Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques
Suites arithmétiques : cours de première technologique
Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une suite est arithmétique quand on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, la raisonr : un+1=un+r.5
Elle est entièrement déterminée par son premier terme et sa raison.5 Formule explicite : un=u0+nr, et plus généralement un=up+(n−p)r.
Sens de variation : croissante si r>0, décroissante si r<0, constante si r=0.
Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, on montre que un+1−un est une constante, indépendante de n.1
Somme de termes consécutifs : nombre de termes × moyenne du premier et du dernier terme.5
Le nuage de points (n;un) d'une suite arithmétique est aligné : c'est l'aspect discret d'une fonction affine.5
Pourquoi étudier les suites arithmétiques ?
Un abonnement de salle de sport coûte 20 € d'inscription, puis 15 € par mois. Une plante mesure 12 cm et pousse de 2 cm chaque semaine. Un compteur de voiture avance de 90 km à chaque heure de route. Dans ces trois situations, la quantité augmente (ou diminue) de la même valeur à chaque étape.
Le programme de la classe de première technologique présente les suites arithmétiques comme des modèles discrets d'évolutions absolues constantes.1 « Discret » veut dire que l'on ne regarde que des étapes numérotées : mois 0, mois 1, mois 2… « Absolue » veut dire que l'on ajoute une quantité fixe, par opposition à une évolution en pourcentage, qui sera l'objet des suites géométriques.
Dans ce cours, tu vas apprendre à reconnaître une suite arithmétique, à calculer n'importe lequel de ses termes sans calculer tous les précédents, à étudier son sens de variation, à la représenter, puis à additionner plusieurs de ses termes. Tu peux t'appuyer sur ce que tu sais déjà des généralités sur les suites : une suite associe un nombre un à chaque entier naturel n, et on peut la définir par une formule explicite ou par une relation de récurrence.
1. RaisonCalculer $u_{n+1}-u_n$ et vérifier qu'il est constant
2. FormuleÉcrire $u_n=u_0+nr$ ou $u_n=u_p+(n-p)r$
3. VariationLire le signe de la raison r
4. SommeNombre de termes × moyenne des extrêmes
Les étapes pour étudier une suite arithmétique · Plan de travail d'un exercice sur les suites arithmétiques.
Définition et raison
La raison est notée r. Ce nombre peut être positif, négatif ou nul. Il ne change jamais d'un rang à l'autre : c'est justement ce qui caractérise ces suites.
Une relation de ce type est une relation de récurrence : elle donne le terme suivant à partir du terme actuel. Pour démarrer, il faut donc connaître un premier terme. C'est pourquoi une suite arithmétique est entièrement déterminée par la donnée de son premier terme et de sa raison.5
Reconnaître une suite arithmétique
Si on te donne des termes, ou une formule, comment savoir si la suite est arithmétique ? Le programme attend que tu saches démontrer qu'une suite est arithmétique.1 La méthode repose sur la définition : il faut prouver que l'écart entre deux termes consécutifs ne dépend pas de n.
Calculer un terme : la formule explicite
Avec la relation un+1=un+r, pour obtenir u100, il faudrait calculer cent termes à la suite. On préfère une formule qui donne directement un en fonction de n.
Démonstration · Pourquoi cette formule ?
Écrivons les premiers termes :
u1=u0+r, puis u2=u1+r=u0+2r, puis u3=u2+r=u0+3r.
À chaque étape, on ajoute une fois de plus r. Pour atteindre le rang n, on a ajouté r exactement n fois : un=u0+nr.
Pour la forme générale, passer du rang p au rang n revient à ajouter r un nombre de fois égal à n−p (si n>p) : un=up+(n−p)r. La formule reste valable si n<p, car alors n−p est négatif et on revient en arrière.
Sens de variation et comportement
Le programme demande de déterminer le sens de variation d'une suite arithmétique.1 Ici, la réponse ne demande aucun calcul compliqué.
La preuve tient en une ligne : le signe de un+1−un est celui de r, et il ne change jamais d'un rang à l'autre. Une suite arithmétique ne peut donc pas monter, puis descendre.
