Suites géométriques : exercices corrigés de Première technologique

Pour $(a_n)$ : les quotients sont $6/2 = 3$, $18/6 = 3$, $54/18 = 3$. Le quotient est constant, la suite semble géométrique de raison 3.

Pour $(b_n)$ : les différences sont $9-5 = 4$, $13-9 = 4$, $17-13 = 4$. La différence est constante, la suite semble arithmétique de raison 4. Les quotients $9/5$ et $13/9$ sont différents : elle n'est pas géométrique.

Pour $(c_n)$ : les quotients sont $32/64 = 1/2$, $16/32 = 1/2$, $8/16 = 1/2$. La suite semble géométrique de raison $0{,}5$.

Ces constats viennent de quelques termes : ils sont des conjectures. Pour être sûr, il faudrait le démontrer, comme dans l'exercice 5.

La formule du terme général donne $u_4 = u_0 × q^4$.

On remplace : $u_4 = 3 × 2^4$.

On calcule la puissance : $2^4 = 16$.

Donc $u_4 = 3 × 16 = 48$.

Vérification de proche en proche : $u_1 = 6$, $u_2 = 12$, $u_3 = 24$, $u_4 = 48$. Les deux méthodes concordent.

La relation $v_{n+1} = 0{,}5 × v_n$ montre que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 0{,}5$.

Le terme général est donc $v_n = 80 × 0{,}5^n$.

Pour $n = 5$ : $v_5 = 80 × 0{,}5^5$.

Or $0{,}5^5 = 1/32$, donc $v_5 = 80/32$.

On simplifie : $v_5 = 2{,}5$.

Comme $w_3 = q × w_2$, on obtient $q = 54/18 = 3$.

Le terme général donne $w_2 = w_0 × q^2$, soit $18 = w_0 × 3^2$.

On calcule $3^2 = 9$, donc $18 = 9 × w_0$.

On divise par 9 : $w_0 = 18/9 = 2$.

Vérification : $w_1 = 6$, $w_2 = 18$, $w_3 = 54$. Cela correspond aux données.

Pour tout entier naturel $n$, $t_{n+1} = 4 × 3^{n+2}$.

On écrit $3^{n+2} = 3 × 3^{n+1}$, donc $t_{n+1} = 4 × 3 × 3^{n+1}$.

On regroupe : $t_{n+1} = 3 × (4 × 3^{n+1}) = 3 × t_n$.

Le nombre 3 ne dépend pas de $n$ : on passe toujours d'un terme au suivant en multipliant par 3. La suite $(t_n)$ est géométrique de raison 3.¹

Le premier terme est $t_0 = 4 × 3^{1} = 12$.

La suite est de la forme $u_0 × q^n$ : sa raison est $q = 0{,}9$ et son premier terme est $p_0 = 200$.

On a $p_{n+1} - p_n = 200 × 0{,}9^n × (0{,}9 - 1) = -0{,}1 × 200 × 0{,}9^n$.

Ce nombre est négatif pour tout $n$ car $200 × 0{,}9^n > 0$. Donc $p_{n+1} < p_n$ : la suite est décroissante. On retient la règle : premier terme positif et raison entre 0 et 1 donnent une suite décroissante.¹

Pour $p_3$ : $0{,}9^3 = 0{,}729$.

Donc $p_3 = 200 × 0{,}729 = 145{,}8$.

Une augmentation de 3 % multiplie le capital par $1 + 3/100 = 1{,}03$.

Donc $C_{n+1} = 1{,}03 × C_n$ pour tout $n$ : le facteur est constant, la suite est géométrique de raison $1{,}03$ et de premier terme $C_0 = 2000$. Le calcul des intérêts composés est une application classique de ces suites.⁶

Le terme général est $C_n = 2000 × 1{,}03^n$.

Pour $n = 5$ : $1{,}03^5 ≈ 1{,}159274$.

Donc $C_5 ≈ 2000 × 1{,}159274 ≈ 2318{,}55$ €.

Une baisse de 20 % multiplie l'effectif par $1 - 0{,}20 = 0{,}8$.

On a donc $N_{n+1} = 0{,}8 × N_n$ : la suite est géométrique de raison $0{,}8$ et de premier terme $N_0 = 5000$.

Le terme général est $N_n = 5000 × 0{,}8^n$.

Pour $n = 3$ : $0{,}8^3 = 0{,}512$.

Donc $N_3 = 5000 × 0{,}512 = 2560$ individus.

Entre le rang 1 et le rang 4, on multiplie 3 fois par $q$ : $s_4 = s_1 × q^3$.

On remplace : $162 = 6 × q^3$, donc $q^3 = 162/6 = 27$.

Le seul nombre positif dont le cube est 27 est 3, donc $q = 3$.

Pour atteindre $s_7$ depuis $s_1$, on multiplie 6 fois : $s_7 = s_1 × q^6 = 6 × 3^6$.

On calcule $3^6 = 729$, donc $s_7 = 6 × 729 = 4374$.

Vérification de proche en proche : $s_2 = 18$, $s_3 = 54$, $s_4 = 162$, $s_5 = 486$, $s_6 = 1458$, $s_7 = 4374$.

Le facteur annuel est $1{,}05$ : le capital après $n$ ans est $C_n = 1000 × 1{,}05^n$.

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $1000 × 1{,}05^n > 1500$, c'est-à-dire $1{,}05^n > 1{,}5$.

On teste : pour $n = 8$, $C_8 ≈ 1477{,}46$ €, ce qui est inférieur à 1 500 €.

Pour $n = 9$, $C_9 ≈ 1551{,}33$ €, ce qui dépasse 1 500 €.

La suite est croissante (raison $1{,}05 > 1$ et premier terme positif), donc pour tous les rangs suivants le capital reste au-dessus de 1 500 €.¹

Le seuil est donc atteint au bout de 9 années.

Pour A : $A_n = 1000 + 50 × n$, donc $A_{10} = 1000 + 500 = 1500$ €. C'est une suite arithmétique.

Pour B : $B_{n+1} = 1{,}05 × B_n$, donc $B_n = 1000 × 1{,}05^n$. C'est une suite géométrique.

On calcule $1{,}05^{10} ≈ 1{,}62889$, donc $B_{10} ≈ 1628{,}89$ €, soit environ 1 629 € à l'euro près.

On compare : $1629 > 1500$, le placement B est plus avantageux au bout de 10 ans.

Au bout de 9 ans, $B_9 ≈ 1551{,}33$ € et $A_9 = 1450$ € : B est déjà devant. La différence se creuse ensuite, car on multiplie à chaque étape au lieu d'ajouter.