Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une fonction du second degré s'écrit f(x)=ax2+bx+c avec a=0 ; sa courbe est une parabole.
Forme canonique : f(x)=a(x−α)2+β avec α=−2ab ; le sommet est (α;β), minimum si a>0, maximum si a<0.
Le discriminant Δ=b2−4ac donne le nombre de racines réelles : deux si Δ>0, une si Δ=0, aucune si Δ<0.
Si Δ≥0 : f(x)=a(x−x1)(x−x2), avec x1+x2=−ab et x1x2=ac.
Le signe de f est celui de a à l'extérieur des racines et le signe contraire entre elles.
Pourquoi étudier les fonctions du second degré
Après les fonctions affines, dont la courbe est une droite, tu rencontres des situations où la variation ne se fait plus à vitesse constante : la trajectoire d'un ballon, l'aire d'un enclos dont on fait varier un côté, un bénéfice qui augmente puis diminue. Le modèle linéaire ne suffit plus, car il ne peut pas « tourner ». Les fonctions du second degré sont le modèle le plus simple qui sait le faire.
Dans ce cours, tu apprends à reconnaître ces fonctions, à les écrire sous plusieurs formes, à résoudre les équations associées, à étudier leur signe et à les utiliser pour modéliser une situation. Ces notions reprennent les contenus du chapitre de spécialité de Première sur le second degré : forme factorisée, racines, signe, somme et produit des racines, forme canonique, discriminant, factorisation éventuelle et résolution d'une équation 2.
Reconnaître une fonction du second degré
Les trois formes d'une fonction du second degré
Une même fonction peut s'écrire de trois manières. Chacune répond mieux à une question précise, et savoir passer de l'une à l'autre est la compétence centrale du chapitre.
Quelle forme pour quelle question ?
Forme
Écriture
Elle donne facilement
Développée
ax² + bx + c
f(0) = c, les coefficients
Factorisée
a(x − x₁)(x − x₂)
les racines, le signe
Canonique
a(x − α)² + β
le sommet, l'extremum, les variations
Quelle forme pour quelle question ?
La parabole et la forme canonique
La représentation graphique d'une fonction du second degré est une parabole. Les racines éventuelles de la fonction sont les abscisses des points où la parabole d'équation y=ax2+bx+c coupe l'axe des abscisses 5. La forme canonique permet de comprendre toute sa forme.
Démonstration · Démonstration par complétion du carré
On factorise a dans les deux premiers termes :
ax2+bx+c=a(x2+abx)+c.
On reconnaît le début du carré (x+2ab)2=x2+abx+4a2b2. On écrit donc x2+abx=(x+2ab)2−4a2b2, d'où
ax2+bx+c=a(x+2ab)2−4ab2+c=a(x−α)2+β
avec α=−2ab et β=c−4ab2. En x=α le carré s'annule, donc f(α)=β.
La parabole de f(x) = x² − 4x + 3 · Racines en 1 et 3, sommet en (2 ; −1) : f(x) = (x − 1)(x − 3) = (x − 2)² − 1.
Le discriminant et la résolution de ax² + bx + c = 0
Résoudre l'équation ax2+bx+c=0, c'est chercher les racines de la fonction du second degré associée. Avec des nombres réels, on trouve au plus deux solutions, et le signe du discriminant indique combien il y en a : aucune, une ou deux 5. Voyons d'où vient ce résultat.
Démonstration · Preuve à partir de la forme canonique
D'après la forme canonique, ax2+bx+c=a[(x+2ab)2−4a2Δ], car β=c−4ab2=−4aΔ. Comme a=0, l'équation équivaut à
(x+2ab)2=4a2Δ.
Le membre de gauche est un carré, donc positif ou nul ; le membre de droite a le signe de Δ (car 4a2>0).
Si Δ<0, un carré ne peut pas être négatif : pas de solution.
Si Δ=0, le carré doit être nul : x=−2ab.
Si Δ>0, on a x+2ab=±2aΔ, ce qui donne les deux solutions annoncées.
CoefficientsRepère a, b et c avec leurs signes.
DiscriminantCalcule Δ = b² − 4ac.
Signe de ΔΔ > 0 : deux racines ; Δ = 0 : une ; Δ < 0 : aucune.
ConclusionVérifie une solution et écris l'ensemble S.
Résoudre ax² + bx + c = 0
Factorisation, signe et somme-produit des racines
Démonstration · Preuve
On développe la forme factorisée : a(x−x1)(x−x2)=ax2−a(x1+x2)x+ax1x2. Elle est égale à ax2+bx+c pour tout x, donc les coefficients sont égaux : −a(x1+x2)=b et ax1x2=c. On divise par a=0.
