Mathématiques (enseignement scientifique, tronc commun) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Fonctions du second degré : exercices corrigés de 1re

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une fonction polynôme du second degré s'écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ ; sa courbe est une parabole.²
Avec la forme factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$ , les racines se lisent directement.¹
Une équation du second degré a 0, 1 ou 2 solutions réelles : ce sont les abscisses des points où la parabole coupe l'axe des abscisses.⁵
Modéliser, c'est traduire une situation par $f(x)=ax^2+bx+c$ , puis chercher une valeur, des racines ou un extremum.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices vont du plus simple au plus délicat. Les premiers vérifient que tu reconnais une fonction du second degré et que tu sais la calculer. Les suivants travaillent la forme factorisée, la résolution d'équations, la forme canonique, puis la modélisation d'une situation concrète. Cherche chaque exercice sur ta feuille avant d'ouvrir les indices, puis compare ta démarche avec la correction : c'est la méthode qui compte autant que le résultat.

Les exercices

Exercice 1 Reconnaître une fonction du second degré

★☆☆Environ 5 min

On considère les fonctions suivantes, toutes définies sur $\mathbb{R}$ :

$p(x)=3x^2-5x+2$
$q(x)=x+1$
$r(x)=0x^2+x+1$
$s(x)=4x^2$

Lesquelles sont des fonctions polynômes du second degré ?
Pour $p$ , donne $a$ , $b$ , $c$ , puis calcule $a+b+c$ .

Indice 1

Une fonction est du second degré seulement si le coefficient de $x^2$ n'est pas nul.

Indice 2

Pour $s$ , les termes en $x$ et le terme constant sont absents : leurs coefficients valent 0.

Voir la correction pas à pas

On regarde le coefficient de $x^2$ dans chaque fonction. Pour $p$ il vaut 3, pour $s$ il vaut 4 : ces deux fonctions sont du second degré.
Pour $q$ , il n'y a pas de terme en $x^2$ : c'est une fonction affine. Pour $r$ , le coefficient de $x^2$ vaut 0 : ce n'est pas un trinôme, c'est un binôme du premier degré.
Pour $p$ , on lit $a=3$ , $b=-5$ et $c=2$ (le signe fait partie du coefficient).
On calcule $a+b+c=3+(-5)+2=0$ .

Seules $p$ et $s$ sont des fonctions polynômes du second degré. Pour $p$ , $a+b+c=0$ . Ce résultat n'est pas un hasard : il signifie que $p(1)=0$ , donc que 1 est une racine de $p$ .

Exercice 2 Calculer une image

★☆☆Environ 5 min

Soit $f(x)=x^2-7x+12$ .

Calcule $f(5)$ .
Calcule $f(0)$ et explique ce que représente ce nombre pour la parabole.

Indice 1

Remplace $x$ par 5 en mettant des parenthèses autour de la valeur pour ne pas te tromper de signe.

Indice 2

$f(0)$ est le terme constant $c$ .

Voir la correction pas à pas

On remplace $x$ par 5 : $f(5)=5^2-7\times 5+12$ .
On calcule dans l'ordre : $25-35+12=2$ .
On remplace $x$ par 0 : $f(0)=0-0+12=12$ .
Le point $(0\,;\,12)$ appartient à la parabole : c'est son point d'intersection avec l'axe des ordonnées.

$f(5)=2$ et $f(0)=12$ . Le terme constant $c$ est toujours l'ordonnée du point où la courbe coupe l'axe des ordonnées.

Exercice 3 Lire les racines sur une forme factorisée

★☆☆Environ 6 min

Soit $f(x)=2(x-3)(x+1)$ .

Donne les racines de $f$ .
Calcule leur somme.
Calcule $f(0)$ .

Indice 1

Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul.

Indice 2

$x+1=0$ donne $x=-1$ : attention au changement de signe.

Voir la correction pas à pas

La forme $2(x-3)(x+1)$ est de type $a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a=2$ .
On résout $x-3=0$ , donc $x_1=3$ , puis $x+1=0$ , donc $x_2=-1$ .
La somme des racines vaut $3+(-1)=2$ .
Pour $f(0)$ : $2\times(0-3)\times(0+1)=2\times(-3)\times 1=-6$ .

Les racines sont 3 et $-1$ , leur somme vaut 2 et $f(0)=-6$ . La parabole coupe donc l'axe des abscisses aux points d'abscisses $-1$ et 3.

Exercice 4 Résoudre une équation en factorisant

★★☆Environ 8 min

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^2-7x+12=0$ . On pourra chercher deux nombres dont la somme vaut 7 et le produit vaut 12. Donne la plus grande solution.

