Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques

Suites arithmétiques : exercices corrigés de première techno

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une suite est arithmétique quand on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, la raison $r$ ⁵.
Elle est entièrement fixée par son premier terme et sa raison ⁵ : $u_n = u_0 + n\,r$ .
Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, on calcule $u_{n+1}-u_n$ et on vérifie que le résultat ne dépend pas de $n$ ¹.
La somme de termes consécutifs vaut le nombre de termes multiplié par la moyenne des termes extrêmes ⁵.
Dans un nuage de points $(n\,;u_n)$ , des points alignés suggèrent une suite arithmétique ¹.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices vont du plus simple au plus délicat. Cherche d'abord seul(e), sur papier, puis ouvre les indices un par un avant de regarder la correction. Une correction lue sans avoir essayé ne t'apprend presque rien.

Les exercices

Exercice 1 Calculer un terme à partir du premier terme et de la raison

★☆☆Environ 5 min

Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $r = 3$ .

Calcule $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ .
Calcule $u_{10}$ .

Indice 1

Pour passer d'un terme au suivant, on ajoute la raison.

Indice 2

Pour $u_{10}$ , utilise $u_n = u_0 + n\,r$ plutôt que dix additions.

Voir la correction pas à pas

On ajoute 3 à chaque fois : $u_1 = 5+3 = 8$ , $u_2 = 8+3 = 11$ , $u_3 = 11+3 = 14$ .
On écrit la formule du terme de rang $n$ : $u_n = u_0 + n\,r = 5 + 3n$ .
On remplace $n$ par 10 : $u_{10} = 5 + 3\times 10 = 5 + 30 = 35$ .

On a $u_1=8$ , $u_2=11$ , $u_3=14$ et $u_{10}=35$ . La formule évite de calculer tous les termes intermédiaires.

Exercice 2 Reconnaître une suite arithmétique donnée par une formule

★☆☆Environ 8 min

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $u_n = 4n - 7$ .

Calcule $u_0$ et $u_1$ .
Démontre que $(u_n)$ est arithmétique et donne sa raison.
Calcule $u_{20}$ .

Indice 1

Calcule $u_{n+1}-u_n$ en remplaçant $n$ par $n+1$ dans la formule.

Indice 2

Attention aux parenthèses : $4(n+1)-7 = 4n+4-7$ .

Voir la correction pas à pas

$u_0 = 4\times 0 - 7 = -7$ et $u_1 = 4\times 1 - 7 = -3$ .
Pour tout $n$ , $u_{n+1} = 4(n+1) - 7 = 4n - 3$ .
On calcule la différence : $u_{n+1}-u_n = (4n-3) - (4n-7) = 4$ .
Cette différence ne dépend pas de $n$ : la suite est arithmétique de raison $r = 4$ et de premier terme $u_0=-7$ .
On calcule directement : $u_{20} = 4\times 20 - 7 = 80 - 7 = 73$ .

La suite est arithmétique de raison 4, et $u_{20}=73$ . Une suite définie par une formule de la forme $an+b$ est toujours arithmétique, de raison $a$ : c'est l'équivalent discret d'une fonction affine ⁵.

Exercice 3 Retrouver la raison avec deux termes

★★☆Environ 10 min

Une suite arithmétique $(u_n)$ vérifie $u_3 = 11$ et $u_7 = 27$ .

Détermine la raison $r$ .
Détermine $u_0$ .
Calcule $u_{15}$ .

Indice 1

Entre le rang 3 et le rang 7, on ajoute la raison un certain nombre de fois. Combien ?

Indice 2

Utilise $u_n = u_p + (n-p)\,r$ .

Voir la correction pas à pas

Du rang 3 au rang 7, on ajoute 4 fois la raison : $u_7 = u_3 + 4r$ .
On remplace : $27 = 11 + 4r$ , donc $4r = 16$ et $r = 4$ .
Pour $u_0$ : $u_3 = u_0 + 3r$ , donc $11 = u_0 + 12$ et $u_0 = -1$ .
On calcule $u_{15} = u_0 + 15r = -1 + 15\times 4 = 59$ .
Vérification avec $u_3$ : $u_{15} = 11 + 12\times 4 = 59$ . Les deux méthodes concordent.

La raison est 4, le premier terme est $-1$ et $u_{15}=59$ .

Exercice 4 Lire un nuage de points

★★☆Environ 8 min

On a représenté dans un repère les points $(n\,;u_n)$ d'une suite : $(0\,;12)$ , $(1\,;9)$ , $(2\,;6)$ et $(3\,;3)$ .

Que remarques-tu sur la position de ces points ?
Conjecture la nature de la suite et sa raison.
Calcule $u_{10}$ en supposant que la conjecture est exacte.

