Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques

Répétition d'épreuves indépendantes : fiche de 1re techno

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Deux épreuves sont indépendantes quand le résultat de l'une ne change pas les probabilités de l'autre ; le modèle adapté est celui de la probabilité produit.²
On représente la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes par un arbre de probabilités.¹
La probabilité d'un chemin s'obtient en multipliant les probabilités de ses branches.
La probabilité d'un événement s'obtient en additionnant les probabilités des chemins qui le réalisent.
Vérification : la somme des probabilités de tous les chemins vaut $1$ .

L'essentiel à retenir

Le programme de première technologique demande de modéliser des cas simples d'expériences aléatoires à plusieurs épreuves indépendantes.¹ Concrètement, on répète la même expérience, par exemple lancer une pièce, tirer avec remise ou tester une pièce produite, et on cherche la probabilité d'un résultat d'ensemble.

Construire et lire l'arbre

ExempleTrois épreuves avec $p = 0{,}3$

Une machine produit des pièces. Chaque pièce est défectueuse avec la probabilité $0{,}3$ , indépendamment des autres. On contrôle trois pièces ; le succès $S$ est « la pièce est défectueuse ».

Probabilité d'un chemin précis, par exemple $S, S, \overline{S}$ : $0{,}3 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 0{,}063.$

Événement « exactement deux pièces défectueuses » : trois chemins le réalisent, $SS\overline{S}$ , $S\overline{S}S$ et $\overline{S}SS$ . Chacun a la probabilité $0{,}063$ , donc $P = 3 \times 0{,}063 = 0{,}189.$

Événement « aucune pièce défectueuse » : un seul chemin, $\overline{S}\,\overline{S}\,\overline{S}$ , donc $0{,}7^3 = 0{,}343$ .

Événement « au moins une pièce défectueuse » : c'est le contraire du précédent, donc $1 - 0{,}343 = 0{,}657$ .

Pièges et réflexes

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si des épreuves sont indépendantes ?

Pose-toi la question : le résultat d'une épreuve change-t-il les probabilités de la suivante ? Si non, elles sont indépendantes. C'est le cas d'un lancer de pièce répété ou d'un tirage avec remise. Un tirage sans remise, lui, modifie le contenu de l'urne : les épreuves ne sont pas indépendantes.

Pourquoi multiplie-t-on le long d'un chemin et additionne-t-on à la fin ?

Un chemin décrit une succession précise de résultats « et puis » : pour des épreuves indépendantes, la probabilité produit s'applique donc.² Un événement qui peut se réaliser de plusieurs façons exclusives s'obtient avec « ou » : on additionne les probabilités des chemins concernés.

Sources

Programme de mathématiques de première technologique - Annexe au Bulletin officiel, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 11 novembre 2026.
Projet d'aménagement du programme de mathématiques de première technologique, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 11 novembre 2026.
Ressources Éduscol - Probabilités et répétition d'épreuves indépendantes, première technologique, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.

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