Indice 1

Cherche deux entiers positifs de produit 12, puis garde ceux dont la somme est 7.

Indice 2

Vérifie ensuite en développant $(x-x_1)(x-x_2)$ .

Voir la correction pas à pas

On teste les couples d'entiers de produit 12 : (1 ; 12), (2 ; 6), (3 ; 4). Seul (3 ; 4) a pour somme 7.
On propose la factorisation $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$ .
On vérifie en développant : $(x-3)(x-4)=x^2-4x-3x+12=x^2-7x+12$ . C'est exact.
L'équation devient $(x-3)(x-4)=0$ , donc $x=3$ ou $x=4$ .

L'ensemble des solutions est $\{3\,;\,4\}$ et la plus grande solution est 4. Cette équation a deux solutions : la parabole coupe l'axe des abscisses en deux points.

Exercice 5 Passer à la forme canonique

★★☆Environ 10 min

Soit $g(x)=x^2-6x+5$ .

Écris $g(x)$ sous la forme $(x-\alpha)^2+\beta$ .
En déduire la valeur minimale de $g$ et la valeur de $x$ pour laquelle elle est atteinte.
Combien l'équation $g(x)=0$ a-t-elle de solutions ?

Indice 1

Pars de $x^2-6x$ et reconnais le début de $(x-3)^2$ .

Indice 2

Un carré est toujours positif ou nul.

Voir la correction pas à pas

On a $(x-3)^2=x^2-6x+9$ , donc $x^2-6x=(x-3)^2-9$ .
On ajoute le terme constant : $g(x)=(x-3)^2-9+5=(x-3)^2-4$ .
Comme $(x-3)^2\geq 0$ , on a $g(x)\geq -4$ , avec égalité si et seulement si $x=3$ .
Pour résoudre $g(x)=0$ : $(x-3)^2=4$ , donc $x-3=2$ ou $x-3=-2$ , soit $x=5$ ou $x=1$ .

$g(x)=(x-3)^2-4$ : le minimum de $g$ vaut $-4$ , atteint en $x=3$ . Comme ce minimum est négatif et que la parabole est tournée vers le haut, elle coupe l'axe des abscisses en deux points : l'équation a deux solutions, 1 et 5.

Exercice 6 Combien de solutions ?

★★☆Environ 8 min

Pour chaque équation, dis si elle a 0, 1 ou 2 solutions réelles, en utilisant la forme canonique, puis donne le nombre total de solutions réelles des trois équations réunies.

(E1) $x^2+4x+4=0$
(E2) $x^2+2x+5=0$
(E3) $x^2-2x-3=0$

Indice 1

Reconnais une identité remarquable dans (E1).

Indice 2

Pour (E2), écris $x^2+2x+5=(x+1)^2+4$ .

Voir la correction pas à pas

(E1) : $x^2+4x+4=(x+2)^2$ . L'équation $(x+2)^2=0$ a une seule solution, $x=-2$ (racine double).
(E2) : $x^2+2x+5=(x+1)^2+4$ . Or $(x+1)^2\geq 0$ , donc l'expression vaut au moins 4 et ne s'annule jamais : aucune solution.
(E3) : $x^2-2x-3=(x-1)^2-4$ . On résout $(x-1)^2=4$ , d'où $x=3$ ou $x=-1$ : deux solutions.
Total : $1+0+2=3$ solutions réelles.

On retrouve les trois cas possibles : une racine double (la parabole touche l'axe des abscisses), aucune solution (la parabole reste d'un seul côté de l'axe) et deux solutions (elle le coupe deux fois).⁵ Le nombre de solutions dépend de la position de la parabole par rapport à cet axe.

Exercice 7 Hauteur maximale d'un ballon

★★☆Environ 10 min

Un ballon est lancé verticalement. On modélise sa hauteur, en mètres, par $h(t)=-5t^2+20t+1$ , où $t$ est le temps en secondes depuis le lancer.

D'où part le ballon (hauteur à $t=0$ ) ?
Écris $h(t)$ sous la forme $-5(t-2)^2+k$ et détermine $k$ .
Quelle est la hauteur maximale atteinte, et à quel instant ?

Indice 1

Développe $-5(t-2)^2$ pour comparer avec $h(t)$ .

Indice 2

Comme $(t-2)^2\geq 0$ et que le coefficient devant est négatif, le terme $-5(t-2)^2$ est toujours négatif ou nul.

Voir la correction pas à pas

À $t=0$ : $h(0)=1$ . Le ballon est lancé d'une hauteur de 1 m.
On développe : $-5(t-2)^2=-5t^2+20t-20$ . Pour retrouver $h(t)$ , il faut ajouter 21 : $h(t)=-5(t-2)^2+21$ , donc $k=21$ .
Comme $-5(t-2)^2\leq 0$ , on a $h(t)\leq 21$ , avec égalité pour $t=2$ .
On vérifie : $h(2)=-5\times 4+40+1=21$ .