Indice 1

Regarde de combien varie l'ordonnée quand l'abscisse augmente de 1.

Indice 2

La conjecture faite sur un graphique n'est pas une preuve, mais elle permet de calculer.

Voir la correction pas à pas

Les points sont alignés : l'ordonnée diminue de 3 chaque fois que l'abscisse augmente de 1.
On conjecture que la suite est arithmétique de raison $r=-3$ et de premier terme $u_0 = 12$ ¹.
On applique la formule : $u_{10} = 12 + 10\times(-3) = 12 - 30 = -18$ .
Comme $r<0$ , la suite est décroissante, ce que le graphique montre bien.

Le graphique suggère une suite arithmétique de raison $-3$ , d'où $u_{10}=-18$ . Pour le prouver, il faudrait établir que $u_{n+1}-u_n=-3$ pour tout $n$ .

Exercice 5 Montrer qu'une suite n'est pas arithmétique

★★☆Environ 8 min

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $v_n = n^2 + 1$ .

Calcule $v_0$ , $v_1$ , $v_2$ et $v_3$ .
La suite $(v_n)$ est-elle arithmétique ? Justifie.

Indice 1

Calcule les différences entre termes consécutifs.

Indice 2

Une seule différence qui change suffit pour conclure.

Voir la correction pas à pas

$v_0 = 1$ , $v_1 = 2$ , $v_2 = 5$ , $v_3 = 10$ .
Première différence : $v_1 - v_0 = 2 - 1 = 1$ .
Deuxième différence : $v_2 - v_1 = 5 - 2 = 3$ .
Ces deux différences sont distinctes : on n'ajoute pas toujours la même constante, donc la suite n'est pas arithmétique.

La suite $(v_n)$ n'est pas arithmétique, car $v_1-v_0 \neq v_2-v_1$ . Un contre-exemple de ce type suffit.

Exercice 6 Calculer une somme de termes consécutifs

★★☆Environ 10 min

On considère la somme $S = 1 + 4 + 7 + 10 + \dots + 100$ , où chaque terme s'obtient en ajoutant 3 au précédent.

Combien de termes contient cette somme ?
Calcule $S$ .

Indice 1

Les termes sont ceux d'une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 3. Résous $1+3k = 100$ .

Indice 2

Pense à la règle : nombre de termes multiplié par la moyenne des termes extrêmes.

Voir la correction pas à pas

Le terme de rang $k$ (en partant de $k=0$ ) vaut $1 + 3k$ .
On cherche $k$ tel que $1+3k = 100$ : $3k = 99$ , donc $k=33$ .
Les rangs vont de 0 à 33 : il y a $33 - 0 + 1 = 34$ termes.
Une somme de termes consécutifs est égale au nombre de termes multiplié par la moyenne des termes extrêmes ⁵.
$S = 34 \times \dfrac{1+100}{2} = 34 \times 50{,}5 = 1717$ .

La somme contient 34 termes et vaut 1717. L'erreur classique est de compter 33 termes en oubliant le rang 0.

Exercice 7 Modéliser une épargne mensuelle

★★☆Environ 12 min

Léa ouvre un livret avec 250 € et y verse ensuite 35 € chaque mois, sans autre opération. On note $u_n$ la somme (en euros) présente sur le livret après $n$ versements mensuels.

Justifie que $(u_n)$ est arithmétique et précise $u_0$ et $r$ .
Exprime $u_n$ en fonction de $n$ .
À partir de combien de versements Léa dépasse-t-elle 1 000 € ?

Indice 1

Une évolution qui ajoute chaque fois la même quantité est une évolution absolue constante, modélisée par une suite arithmétique ¹.

Indice 2

Résous l'inéquation $250 + 35n > 1000$ puis choisis le plus petit entier qui convient.

Voir la correction pas à pas

Chaque mois, on ajoute 35 € : la suite est arithmétique de raison $r = 35$ et de premier terme $u_0 = 250$ .
On écrit $u_n = 250 + 35n$ .
On résout $250 + 35n > 1000$ , soit $35n > 750$ et $n > \dfrac{750}{35} \approx 21{,}43$ .
Le plus petit entier strictement supérieur à 21,43 est 22.
Contrôle : $u_{21} = 250 + 735 = 985 < 1000$ et $u_{22} = 250 + 770 = 1020 > 1000$ .

Léa dépasse 1 000 € dès le 22e versement : elle a alors 1 020 €. Il faut arrondir à l'entier supérieur, car on ne peut pas faire une fraction de versement.

Exercice 8 Étudier le signe et la variation

★★★Environ 12 min

Soit $(w_n)$ la suite arithmétique de premier terme $w_0 = 17$ et de raison $r = -3$ .

Détermine le sens de variation de $(w_n)$ .
Exprime $w_n$ en fonction de $n$ .
Détermine le plus petit entier $n$ tel que $w_n < 0$ .