Représentation graphique
On représente une suite par un nuage de points(n;un) : l'abscisse est le rang, l'ordonnée est la valeur du terme.1 On ne relie pas les points, car il n'existe pas de terme « entre » u2 et u3.
Pour une suite arithmétique, la formule un=u0+nr ressemble à celle d'une fonction affine f(x)=rx+u0. Une suite arithmétique est en effet l'aspect discret d'une fonction affine.5 Les points du nuage sont donc alignés sur une droite de coefficient directeur r et d'ordonnée à l'origine u0.
Valeurs de la suite $u_n=2n+1$
Rang n
0
1
2
3
4
Terme $u_n$
1
3
5
7
9
Écart avec le précédent
—
+2
+2
+2
+2
Valeurs de la suite $u_n=2n+1$ · L'écart constant de 2 est la raison de la suite.
Somme de termes consécutifs
On cherche souvent à additionner plusieurs termes : par exemple le total versé sur plusieurs mois d'une épargne qui augmente de la même somme chaque mois. Pour une suite arithmétique, la somme de termes consécutifs se calcule vite.
Démonstration · L'idée de la preuve
Prenons la somme S=1+4+7+10, avec 4 termes. Écrivons-la deux fois, dans les deux ordres :
SS=1+4+7+10=10+7+4+1
En additionnant colonne par colonne, chaque paire donne 11 : 2S=4×11, donc S=22. Les paires valent toujours la même somme (premier + dernier), car en avançant dans un sens on gagne r et dans l'autre on perd r. Pour n termes, 2S=n×(premier+dernier).
Modéliser avec une suite arithmétique
Le programme invite à utiliser les suites arithmétiques pour modéliser des situations.1 Il faut savoir traduire un texte en suite, puis interpréter le résultat.
Exercices corrigés
Exercice 1 Calculer un terme éloigné
★☆☆Environ 5 min
Soit (un) la suite arithmétique de premier terme u0=5 et de raison r=3.
Calcule u1, u2 et u3.
Donne la formule explicite de un.
Calcule u20.
Indice 1
Pour passer d'un terme au suivant, on ajoute la raison.
Indice 2
Pour atteindre le rang 20 depuis le rang 0, on ajoute 20 fois la raison.
Voir la correction pas à pas
On ajoute 3 à chaque fois : u1=5+3=8, u2=8+3=11, u3=11+3=14.
La formule explicite est un=u0+nr, donc un=5+3n.
On remplace n par 20 : u20=5+3×20=5+60=65.
On trouve u20=65. Calculer vingt termes un par un aurait donné le même résultat, mais bien plus lentement.
Exercice 2 Reconnaître et étudier une suite
★★☆Environ 10 min
Soit (vn) la suite définie pour tout entier naturel n par vn=9−2n.
Démontre que (vn) est arithmétique et donne sa raison.
Quel est son sens de variation ?
Calcule v15.
Indice 1
Calcule vn+1−vn en remplaçant n par n+1 dans la formule.
Indice 2
Le signe de la raison donne le sens de variation.
Voir la correction pas à pas
On calcule vn+1=9−2(n+1)=9−2n−2=7−2n.
On calcule la différence : vn+1−vn=(7−2n)−(9−2n)=−2. Ce nombre ne dépend pas de n : la suite est arithmétique de raison r=−2.
La raison est négative, donc la suite est strictement décroissante.
On calcule v15=9−2×15=9−30=−21.
La suite est arithmétique de raison −2, décroissante, et v15=−21. Les termes deviennent négatifs à partir du rang 5.
Exercice 3 Retrouver une suite à partir de deux termes
★★☆Environ 10 min
Une suite arithmétique (un) vérifie u3=11 et u7=27.
Calcule sa raison.
Calcule u0 et donne la formule explicite.
Calcule u15.
Indice 1
Entre le rang 3 et le rang 7, on ajoute quatre fois la raison.
Indice 2
Utilise un=up+(n−p)r avec p=3.
Voir la correction pas à pas
De u7=u3+(7−3)r, on obtient 27=11+4r, donc 4r=16 et r=4.
Pour le premier terme : u0=u3−3r=11−12=−1. La formule est un=−1+4n.