Modéliser une situation par une fonction du second degré
Modéliser, c'est traduire une situation par une fonction, étudier cette fonction, puis revenir à la situation pour répondre. Les fonctions du second degré servent dès qu'une grandeur dépend du produit de deux quantités liées, comme une aire, ou quand une grandeur augmente puis diminue.
Récapitulatif et pièges à éviter
Exercices corrigés
Exercice 1 Reconnaître et calculer un discriminant
★☆☆Environ 5 min
Soit f(x)=2x2−3x−5.
Donne les coefficients a, b et c.
Calcule le discriminant Δ.
Que peux-tu en déduire sur le nombre de racines réelles ?
Indice 1
Fais attention au signe de c dans le calcul de −4ac.
Indice 2
Un discriminant positif signifie deux racines.
Voir la correction pas à pas
On lit a=2, b=−3 et c=−5.
On calcule Δ=b2−4ac=(−3)2−4×2×(−5)=9+40=49.
Comme Δ=49>0, l'équation f(x)=0 admet deux racines réelles distinctes (les racines sont 43−7=−1 et 43+7=2,5).
Le discriminant vaut 49 : la parabole coupe l'axe des abscisses en deux points, d'abscisses −1 et 2,5.
Exercice 2 Résoudre une équation et factoriser
★★☆Environ 10 min
On considère g(x)=x2−7x+12.
Résous g(x)=0 à l'aide du discriminant.
Vérifie que la somme des racines vaut 7 et leur produit 12.
Donne la forme factorisée de g. Quelle est la plus grande racine ?
Indice 1
Calcule d'abord Δ avec a=1, b=−7, c=12.
Indice 2
Une fois les racines trouvées, écris g(x)=a(x−x1)(x−x2).
Voir la correction pas à pas
On a a=1, b=−7, c=12, donc Δ=49−48=1>0 : deux racines.
Les racines sont x1=27−1=3 et x2=27+1=4.
Somme : 3+4=7=−ab ; produit : 3×4=12=ac. Les relations sont vérifiées.
Forme factorisée : g(x)=(x−3)(x−4) ; la plus grande racine est 4.
L'ensemble des solutions est S={3;4} et g(x)=(x−3)(x−4). La plus grande racine est 4.
Exercice 3 Forme canonique et extremum
★★☆Environ 10 min
Soit h(x)=2x2−12x+7.
Calcule α=−2ab.
Calcule β=h(α) et écris la forme canonique de h.
La fonction h admet-elle un minimum ou un maximum ? Quelle est sa valeur ?
Indice 1
Ici a=2 et b=−12.
Indice 2
Pour β, remplace x par α dans l'expression de départ.
Voir la correction pas à pas
On calcule α=−2×2−12=3.
On calcule β=h(3)=2×32−12×3+7=18−36+7=−11.
La forme canonique est h(x)=2(x−3)2−11.
Comme a=2>0, la parabole est tournée vers le haut : h admet un minimum, égal à β=−11, atteint en x=3.
Le minimum de h vaut −11 et il est atteint pour x=3. Le sommet de la parabole est S(3;−11).
Exercice 4 Un enclos d'aire maximale
★★★Environ 15 min
Un agriculteur dispose de 40 m de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire. On note x (en m) la longueur d'un côté.
Exprime l'autre côté en fonction de x et précise l'intervalle de variation de x.
Montre que l'aire est A(x)=−x2+20x.
Détermine la valeur de x qui rend l'aire maximale, puis cette aire maximale en m2.
Indice 1
Le périmètre d'un rectangle de côtés x et y vaut 2(x+y).
Indice 2
L'extremum d'un trinôme se lit grâce à α=−2ab et β=f(α).
Voir la correction pas à pas
Le périmètre vaut 40, donc 2(x+y)=40 et y=20−x. Les deux côtés sont positifs : 0<x<20.
L'aire est A(x)=x×(20−x)=20x−x2=−x2+20x.
On a a=−1<0 et b=20 : l'aire admet un maximum, atteint en α=−2×(−1)20=10.
On calcule A(10)=−102+20×10=−100+200=100. Comme 10∈]0;20[, la solution est acceptable.
L'aire est maximale pour x=10 m : l'enclos est alors un carré de 10 m de côté et son aire vaut 100m2.
