Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques

Variables aléatoires : cours de Première technologique

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire.²
Sa loi de probabilité donne la probabilité $P(X=x_i)$ de chaque valeur $x_i$ ; la somme de ces probabilités vaut 1.²
$\{X=a\}$ et $\{X\leqslant a\}$ sont des événements : on additionne les probabilités des valeurs concernées.¹
Espérance : $E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\dots+x_np_n$ , la valeur moyenne obtenue sur un très grand nombre de répétitions.²
Pour un jeu, $X$ est le gain algébrique : $E(X)>0$ avantage le joueur, $E(X)<0$ le désavantage, $E(X)=0$ le jeu est équitable.

Pourquoi des variables aléatoires ?

Quand tu lances un dé, le résultat dépend du hasard. Quand tu joues à pile ou face, aussi. Dans ces situations, on s'intéresse souvent à un nombre : la valeur affichée par le dé, un gain en euros, le nombre de points marqués. Une variable aléatoire sert à manipuler proprement ce nombre.⁴

Tu connais déjà les probabilités conditionnelles et les arbres pondérés. Ils te servent ici de matériel : un arbre pondéré te donne les probabilités des issues, et la variable aléatoire transforme chaque issue en nombre. Ensuite, on calcule avec ces nombres, notamment pour savoir si un jeu est avantageux.

Le programme de Première technologique demande de rester concret : on n'a pas besoin d'un formalisme lourd, et les variables aléatoires se manipulent surtout dans des situations réelles.¹ Ce cours suit cet esprit : on part d'exemples, on pose le vocabulaire, puis on calcule.

Définition d'une variable aléatoire

ExempleUn jeu avec un dé équilibré

On lance un dé équilibré à six faces. Les règles sont les suivantes :

si le dé affiche 6, le joueur gagne 6 € ;
s'il affiche 4 ou 5, il gagne 1 € ;
s'il affiche 1, 2 ou 3, il perd 2 €.

On note $X$ le gain algébrique du joueur.² L'univers est $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$ et la variable aléatoire $X$ associe :

Issue	1	2	3	4	5	6
Valeur de $X$	$-2$	$-2$	$-2$	$1$	$1$	$6$

Deux issues différentes peuvent avoir la même valeur de $X$ : ce n'est pas un problème. Ce qui est interdit, c'est qu'une même issue donne deux valeurs.

Valeurs possibles et loi de probabilité

DéfinitionLoi de probabilité

La loi de probabilité de $X$ décrit les valeurs possibles de $X$ et la probabilité de chacune.⁴ La probabilité que $X$ prenne la valeur $x_i$ se note $P(X=x_i)$ .²

On la présente presque toujours dans un tableau :

Valeur $x_i$	$x_1$	$x_2$	$\dots$	$x_n$
$P(X=x_i)$	$p_1$	$p_2$	$\dots$	$p_n$

IssuesLister les issues et leurs probabilités.
ValeursDonner la valeur de X pour chaque issue.
RegrouperAdditionner les probabilités des issues de même valeur.
VérifierContrôler que la somme des probabilités vaut 1.

Établir la loi d'une variable aléatoire · Méthode pour dresser le tableau de la loi.

ExempleLoi du gain dans le jeu du dé

Reprenons le jeu précédent. Le dé est équilibré : chaque face a la probabilité $\frac{1}{6}$ .

$X=6$ : une seule face (le 6), donc $P(X=6)=\frac{1}{6}$ .
$X=1$ : deux faces (4 et 5), donc $P(X=1)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ .
$X=-2$ : trois faces (1, 2 et 3), donc $P(X=-2)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ .

Valeur $x_i$	$-2$	$1$	$6$
$P(X=x_i)$	$\frac{3}{6}$	$\frac{2}{6}$	$\frac{1}{6}$

Contrôle : $\frac{3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{6}{6}=1$ . Le tableau est cohérent.

Loi du gain dans le jeu du dé
Valeur de X (en €)	Issues du dé	Probabilité
-2	1, 2 ou 3	3/6
1	4 ou 5	2/6
6	6	1/6

Loi du gain dans le jeu du dé · La somme des probabilités vaut 1.

Lire et écrire les événements $\{X=a\}$ et $\{X\leqslant a\}$

Le programme demande d'interpréter en situation les écritures $\{X=a\}$ et $\{X\leqslant a\}$ , et de calculer les probabilités correspondantes.¹ Ce sont des événements : des ensembles d'issues.

