Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques

Les suites géométriques : cours de Première technologique

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une suite géométrique se construit en multipliant chaque terme par un même nombre q, la raison : $u_{n+1}=q\times u_n$ .⁶
Pour la reconnaître ou le démontrer, on vérifie que le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant (avec $u_n\neq 0$ ).¹
Formule explicite : $u_n=u_0\times q^n$ , ou $u_n=u_p\times q^{\,n-p}$ depuis un rang $p$ .
Le sens de variation se lit avec la raison : pour $u_0>0$ , croissante si $q>1$ , décroissante si $0<q<1$ , alternée si $q<0$ .¹
Les intérêts composés donnent une suite géométrique de raison $1+\dfrac{t}{100}$ ; les intérêts simples, une suite arithmétique.⁴

Pourquoi étudier les suites géométriques ?

Tu connais déjà les suites arithmétiques : on y ajoute toujours le même nombre pour passer d'un terme au suivant. Beaucoup de situations ne fonctionnent pas ainsi. Un prix qui augmente de 5 % chaque année, une quantité de médicament qui diminue de moitié à chaque intervalle de temps, un capital placé à intérêts composés : à chaque étape, on multiplie par un coefficient fixe.

C'est exactement ce que décrivent les suites géométriques. Le programme de Première technologique te demande de savoir les représenter graphiquement, de conjecturer à partir du graphique si une suite est arithmétique ou géométrique, de le démontrer, puis de déterminer son sens de variation grâce à la raison.¹ L'étude de ces deux familles de suites sert aussi à comparer différents types de croissance.¹ Ce chapitre prépare donc directement le suivant, consacré à la croissance linéaire et exponentielle.

Dans ce cours, tu vas :

comprendre la définition par récurrence et le rôle de la raison ;
obtenir la formule qui donne n'importe quel terme sans calculer tous les précédents ;
reconnaître et démontrer qu'une suite est géométrique ;
étudier son sens de variation ;
traiter des problèmes d'intérêts composés et de pourcentages.

Définition et raison

Reconnaître et démontrer qu'une suite est géométrique

Le programme demande de savoir démontrer qu'une suite est arithmétique ou géométrique.¹ Pour une suite géométrique, on cherche un rapport constant entre deux termes consécutifs.

Le terme général : calculer sans tout recalculer

Calculer $u_{50}$ en enchaînant cinquante multiplications serait pénible. Une formule explicite donne directement $u_n$ en fonction de $n$ . Voyons d'où elle vient.

Démonstration · Pourquoi cette formule ?

On applique la relation de récurrence pas à pas :

$u_1=q\times u_0$ ;
$u_2=q\times u_1=q\times q\times u_0=q^2\,u_0$ ;
$u_3=q\times u_2=q^3\,u_0$ .

À chaque étape, on ajoute un facteur $q$ . Après $n$ étapes, il y a $n$ facteurs $q$ , donc $u_n=u_0\,q^n$ . Pour la version générale, il y a $n-p$ étapes entre le rang $p$ et le rang $n$ , donc $n-p$ facteurs $q$ .

Représentation graphique et conjecture

Le programme demande de réaliser et d'exploiter la représentation graphique des termes d'une suite, et de conjecturer à partir de cette représentation si elle est arithmétique ou géométrique.¹ On place les points de coordonnées $(n\,;\,u_n)$ , sans les relier : une suite n'est définie que pour des entiers.

Une suite arithmétique et une suite géométrique
n	Arithmétique (+3), u0 = 1	Géométrique (×2), u0 = 1
0	1	1
1	4	2
2	7	4
3	10	8
4	13	16

Une suite arithmétique et une suite géométrique · Les termes arithmétiques augmentent de 3 à chaque pas, les termes géométriques sont multipliés par 2.

Sens de variation d'une suite géométrique

Le programme attend que tu saches déterminer le sens de variation d'une suite géométrique à l'aide de la raison.¹ Pour comprendre pourquoi la raison suffit, regarde la différence entre deux termes consécutifs.

Démonstration · Étude du signe de $u_{n+1}-u_n$

Comme $u_{n+1}=q\,u_n$ , on a

$u_{n+1}-u_n=q\,u_n-u_n=u_n\,(q-1).$

Le signe de cette différence dépend donc du signe de $u_n$ et de celui de $q-1$ . Si $u_0>0$ et $q>0$ , alors tous les termes sont positifs (produit de nombres positifs) et le signe de la différence est celui de $q-1$ . Si $q<0$ , les termes changent de signe à chaque étape, donc la suite monte puis descend alternativement.

