Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques

Variables aléatoires : exercices corrigés de 1re technologique

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une variable aléatoire associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire ².
Sa loi se présente dans un tableau : la somme des probabilités vaut 1 ².
$\{X \leqslant a\}$ regroupe toutes les valeurs de $X$ inférieures ou égales à $a$ ; on additionne leurs probabilités ¹.
L'espérance se calcule avec $E(X)=x_1p_1+\dots+x_np_n$ et s'interprète en contexte, par exemple comme gain moyen sur un grand nombre de parties ¹.
Un jeu dont l'espérance du gain algébrique est positive est favorable au joueur ².

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices vont du plus simple au plus délicat. Cherche d'abord seul(e), avec une feuille. Ne regarde les indices qu'après quelques minutes, puis la correction pour vérifier chaque étape, pas seulement le résultat final.

Au programme de première technologique, les variables aléatoires se manipulent surtout en situation concrète, sans formalisme lourd ¹. Tu dois savoir lire un énoncé, construire un tableau, calculer des probabilités et interpréter une espérance.

Les exercices

Exercice 1 Compléter une loi de probabilité

★☆☆Environ 5 min

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $0$ , $1$ , $2$ et $3$ . On connaît :

$x_i$	0	1	2	3
$P(X=x_i)$	0,10	0,35	0,25	$a$

Calcule la valeur de $a$ .

Indice 1

Que vaut la somme de toutes les probabilités d'une loi ?

Indice 2

Additionne les trois probabilités connues, puis retranche le total à $1$ .

Voir la correction pas à pas

On sait que la somme des probabilités de la loi vaut $1$ ². On écrit donc $0{,}10+0{,}35+0{,}25+a=1$ .
On additionne les trois probabilités connues : $0{,}10+0{,}35+0{,}25=0{,}70$ .
On isole $a$ : $a=1-0{,}70=0{,}30$ .
On contrôle : $0{,}10+0{,}35+0{,}25+0{,}30=1$ . La valeur convient et c'est bien une probabilité, comprise entre $0$ et $1$ .

On obtient $a=0{,}30$ : il y a 3 chances sur 10 que $X$ prenne la valeur $3$ .

Exercice 2 Un jeu de dé et son espérance

★☆☆Environ 8 min

On lance un dé équilibré à six faces. Un joueur paie une mise de $2$ € puis reçoit :

$7$ € si le dé affiche $6$ ;
$3$ € si le dé affiche $4$ ou $5$ ;
rien sinon.

On note $X$ le gain algébrique du joueur, mise comprise dans le calcul. Détermine la loi de $X$ , puis calcule son espérance.

Indice 1

Gain algébrique = somme reçue moins la mise de $2$ €.

Indice 2

Les valeurs de $X$ sont $5$ , $1$ et $-2$ . Compte les faces correspondant à chacune.

Voir la correction pas à pas

On calcule les valeurs de $X$ . Face $6$ : $7-2=5$ . Faces $4$ ou $5$ : $3-2=1$ . Faces $1$ , $2$ , $3$ : $0-2=-2$ .
On calcule les probabilités, le dé étant équilibré : $P(X=5)=\frac{1}{6}$ , $P(X=1)=\frac{2}{6}$ , $P(X=-2)=\frac{3}{6}$ . Leur somme vaut bien $1$ .
On applique la formule : $E(X)=5\times\frac{1}{6}+1\times\frac{2}{6}+(-2)\times\frac{3}{6}$ .
On calcule : $E(X)=\frac{5+2-6}{6}=\frac{1}{6}\approx 0{,}17$ €.

L'espérance vaut $\frac{1}{6}$ €, soit environ $0{,}17$ €. Elle est positive : le jeu est favorable au joueur ². Sur un très grand nombre de parties, il gagne en moyenne un peu plus de $0{,}16$ € par partie.

Exercice 3 Lire un événement {X ≤ a} et calculer l'espérance

★☆☆Environ 8 min

Une variable aléatoire $X$ a pour loi :

$x_i$	0	1	2	3
$P(X=x_i)$	0,2	0,3	0,4	0,1

Calcule $P(X \leqslant 1)$ et $P(X \geqslant 2)$ .
Calcule l'espérance $E(X)$ .