Indice 1

Pour la variation, regarde le signe de $w_{n+1}-w_n$ .

Indice 2

Résous $17 - 3n < 0$ et fais attention au sens de l'inégalité quand tu divises par un nombre négatif.

Voir la correction pas à pas

Pour tout $n$ , $w_{n+1} - w_n = r = -3 < 0$ : la suite est strictement décroissante ¹.
On a $w_n = 17 - 3n$ .
On résout $17 - 3n < 0$ : $17 < 3n$ , donc $n > \dfrac{17}{3} \approx 5{,}67$ .
Le plus petit entier convenable est $n = 6$ .
Contrôle : $w_5 = 17 - 15 = 2 > 0$ et $w_6 = 17 - 18 = -1 < 0$ .

La suite est décroissante et devient négative au rang 6 : à partir de ce rang, tous ses termes sont négatifs.

Exercice 9 Somme des premiers termes d'une suite donnée par formule

★★★Environ 15 min

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $t_n = 3 + 2n$ . On note $S = t_0 + t_1 + \dots + t_{19}$ .

Démontre que $(t_n)$ est arithmétique.
Combien de termes contient la somme $S$ ?
Calcule $S$ .

Indice 1

Pour la première question, calcule $t_{n+1}-t_n$ .

Indice 2

Il te faut le premier terme, le dernier terme et le nombre de termes.

Voir la correction pas à pas

Pour tout $n$ , $t_{n+1} = 3 + 2(n+1) = 5 + 2n$ .
Alors $t_{n+1} - t_n = (5+2n) - (3+2n) = 2$ : la suite est arithmétique de raison 2.
Les rangs vont de 0 à 19 : la somme contient $19 - 0 + 1 = 20$ termes.
Le premier terme est $t_0 = 3$ et le dernier est $t_{19} = 3 + 38 = 41$ .
On applique la règle de la somme ⁵ : $S = 20 \times \dfrac{3 + 41}{2} = 20 \times 22 = 440$ .

La suite est arithmétique de raison 2 et $S = 440$ . Compte toujours les termes avec « dernier rang moins premier rang plus un ».

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois utiliser $u_0 + nr$ ou $u_p + (n-p)r$ ?

Cela dépend du terme que tu connais. Si on te donne le premier terme $u_0$ , tu utilises $u_n = u_0 + n\,r$ . Si on te donne un autre terme $u_p$ (par exemple $u_3$ ), tu utilises $u_n = u_p + (n-p)\,r$ . La seconde formule contient la première, avec $p=0$ . Dans les deux cas, l'idée est la même : on ajoute la raison autant de fois qu'il y a de pas entre les deux rangs.

Comment prouver qu'une suite est arithmétique, et pas seulement le conjecturer ?

Lire un graphique ou calculer quelques termes permet de conjecturer, pas de prouver ¹. Pour démontrer, calcule $u_{n+1}-u_n$ pour un entier $n$ quelconque et simplifie. Si tu trouves un nombre qui ne dépend pas de $n$ , la suite est arithmétique et ce nombre est sa raison. Pour prouver le contraire, un seul contre-exemple suffit : deux différences consécutives qui ne sont pas égales.

Combien y a-t-il de termes dans une somme du rang $p$ au rang $n$ ?

Il y en a $n - p + 1$ . Par exemple, de $u_0$ à $u_{19}$ , il y a 20 termes, et non 19. Cette erreur de comptage est l'une des plus fréquentes dans les exercices de somme. Une fois le nombre de termes trouvé, on le multiplie par la moyenne du premier et du dernier terme ⁵.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques de la classe de première de la voie technologique · Ministère de l'Éducation nationale

Programme de mathématiques de la classe de première de la voie technologique, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 11 novembre 2026.
Programmes et ressources en mathématiques — Éduscol, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Manuel Sésamath Première 2019 — Suites arithmétiques (pages 66-67), Sésamath. Consulté le 11 novembre 2026.
Mathadoc — Suites géométriques et arithmétiques, Sésamath. Consulté le 11 novembre 2026.
Suite arithmétique, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Conjecture d'Erdős sur les progressions arithmétiques, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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Exercice 1 Calculer un terme à partir du premier terme et de la raison

Exercice 2 Reconnaître une suite arithmétique donnée par une formule

Exercice 3 Retrouver la raison avec deux termes

Exercice 4 Lire un nuage de points

Exercice 5 Montrer qu'une suite n'est pas arithmétique

Exercice 6 Calculer une somme de termes consécutifs

Exercice 7 Modéliser une épargne mensuelle

Exercice 8 Étudier le signe et la variation

Exercice 9 Somme des premiers termes d'une suite donnée par formule

Les questions qu'on se pose

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