Sens de variation selon la raison
Raison q	Premier terme u0 > 0	Exemple
q > 1	Croissante	1 ; 2 ; 4 ; 8
q = 1	Constante	3 ; 3 ; 3 ; 3
0 < q < 1	Décroissante	8 ; 4 ; 2 ; 1
q < 0	Ni croissante ni décroissante	1 ; -2 ; 4 ; -8

Sens de variation selon la raison · Si le premier terme est négatif et la raison positive, les sens sont inversés.

Applications : pourcentages et intérêts composés

Les suites géométriques décrivent des phénomènes de croissance ou de décroissance exponentielle : elles sont l'équivalent, pour des valeurs entières de $n$ , d'une fonction exponentielle.⁶ On les retrouve aussi dans le calcul des intérêts composés des banques.⁶

Placements. On distingue deux grands types de placements. Avec des intérêts simples, les intérêts sont toujours calculés sur le capital de départ : le capital augmente d'une somme fixe chaque année, c'est une suite arithmétique. Avec des intérêts composés, les intérêts de chaque année s'ajoutent au capital et produisent à leur tour des intérêts : c'est une suite géométrique.⁴

RepérerQuantité de départ et période.
Coefficientq = 1 + t/100 (hausse) ou 1 - t/100 (baisse).
Définiru(n+1) = q × u(n) et u0.
Formuleu(n) = u0 × q^n.
ConclureCalculer, arrondir, écrire l'unité.

Résoudre un problème de pourcentages répétés · Méthode pour les problèmes d'évolution répétée.

Bilan : comparer arithmétique et géométrique

Le tableau ci-dessous résume les différences entre les deux familles de suites que tu as étudiées. Dans le chapitre suivant, tu compareras la croissance linéaire (suites arithmétiques) à la croissance exponentielle (suites géométriques) : l'étude de ces deux familles sert précisément à comparer différents types de croissance.¹

Suites arithmétiques et géométriques
	Arithmétique	Géométrique
Passage au terme suivant	On ajoute r	On multiplie par q
Relation de récurrence	u(n+1) = u(n) + r	u(n+1) = q × u(n)
Formule explicite	u(n) = u0 + n × r	u(n) = u0 × q^n
Critère	Différence constante	Quotient constant
Points du graphique	Alignés	Sur une courbe
Placement associé	Intérêts simples	Intérêts composés

Suites arithmétiques et géométriques · Deux familles de suites, deux types de croissance.

Exercices corrigés

Exercice 1 Calculer un terme

★☆☆Environ 5 min

Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=5$ et de raison $q=3$ . Calcule $u_4$ .

Indice 1

Utilise la formule $u_n=u_0\times q^n$ .

Indice 2

Calcule d'abord $3^4$ .

Voir la correction pas à pas

On applique la formule explicite : $u_4=u_0\times q^4=5\times 3^4$ .
On calcule la puissance : $3^4=3\times3\times3\times3=81$ .
On multiplie : $u_4=5\times 81=405$ .

Le quatrième terme est $u_4=405$ .

Exercice 2 Démontrer et calculer

★★☆Environ 10 min

Une suite est définie par $u_0=250$ et, pour tout entier $n$ , $u_{n+1}=0{,}8\,u_n$ .

Démontre que $(u_n)$ est géométrique.
Détermine son sens de variation.
Calcule $u_6$ (valeur exacte).

Indice 1

La relation donnée a déjà la forme $u_{n+1}=q\,u_n$ .

Indice 2

Compare $q$ à 1 et regarde le signe de $u_0$ .

Voir la correction pas à pas

Pour tout $n$ , $u_{n+1}=0{,}8\times u_n$ avec $0{,}8$ indépendant de $n$ : la suite est géométrique de raison $q=0{,}8$ et de premier terme $250$ .
On a $u_0=250>0$ et $0<q=0{,}8<1$ : la suite est décroissante.
On applique la formule : $u_6=250\times 0{,}8^6$ .
On calcule $0{,}8^6=0{,}262144$ , donc $u_6=250\times 0{,}262144=65{,}536$ .

La suite est géométrique de raison $0{,}8$ , décroissante, et $u_6=65{,}536$ .

Exercice 3 Un capital à intérêts composés

★★☆Environ 10 min

On place $1\,500$ € à intérêts composés au taux annuel de $3\,\%$ . On note $C_n$ le capital en euros après $n$ années.

Donne la nature de la suite $(C_n)$ , sa raison et son premier terme.
Calcule le capital après 10 ans, arrondi au centime.

Indice 1

Augmenter de 3 % revient à multiplier par un coefficient à calculer.

Indice 2

Après 10 ans, il y a 10 multiplications.