$\{X=a\}$ : « la variable $X$ prend la valeur $a$ » ;
$\{X\leqslant a\}$ : « la variable $X$ prend une valeur inférieure ou égale à $a$ ».

Pour calculer $P(X\leqslant a)$ , tu additionnes les probabilités de toutes les valeurs de $X$ qui sont inférieures ou égales à $a$ .

L'espérance d'une variable aléatoire

Peut-on prévoir ce que rapporte un jeu quand on y joue très souvent ? Oui : c'est le rôle de l'espérance. Le programme demande de la calculer et de l'interpréter en contexte.¹

Gain algébrique, mise et jeux équitables

Dans un jeu d'argent, il faut distinguer le lot reçu et le gain algébrique. Le gain algébrique tient compte de la mise : c'est ce que le joueur reçoit moins ce qu'il a payé. C'est lui qu'on note $X$ en général.² Un lot de 10 € pour une mise de 3 € correspond à un gain algébrique de $10-3=7$ €.

ExempleUne urne et une mise

Un joueur paie 3 € pour tirer une boule dans une urne de 10 boules : 2 rouges (lot de 10 €), 3 vertes (lot de 2 €) et 5 bleues (aucun lot). Le gain algébrique $X$ vaut :

$10-3=7$ avec la probabilité $\frac{2}{10}=0{,}2$ ;
$2-3=-1$ avec la probabilité $\frac{3}{10}=0{,}3$ ;
$0-3=-3$ avec la probabilité $\frac{5}{10}=0{,}5$ .

$E(X)=7\times0{,}2+(-1)\times0{,}3+(-3)\times0{,}5=1{,}4-0{,}3-1{,}5=-0{,}4$ .

En moyenne, le joueur perd $0{,}40$ € par partie. Le jeu lui est défavorable ; l'organisateur gagne, en moyenne, $0{,}40$ € par partie.

Erreurs fréquentes et méthode à l'épreuve

Exercices corrigés

Exercice 1 Espérance d'un jeu d'urne

★☆☆Environ 8 min

Un joueur paie 3 € pour tirer une boule dans une urne contenant 10 boules indiscernables : 2 rouges (lot de 10 €), 3 vertes (lot de 2 €) et 5 bleues (aucun lot). On note $X$ le gain algébrique du joueur, en euros.

Donne la loi de probabilité de $X$ .
Calcule $E(X)$ et interprète-la.

Indice 1

Gain algébrique = lot moins mise : calcule les trois valeurs de $X$ d'abord.

Indice 2

Les probabilités se lisent avec le nombre de boules de chaque couleur sur 10.

Voir la correction pas à pas

Les valeurs de $X$ sont $10-3=7$ , $2-3=-1$ et $0-3=-3$ .
Probabilités : $P(X=7)=\frac{2}{10}=0{,}2$ ; $P(X=-1)=\frac{3}{10}=0{,}3$ ; $P(X=-3)=\frac{5}{10}=0{,}5$ . Somme : $0{,}2+0{,}3+0{,}5=1$ .
Espérance : $E(X)=7\times0{,}2+(-1)\times0{,}3+(-3)\times0{,}5=1{,}4-0{,}3-1{,}5=-0{,}4$ .
Interprétation : en moyenne, le joueur perd $0{,}40$ € par partie sur un grand nombre de parties.

$E(X)=-0{,}4$ €. Le jeu est défavorable au joueur.

Exercice 2 Compléter une loi et calculer l'espérance

★★☆Environ 10 min

Une variable aléatoire $X$ a pour loi :

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$5$
$P(X=x_i)$	$0{,}1$	$0{,}4$	$p$	$0{,}2$

Détermine $p$ .
Calcule $P(X\leqslant 2)$ .
Calcule $E(X)$ .

Indice 1

La somme des probabilités d'une loi vaut 1.

Indice 2

Pour $P(X\leqslant 2)$ , additionne les probabilités des valeurs $0$ , $1$ et $2$ .

Voir la correction pas à pas

Somme égale à 1 : $0{,}1+0{,}4+p+0{,}2=1$ , donc $p=1-0{,}7=0{,}3$ .
$P(X\leqslant 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0{,}1+0{,}4+0{,}3=0{,}8$ . Vérification : $1-P(X=5)=1-0{,}2=0{,}8$ .
$E(X)=0\times0{,}1+1\times0{,}4+2\times0{,}3+5\times0{,}2=0+0{,}4+0{,}6+1=2$ .
L'espérance vaut $2$ , alors que la valeur $2$ n'a que 30 % de chances de sortir : l'espérance est une moyenne, pas la valeur la plus probable.