Indice 1

$\{X \leqslant 1\}$ contient les valeurs $0$ et $1$ .

Indice 2

Pour l'espérance, calcule chaque produit $x_i \times P(X=x_i)$ séparément.

Voir la correction pas à pas

L'événement $\{X \leqslant 1\}$ regroupe les cas où $X$ vaut $0$ ou $1$ ¹. On additionne : $P(X \leqslant 1)=0{,}2+0{,}3=0{,}5$ .
De même, $\{X \geqslant 2\}$ regroupe les valeurs $2$ et $3$ : $P(X \geqslant 2)=0{,}4+0{,}1=0{,}5$ . Les deux événements sont contraires, le total fait bien $1$ .
On calcule les produits : $0\times 0{,}2=0$ ; $1\times 0{,}3=0{,}3$ ; $2\times 0{,}4=0{,}8$ ; $3\times 0{,}1=0{,}3$ .
On additionne : $E(X)=0+0{,}3+0{,}8+0{,}3=1{,}4$ .

On trouve $P(X \leqslant 1)=0{,}5$ , $P(X \geqslant 2)=0{,}5$ et $E(X)=1{,}4$ . L'espérance n'est pas une valeur que $X$ doit prendre : ici $1{,}4$ n'est pas dans le tableau. C'est une valeur moyenne.

Exercice 4 Deux lancers de pièce

★★☆Environ 10 min

On lance deux fois de suite une pièce équilibrée. On note $X$ le nombre de « pile » obtenus.

Liste les issues de l'expérience et donne la loi de $X$ .
Calcule $P(X \leqslant 1)$ .
Calcule l'espérance de $X$ et interprète-la.

Indice 1

Il y a quatre issues équiprobables : PP, PF, FP, FF.

Indice 2

Deux issues (PF et FP) donnent $X=1$ .

Voir la correction pas à pas

Les issues sont PP, PF, FP et FF. Elles sont équiprobables, chacune de probabilité $\frac{1}{4}$ .
On associe à chaque issue la valeur de $X$ : PP donne $2$ ; PF et FP donnent $1$ ; FF donne $0$ ².
La loi est donc : $P(X=0)=\frac{1}{4}$ , $P(X=1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ , $P(X=2)=\frac{1}{4}$ . La somme vaut $1$ .
$P(X \leqslant 1)=P(X=0)+P(X=1)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$ .
$E(X)=0\times\frac{1}{4}+1\times\frac{1}{2}+2\times\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ .
Interprétation : en répétant la série de deux lancers un grand nombre de fois, on obtient en moyenne $1$ pile par série.

On obtient $P(X \leqslant 1)=\frac{3}{4}$ et $E(X)=1$ . Ce résultat est logique : une pièce équilibrée donne pile une fois sur deux, donc un pile sur deux lancers en moyenne.

Exercice 5 Quelle mise pour un jeu équitable ?

★★☆Environ 12 min

Une urne contient $10$ jetons indiscernables au toucher : $2$ jetons rapportent $10$ €, $3$ jetons rapportent $4$ €, les $5$ autres ne rapportent rien. Le joueur tire un jeton au hasard et reçoit la somme indiquée. Il paie au départ une mise de $m$ euros.

On note $G$ la somme reçue (sans retirer la mise) et $X=G-m$ le gain algébrique. On dit que le jeu est équitable quand $E(X)=0$ .

Détermine la mise $m$ qui rend le jeu équitable.

Indice 1

Calcule d'abord la loi de $G$ , puis $E(G)$ .

Indice 2

$E(X)=E(G)-m$ : on cherche $m$ tel que cette différence soit nulle.

Voir la correction pas à pas

Loi de $G$ : $P(G=10)=\frac{2}{10}$ , $P(G=4)=\frac{3}{10}$ , $P(G=0)=\frac{5}{10}$ . La somme vaut $1$ .
Espérance de $G$ : $E(G)=10\times\frac{2}{10}+4\times\frac{3}{10}+0\times\frac{5}{10}=2+1{,}2=3{,}2$ .
Le gain algébrique vaut $G-m$ , donc $E(X)=E(G)-m=3{,}2-m$ .
Le jeu est équitable si $E(X)=0$ , soit $3{,}2-m=0$ , donc $m=3{,}2$ .
Contrôle : avec $m=3{,}2$ , les valeurs de $X$ sont $6{,}8$ , $0{,}8$ et $-3{,}2$ , et $6{,}8\times0{,}2+0{,}8\times0{,}3-3{,}2\times0{,}5=1{,}36+0{,}24-1{,}6=0$ .