Calcul demandé : u15=−1+4×15=59. Vérification avec u3 : −1+12=11, c'est cohérent.
La raison vaut 4, le premier terme −1 et u15=59.
Exercice 4 Calculer une somme de termes
★★★Environ 12 min
On considère la somme S=1+4+7+10+⋯+40, dont les termes forment une suite arithmétique.
Donne la raison.
Combien de termes contient cette somme ?
Calcule S.
Indice 1
Écris 40=1+3n pour trouver le rang du dernier terme.
Indice 2
Si le premier terme a pour rang 0, le nombre de termes est le rang du dernier plus 1.
Voir la correction pas à pas
Chaque terme dépasse le précédent de 3 : la raison est r=3.
Avec u0=1, on cherche n tel que 1+3n=40 : 3n=39, donc n=13. Les rangs vont de 0 à 13 : il y a 13−0+1=14 termes.
On applique la propriété : S=14×21+40=14×20,5=287.
La somme vaut S=287. On compte bien les termes en incluant les deux extrémités.
Quiz
7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
La raison est l'écart constant entre deux termes consécutifs : 12−7=5, 17−12=5. La valeur 7 est le premier terme, pas la raison. Le quotient 712 serait la piste d'une suite géométrique, mais ici les quotients ne sont pas constants.
Faux : les écarts valent 2, 4, 8, ils ne sont pas constants. Cette suite se construit en multipliant par 2, ce qui est une évolution géométrique. Les premiers termes pairs peuvent donner l'impression d'une régularité, mais seul l'écart constant caractérise une suite arithmétique.
On applique u10=u0+10r=−3+10×2,5=−3+25=22. L'erreur tentante est d'ajouter r onze fois ou de multiplier −3 par la raison : on ajoute r exactement 10 fois à u0.
On calcule un+1−un=3(n+1)−4−(3n−4)=3, donc la raison est 3, et u0=−4. Inverser raison et premier terme est une confusion courante : le coefficient de n est la raison. Les termes négatifs n'empêchent pas une suite d'être arithmétique, et il n'y a pas de quotient constant.
Comme un+1−un=r<0, chaque terme est plus petit que le précédent : la suite est strictement décroissante. Les termes ne sont pas forcément tous négatifs : avec u0=100 et r=−1, les premiers termes sont positifs. Une suite constante demande r=0.
Les termes sont 2;6;10;14;18. La somme vaut 5×22+18=50. L'erreur fréquente est de prendre 4 termes (de u1 à u4) ou d'oublier de diviser par 2.
La formule un=u0+nr est celle d'une fonction affine évaluée aux entiers : les points sont alignés avec pente r. Une droite horizontale correspond seulement à r=0. La parabole correspondrait à une formule avec n2, comme un=n2, qui n'est pas arithmétique.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir rapidement si une suite est arithmétique ?
Calcule la différence entre deux termes consécutifs. Si elle est la même pour tous les rangs, la suite est arithmétique. Sur des valeurs numériques, c'est une conjecture ; pour la démontrer, calcule un+1−un avec la lettre n et vérifie que le résultat ne contient plus n.1
Quelle est la différence entre $u_n$, $u_{n+1}$ et $u_n+1$ ?
un est le terme de rang n ; un+1 est le terme suivant (rang n+1) ; un+1 est le terme un auquel on ajoute 1. Par exemple, avec un=3n, on a un+1=3n+3 mais un+1=3n+1. Les indices s'écrivent en bas, un peu plus petits.
Faut-il apprendre la formule de la somme par cœur ?
Retiens-la sous sa forme en mots : nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme.5 Elle s'applique à toute somme de termes consécutifs, quel que soit le rang de départ. Le piège est le nombre de termes : entre up et un inclus, il y en a n−p+1.
À quoi servent les suites arithmétiques dans la vie courante ?
Elles modélisent les évolutions où l'on ajoute toujours la même quantité : un loyer qui augmente d'un montant fixe, un forfait avec abonnement mensuel, un remboursement d'un montant constant par mois.1 Quand l'évolution se fait en pourcentage, on utilise plutôt une suite géométrique.