$p=0{,}3$ ; $P(X\leqslant 2)=0{,}8$ ; $E(X)=2$ .

Exercice 3 Une loterie de quartier

★★★Environ 15 min

Une association vend 100 billets à 2 € l'un. Un billet gagne 50 €, quatre billets gagnent 10 € chacun, dix billets gagnent 2 € (la mise est remboursée) et les autres ne gagnent rien. Tu achètes un billet. On note $X$ ton gain algébrique, en euros.

Donne la loi de probabilité de $X$ .
Calcule $E(X)$ et interprète.
L'association a-t-elle intérêt à vendre ses billets ? Justifie avec l'espérance.

Indice 1

Il y a quatre valeurs de $X$ : lots de 50, 10, 2 et 0 euros, auxquels tu retires la mise.

Indice 2

Il reste $100-1-4-10=85$ billets perdants.

Voir la correction pas à pas

Valeurs de $X$ : $50-2=48$ ; $10-2=8$ ; $2-2=0$ ; $0-2=-2$ .
Probabilités : $\frac{1}{100}$ , $\frac{4}{100}$ , $\frac{10}{100}$ et $\frac{85}{100}$ . Somme : $\frac{1+4+10+85}{100}=1$ .
$E(X)=48\times\frac{1}{100}+8\times\frac{4}{100}+0\times\frac{10}{100}+(-2)\times\frac{85}{100}=\frac{48+32+0-170}{100}=-0{,}9$ .
Interprétation : un acheteur perd en moyenne $0{,}90$ € par billet. Pour l'association, le bénéfice moyen est donc de $0{,}90$ € par billet vendu : elle a intérêt à vendre.

$E(X)=-0{,}9$ €. Le jeu est défavorable à l'acheteur, favorable à l'association.

Les questions qu'on se pose

Quelle différence entre une variable aléatoire et sa loi de probabilité ?

La variable aléatoire $X$ associe un nombre à chaque issue.² Sa loi de probabilité indique les valeurs possibles et la probabilité de chacune.⁴ La première est le « quoi » (le nombre mesuré), la seconde est le « avec quelle chance ».

À quoi sert l'espérance, si elle ne prévoit pas le résultat d'une partie ?

Elle résume la valeur moyenne obtenue sur un très grand nombre de répétitions.¹ Elle permet de comparer des jeux, de savoir si l'un est favorable ou défavorable, et de fixer une mise équitable ou rentable pour un organisateur.

Comment savoir si un jeu est avantageux pour le joueur ?

Définis $X$ comme le gain algébrique, mise comprise, puis calcule $E(X)$ . Si $E(X)>0$ , le jeu est avantageux ; si $E(X)<0$ , il est défavorable ; si $E(X)=0$ , il est équitable. Attention à bien retrancher la mise à chaque lot.

Que faire quand une probabilité du tableau est inconnue ?

Utilise le fait que la somme des probabilités vaut 1.² Additionne les probabilités connues et soustrais ce total à 1. Vérifie ensuite que le résultat est compris entre 0 et 1.

Que veulent dire les écritures $\{X=a\}$ et $\{X\leqslant a\}$ ?

Ce sont des événements, à interpréter dans le contexte de l'énoncé.¹ $\{X=a\}$ : $X$ prend exactement la valeur $a$ . $\{X\leqslant a\}$ : $X$ prend une valeur inférieure ou égale à $a$ . Dans les deux cas, on additionne les probabilités des valeurs concernées du tableau.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques de la classe de première de la voie technologique · education.gouv.fr

Programme de mathématiques de la classe de première de la voie technologique, education.gouv.fr. Consulté le 11 novembre 2026.
Chapitre 7 — Variable aléatoire (Cours première spécialité), CNRS. Consulté le 11 novembre 2026.
Ressources — Mathématiques 1ère (Statistiques et probabilités), ac-guyane.fr. Consulté le 11 novembre 2026.
Variable aléatoire, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Convergence de variables aléatoires, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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Variables aléatoires : cours de Première technologique

L'essentiel

Pourquoi des variables aléatoires ?

Définition d'une variable aléatoire

Valeurs possibles et loi de probabilité

Lire et écrire les événements $\{X=a\}$ et $\{X\leqslant a\}$

L'espérance d'une variable aléatoire

Gain algébrique, mise et jeux équitables

Erreurs fréquentes et méthode à l'épreuve

Exercices corrigés

Exercice 1 Espérance d'un jeu d'urne

Exercice 2 Compléter une loi et calculer l'espérance

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