La mise équitable est de $3{,}2$ €. Au-dessus, l'espérance devient négative : le jeu est défavorable au joueur. En dessous, il lui est favorable ².

Exercice 6 Retrouver une valeur inconnue grâce à l'espérance

★★★Environ 15 min

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $0$ , $2$ et $x$ (avec $x>2$ ). Sa loi est :

valeur	0	2	$x$
probabilité	0,5	0,3	0,2

On sait que $E(X)=2{,}2$ . Détermine la valeur de $x$ , puis calcule $P(X \leqslant 2)$ .

Indice 1

Écris $E(X)$ en fonction de $x$ : l'inconnue apparaît dans un seul terme.

Indice 2

C'est une équation du premier degré d'inconnue $x$ .

Voir la correction pas à pas

On vérifie la loi : $0{,}5+0{,}3+0{,}2=1$ . Elle est cohérente.
On écrit l'espérance : $E(X)=0\times0{,}5+2\times0{,}3+x\times0{,}2=0{,}6+0{,}2x$ .
On traduit l'hypothèse : $0{,}6+0{,}2x=2{,}2$ .
On résout : $0{,}2x=2{,}2-0{,}6=1{,}6$ , donc $x=\frac{1{,}6}{0{,}2}=8$ .
On vérifie que $x>2$ : c'est bien le cas.
L'événement $\{X \leqslant 2\}$ contient les valeurs $0$ et $2$ puisque $x=8>2$ : $P(X \leqslant 2)=0{,}5+0{,}3=0{,}8$ .

On trouve $x=8$ et $P(X \leqslant 2)=0{,}8$ . Pour résoudre ce type de problème, traduis l'information donnée (ici l'espérance) en équation, puis vérifie toujours que le résultat respecte les conditions de l'énoncé.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si mon tableau de loi de probabilité est correct ?

Vérifie deux choses. Chaque probabilité doit être comprise entre $0$ et $1$ . Leur somme doit valoir exactement $1$ ². Si le total est différent, tu as oublié une valeur possible de $X$ ou fait une erreur de comptage des issues. Refais le dénombrement avant d'aller plus loin.

L'espérance est-elle la valeur que la variable aléatoire va prendre ?

Non. L'espérance est une valeur moyenne, obtenue en pondérant chaque valeur par sa probabilité. Elle peut ne figurer dans aucune case du tableau, comme $1{,}4$ dans l'exercice 3. Pour la décrire, on l'interprète en contexte : c'est ce qu'on obtient en moyenne en répétant l'expérience un grand nombre de fois. Cette interprétation fait partie des attendus du programme ¹.

Comment éviter les erreurs quand on calcule une probabilité de type $P(X \leqslant a)$ ?

Commence par écrire, en toutes lettres, la liste des valeurs de $X$ qui sont inférieures ou égales à $a$ . Surligne-les dans le tableau de la loi, puis additionne seulement leurs probabilités ¹. Vérifie ensuite que le résultat reste compris entre $0$ et $1$ . Si tu hésites, calcule aussi la probabilité de l'événement contraire : la somme des deux doit faire exactement $1$ .

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques de la classe de première de la voie technologique · education.gouv.fr

Programme de mathématiques de la classe de première de la voie technologique, education.gouv.fr. Consulté le 11 novembre 2026.
Chapitre 7 — Variable aléatoire (Cours première spécialité), CNRS. Consulté le 11 novembre 2026.
Ressources — Mathématiques 1ère (Statistiques et probabilités), ac-guyane.fr. Consulté le 11 novembre 2026.
Variable aléatoire, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Convergence de variables aléatoires, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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Exercice 1 Compléter une loi de probabilité

Exercice 2 Un jeu de dé et son espérance

Exercice 3 Lire un événement {X ≤ a} et calculer l'espérance

Exercice 4 Deux lancers de pièce

Exercice 5 Quelle mise pour un jeu équitable ?

Exercice 6 Retrouver une valeur inconnue grâce à l'espérance

Les questions qu'on se pose

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