Voir la correction pas à pas

Une hausse de $3\,\%$ se traduit par le coefficient $1+\dfrac{3}{100}=1{,}03$ .
Donc $C_{n+1}=1{,}03\,C_n$ avec $C_0=1\,500$ : la suite est géométrique de raison $1{,}03$ .
Formule explicite : $C_n=1\,500\times 1{,}03^n$ .
Pour $n=10$ : $C_{10}=1\,500\times 1{,}03^{10}\approx 1\,500\times 1{,}343916\approx 2\,015{,}87$ €.

Après 10 ans, le capital est d'environ $2\,015{,}87$ €.

Exercice 4 Retrouver la raison et le premier terme

★★★Environ 12 min

Une suite géométrique $(u_n)$ de raison positive vérifie $u_2=12$ et $u_5=96$ .

Détermine la raison $q$ .
Détermine $u_0$ .
Calcule $u_{8}$ .

Indice 1

Écris $u_5=u_2\times q^{3}$ .

Indice 2

Cherche le nombre positif dont le cube vaut 8.

Voir la correction pas à pas

Entre le rang 2 et le rang 5, il y a $5-2=3$ multiplications : $u_5=u_2\times q^3$ .
On en déduit $q^3=\dfrac{96}{12}=8$ . Comme $2^3=8$ et que $q>0$ , on a $q=2$ .
On remonte au premier terme : $u_2=u_0\times q^2$ , donc $u_0=\dfrac{12}{4}=3$ .
Enfin $u_8=u_0\times 2^8=3\times 256=768$ .

La raison est $2$ , le premier terme est $3$ et $u_8=768$ .

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique ?

Calcule les premiers termes, puis compare deux choses. Si la différence $u_{n+1}-u_n$ est constante, la suite est arithmétique. Si le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant, elle est géométrique. Sur un graphique, des points alignés suggèrent une suite arithmétique.⁴ Cela reste une conjecture : pour l'affirmer, il faut une démonstration valable pour tout $n$ .¹

La raison peut-elle être négative, nulle ou égale à 1 ?

Oui pour une raison négative : les termes alternent de signe. Pour $q=1$ , la suite est constante. Pour $q=0$ , tous les termes à partir du rang 1 valent $0$ , ce cas n'a guère d'intérêt. Dans le critère du quotient, on suppose les termes non nuls.

Quelle formule utiliser quand la suite commence à $u_1$ et non à $u_0$ ?

Utilise $u_n=u_1\times q^{\,n-1}$ , ou plus généralement $u_n=u_p\times q^{\,n-p}$ . L'exposant compte les multiplications entre les deux termes. Vérifie toujours avec $n=1$ : tu dois retrouver $u_1$ , car $q^0=1$ .

À quoi servent les suites géométriques dans la vie réelle ?

Elles modélisent les phénomènes où une quantité est multipliée par un facteur constant à chaque période : intérêts composés dans le système bancaire, populations qui doublent ou diminuent de moitié dans un intervalle de temps fixe.⁶ On les utilise aussi pour la perte de valeur d'une machine au fil des années. Elles sont l'équivalent, pour des valeurs entières de $n$ , d'une fonction exponentielle.⁶

Pourquoi deux hausses de 10 % ne donnent-elles pas 20 % ?

Parce que la deuxième hausse s'applique à une quantité déjà augmentée. On multiplie : $1{,}1\times 1{,}1=1{,}21$ , soit $21\,\%$ de hausse globale. C'est le principe même d'une suite géométrique : on multiplie par la raison à chaque étape au lieu d'ajouter une quantité fixe.

Sources

Programme visé : Programmes et ressources en mathématiques - voie technologique (Première technologique) · Ministère de l'Éducation nationale

Programmes et ressources en mathématiques - voie technologique (Première technologique), Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 11 novembre 2026.
Programmes et ressources en mathématiques - voie générale et technologique, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Manuel Sesamath Première technologique - Suites géométriques (pages 348-349), Sesamath (manuel libre). Consulté le 11 novembre 2026.
Mathématiques financières en classe de Première STG - Suites géométriques, Académie de Lyon. Consulté le 11 novembre 2026.
Suites avec MathsOntologie - Approche des suites en Première, Sesamath. Consulté le 11 novembre 2026.
Suite géométrique, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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Les suites géométriques : cours de Première technologique

L'essentiel

Pourquoi étudier les suites géométriques ?

Définition et raison

Reconnaître et démontrer qu'une suite est géométrique

Le terme général : calculer sans tout recalculer

Représentation graphique et conjecture

Sens de variation d'une suite géométrique

Applications : pourcentages et intérêts composés

Bilan : comparer arithmétique et géométrique

Exercices corrigés

Exercice 1 Calculer un terme

Exercice 2 Démontrer et calculer

Exercice 3 Un capital à intérêts composés

Exercice 4 Retrouver la raison et le premier terme

Quiz

Les questions qu'on se pose

Sources

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