Quiz
8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
En développant, h(x)=x2+3x−4 : le coefficient de x2 est non nul, c'est donc bien une fonction du second degré. f est affine. g(x) se réduit à 2x+1, donc elle est affine malgré les apparences. k a un coefficient nul devant x2 : ce n'est pas un trinôme, mais un binôme du premier degré 5.
On lit directement les coefficients avec leur signe : a=1, b=−7, c=122. Écrire b=7 oublie le signe moins ; inverser a et b confond l'ordre des termes ; c=−12 change le signe du terme constant.
Δ=b2−4ac=(−6)2−4×1×9=36−36=0. L'erreur tentante est d'écrire −62=−36, ce qui donne −72 : il faut mettre −6 entre parenthèses. Comme Δ=0, l'équation a une solution double, x=3.
Faux : si Δ<0, il n'y a aucune solution réelle, car la forme canonique conduirait à un carré égal à un nombre négatif, ce qui est impossible. Le nombre de solutions (0, 1 ou 2) est lié au signe du discriminant 5. L'idée de solutions « opposées » vient d'une confusion avec le cas b=0, où elles sont effectivement opposées quand elles existent.
Dans a(x−α)2+β, on lit α=3 et β=−11 : le sommet est (3;−11). Prendre −3 est l'erreur classique de signe sur α ; 11 au lieu de −11 oublie le signe de β ; 2 est le coefficient a, qui n'a aucun rôle dans les coordonnées du sommet.
Entre les racines, le trinôme a le signe contraire de a ; ici a=1>0, donc il est négatif. Vérification : 2,52−5×2,5+6=6,25−12,5+6=−0,25<0. Répondre « positif » applique la règle de l'extérieur des racines alors que 2,5 est entre 2 et 3.
Le coefficient a=−3<0 : la parabole est tournée vers le bas, avec un maximum β=4 atteint en α=1, et la fonction est croissante jusqu'à 1 puis décroissante. « Minimum égal à 4 » est faux : on confond le sens de la parabole, qui dépend du signe de a.
Avec un côté x, l'autre vaut 20−x et l'aire est A(x)=−x2+20x, maximale en x=10 : A(10)=100. Une erreur fréquente est de répondre 10 (la valeur de x) au lieu de l'aire, ou 400 en élevant au carré le demi-périmètre (20 m).
Les questions qu'on se pose
Comment savoir quelle méthode utiliser pour résoudre une équation du second degré ?
Regarde d'abord si l'équation est simple : s'il n'y a pas de terme constant (x2−3x=0), factorise par x ; s'il n'y a pas de terme en x (x2=9), isole x2 ; si tu vois une racine évidente (0, 1, −1), utilise la somme ou le produit des racines. Dans tous les autres cas, le discriminant fonctionne toujours : c'est la méthode générale.
Pourquoi trouve-t-on au plus deux solutions ?
Parce que la forme factorisée a(x−x1)(x−x2) ne s'annule que si l'un de ses facteurs s'annule. Avec des réels, on obtient donc deux solutions au maximum : ce sont les points où la parabole rencontre l'axe des abscisses 5. Une parabole ne peut pas couper un axe horizontal en plus de deux points.
À quoi servent les fonctions du second degré dans la vie réelle ?
Elles modélisent les situations où une grandeur augmente puis diminue (ou l'inverse) : une aire dépendant d'une longueur variable, un bénéfice selon la quantité produite, la trajectoire d'un objet lancé. L'étude de l'extremum donne la meilleure valeur possible, par exemple l'aire maximale ou le coût minimal.
Faut-il toujours calculer le discriminant ?
Non. Si la forme canonique ou la forme factorisée est donnée, les racines et le sommet se lisent directement. Le discriminant est utile quand on part de la forme développée sans racine évidente. Pour trouver un extremum, il suffit souvent de calculer α=−2ab puis f(α).
Que faire si l'on trouve Δ < 0 alors que l'énoncé demande de résoudre l'équation ?
Vérifie d'abord le calcul de Δ (signes de b2 et de −4ac). Si le résultat est confirmé, l'équation n'a pas de solution dans R et c'est une réponse valable : écris « S=∅ ». Dans ce cas, la parabole ne rencontre pas l'axe des abscisses.
Que demande-t-on le plus souvent à l'épreuve sur ce chapitre ?
Les sujets associent en général plusieurs savoir-faire : déterminer la forme canonique ou le sommet, résoudre une équation ou une inéquation, étudier le signe d'un trinôme, puis interpréter le résultat dans une situation concrète. Soigne donc la rédaction de la dernière phrase, qui répond à la question posée avec l'unité.