Répétition d'épreuves indépendantes : exercices de 1re techno

Au premier lancer, la probabilité d'obtenir 6 est $\frac{1}{6}$.

Au second lancer, les nombres pairs sont 2, 4 et 6 : trois faces sur six, donc la probabilité est $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

Les lancers sont indépendants : on multiplie les probabilités le long du chemin.

$\frac{1}{6}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{12}\approx 0{,}083$

Le succès (tir réussi) a pour probabilité $0{,}7$, l'échec $1-0{,}7=0{,}3$.

L'arbre a deux étages. Les chemins avec exactement un succès sont R puis E, et E puis R.

Chemin R puis E : $0{,}7\times 0{,}3=0{,}21$.

Chemin E puis R : $0{,}3\times 0{,}7=0{,}21$.

Ces chemins sont différents : on additionne, $0{,}21+0{,}21=0{,}42$.

Une pièce est bonne avec la probabilité $1-0{,}05=0{,}95$.

L'événement « aucune pièce défectueuse » correspond à un seul chemin : bonne, bonne, bonne.

Les trois prélèvements sont indépendants : $0{,}95\times0{,}95\times0{,}95=0{,}95^3$.

$0{,}95^2=0{,}9025$, puis $0{,}9025\times0{,}95=0{,}857375$, soit environ $0{,}857$.

Alice réussit avec $0{,}8$ et échoue avec $0{,}2$ ; Bob réussit avec $0{,}6$ et échoue avec $0{,}4$.

Premier cas : Alice réussit, Bob échoue : $0{,}8\times0{,}4=0{,}32$.

Second cas : Alice échoue, Bob réussit : $0{,}2\times0{,}6=0{,}12$.

Les deux cas s'excluent : on additionne, $0{,}32+0{,}12=0{,}44$.

L'événement contraire est « aucun succès », c'est-à-dire trois échecs.

Un échec a pour probabilité $1-0{,}4=0{,}6$.

Probabilité des trois échecs : $0{,}6^3=0{,}216$.

On passe au complémentaire : $1-0{,}216=0{,}784$.

Notons J une bonne réponse, probabilité $\frac{1}{4}$, et F une mauvaise réponse, probabilité $\frac{3}{4}$.

Les chemins avec exactement deux J sont : JJF, JFJ et FJJ. Il y en a trois.

Chaque chemin a la même probabilité : $\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}\times\frac{3}{4}=\frac{3}{64}$.

On additionne les trois chemins : $3\times\frac{3}{64}=\frac{9}{64}=0{,}140625$.

Succès : $0{,}3$ ; échec : $0{,}7$. L'événement est la réunion de « trois succès » et « quatre succès », deux événements qui s'excluent.

Exactement trois succès : l'unique échec peut occuper le 1er, le 2e, le 3e ou le 4e rang. Il y a donc quatre chemins.

Chaque chemin vaut $0{,}3^3\times0{,}7=0{,}027\times0{,}7=0{,}0189$.

Pour les quatre chemins : $4\times0{,}0189=0{,}0756$.

Quatre succès : un seul chemin, de probabilité $0{,}3^4=0{,}0081$.

On additionne : $0{,}0756+0{,}0081=0{,}0837$.

Pour $n$ tickets, la probabilité de n'avoir aucun gain est $0{,}9^n$ (un seul chemin, uniquement des échecs).

La probabilité d'au moins un gain est donc $1-0{,}9^n$. On veut $1-0{,}9^n>0{,}5$, soit $0{,}9^n<0{,}5$.

On calcule : $0{,}9^5\approx0{,}590$ ; $0{,}9^6\approx0{,}531$ ; $0{,}9^7\approx0{,}478$.

Pour $n=6$, $0{,}9^6$ est encore supérieur à $0{,}5$ ; pour $n=7$ il passe en dessous.

Le nombre minimal est donc $n=7$.