sur 3 », on multiplie le long de chaque chemin, puis on additionne les trois chemins.

Pourquoi passer par l'événement contraire pour « au moins un » ?

Parce que « au moins un succès » regroupe presque tous les chemins de l'arbre, alors que l'événement contraire « aucun succès » n'en contient qu'un seul, de probabilité $(1-p)^n$ . Le calcul est plus court et il y a moins de risque d'oubli.

Que faire si l'énoncé ne donne pas $p$ directement ?

Cherche-le dans les données : une proportion, un pourcentage ou un cas favorable parmi des cas équiprobables. Par exemple, pour « obtenir 6 » avec un dé équilibré, $p = \frac{1}{6}$ . Convertis un pourcentage en décimal : 35 % devient $0{,}35$ .

Sources

Programme de mathématiques de première technologique - Annexe au Bulletin officiel, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 11 novembre 2026.
Projet d'aménagement du programme de mathématiques de première technologique, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 11 novembre 2026.
Ressources Éduscol - Probabilités et répétition d'épreuves indépendantes, première technologique, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.

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Répétition d'épreuves indépendantes : cours de 1re techno

L'essentiel

Pourquoi répéter une expérience aléatoire ?

Deux épreuves indépendantes

L'arbre de probabilités à deux épreuves

Répéter $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes

Calculer des probabilités d'événements : exactement $k$ succès, au moins un succès

Méthode complète et pièges à éviter

Représenter la situation : arbre, tableau et lecture

Exercices corrigés

Exercice 1 Deux lancers d'une pièce truquée

Exercice 2 Trois tirs au panier

Exercice 3 Au moins une pièce défectueuse

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