Le ballon atteint sa hauteur maximale de 21 m au bout de 2 secondes. Ici $a<0$ : la parabole est tournée vers le bas, donc la fonction admet un maximum et non un minimum.

Exercice 8 Retour au sol et aire maximale

★★★Environ 15 min

Partie A. Un projectile lancé du sol suit la hauteur $h(t)=-5t^2+20t$ (en mètres, $t$ en secondes). À quel instant $t>0$ retombe-t-il au sol ?

Partie B. On dispose de 40 m de clôture pour entourer un enclos rectangulaire. On note $x$ la largeur, en mètres.

Exprime la longueur en fonction de $x$ , puis l'aire $A(x)$ .
Détermine la valeur de $x$ qui rend l'aire maximale et calcule cette aire.

Indice 1

Pour la partie A, factorise $-5t^2+20t$ en mettant $-5t$ en facteur.

Indice 2

Pour la partie B, le périmètre vaut $2\times(\text{largeur}+\text{longueur})$ , donc largeur + longueur = 20.

Indice 3

L'aire $x(20-x)$ est symétrique : elle s'annule en $x=0$ et en $x=20$ .

Voir la correction pas à pas

Partie A : on cherche $h(t)=0$ . On factorise : $-5t^2+20t=-5t(t-4)$ .
L'équation $-5t(t-4)=0$ donne $t=0$ (le lancer) ou $t=4$ . Le projectile retombe donc au bout de 4 secondes.
Partie B : le périmètre est 40, donc largeur + longueur = 20 et la longueur vaut $20-x$ , avec $0<x<20$ .
L'aire est $A(x)=x(20-x)=-x^2+20x$ . Sa forme factorisée montre les racines 0 et 20 ; par symétrie de la parabole, le maximum est atteint au milieu, en $x=10$ .
On calcule $A(10)=10\times 10=100$ . On peut le confirmer par la forme canonique : $A(x)=-(x-10)^2+100\leq 100$ .

Le projectile retombe à $t=4$ s. L'aire de l'enclos est maximale pour $x=10$ m : le rectangle est alors un carré de 10 m de côté, d'aire 100 m². Réponse demandée : l'aire maximale.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir quelle forme utiliser : développée, factorisée ou canonique ?

Cela dépend de la question. La forme développée $ax^2+bx+c$ sert à calculer une image, comme $f(0)=c$ .² La forme factorisée donne directement les racines.¹ La forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ sert à trouver un minimum ou un maximum, car le carré est toujours positif ou nul. Si l'énoncé demande un extremum, pense à la forme canonique ; s'il demande de résoudre $f(x)=0$ , pense à la factorisation.

Une équation du second degré a-t-elle toujours des solutions ?

Non. Dans l'ensemble des nombres réels, elle a au maximum deux solutions : il peut y en avoir 0, 1 ou 2.⁵ Ces solutions correspondent aux points où la parabole rencontre l'axe des abscisses. Si la parabole reste entièrement au-dessus ou entièrement en dessous de cet axe, l'équation n'a pas de solution réelle, comme pour $x^2+2x+5=0$ .

Que faire quand un exercice de modélisation donne une hauteur ou une aire ?

Suis toujours le même chemin : nomme l'inconnue, écris la fonction du second degré qui traduit la situation, choisis la forme adaptée (canonique pour un maximum ou un minimum, factorisée pour un retour à zéro), puis réponds par une phrase avec l'unité. Vérifie aussi que ta solution a un sens : un temps ou une longueur ne peut pas être négatif.

Sources

Cours de modélisation quadratique - Polynômes du second degré, CNRS - Mathématiques. Consulté le 6 novembre 2026.
Modélisation quadratique par les fonctions du second degré - Chapitre 1, CNRS - Spécialité Mathématiques Première. Consulté le 6 novembre 2026.
Viser la parabole - Activité TICE de modélisation, Académie de Strasbourg. Consulté le 6 novembre 2026.
Fonction quadratique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Équation du second degré, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

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Exercice 1 Reconnaître une fonction du second degré

Exercice 2 Calculer une image

Exercice 3 Lire les racines sur une forme factorisée

Exercice 4 Résoudre une équation en factorisant

Exercice 5 Passer à la forme canonique

Exercice 6 Combien de solutions ?

Exercice 7 Hauteur maximale d'un ballon

Exercice 8 Retour au sol et aire maximale

Les questions qu'on se pose

Sources

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