Variation exponentielle : cours de 1re (enseignement scientifique)

Un compte en banque, une population de bactéries, la diffusion d'une rumeur : ces grandeurs évoluent au fil du temps, mais pas de la même manière. Dans ce cours, tu apprends à reconnaître une évolution exponentielle, à la modéliser par une suite puis par une fonction, et à savoir quand elle cesse d'être réaliste.

Tu connais déjà deux modèles. Le modèle linéaire, celui des fonctions affines, décrit une grandeur dont le taux d'accroissement est constant : on ajoute toujours la même quantité à chaque étape ¹. Le modèle quadratique, lui, fait intervenir un carré. Ici, nous passons à un troisième type d'évolution : on ne ajoute plus, on multiplie.

Les suites arithmétiques et les fonctions affines modélisent des grandeurs dont le taux d'accroissement est constant ¹. Concrètement, une suite arithmétique de raison $r$ vérifie $u_{n+1} = u_n + r$, et donc $u_n = u_0 + n\times r$.

Le point essentiel à retenir pour la suite est le critère de reconnaissance : dans un modèle linéaire, la différence entre deux termes consécutifs est constante. Nous allons voir que, dans un modèle exponentiel, c'est le quotient entre deux termes consécutifs qui est constant.

Quand le temps s'écoule par étapes entières (0, 1, 2, 3…), une croissance exponentielle donne des valeurs qui forment une progression géométrique : on parle de croissance géométrique ⁵. Si la quantité diminue de la même façon, on parle de décroissance géométrique ⁵.

Dans la vie courante, on parle rarement de « raison » : on dit qu'une valeur augmente de 5 % par an ou diminue de 30 % par jour. Il faut donc savoir passer d'un pourcentage au facteur par lequel on multiplie.

Une suite ne donne la valeur de la grandeur qu'à des instants entiers : 0, 1, 2, 3… Or un phénomène comme la croissance d'une population ou la décroissance d'un médicament dans le sang se déroule en continu. On peut alors modéliser la quantité par une fonction du temps.

Selon le programme, on introduit les fonctions exponentielles en étendant les suites géométriques de raison positive aux exposants qui ne sont pas des entiers ¹. Par exemple, la suite $u_n = 2^n$ donne $1, 2, 4, 8$ pour $n=0,1,2,3$ ; la fonction $f(x)=2^x$ donne ces mêmes valeurs aux entiers, mais aussi une valeur pour $x = 0{,}5$ ou $x=2{,}7$.

Le programme suggère au professeur de rapprocher le comportement des fonctions exponentielles de celui des suites géométriques ¹, comme on rapproche déjà les fonctions affines des suites arithmétiques ¹.

En physique, la décroissance exponentielle caractérise les phénomènes sans vieillissement : ils se produisent avec la même probabilité quelle qu'ait été leur durée de vie jusque-là ⁶. En fiabilité, elle décrit un système manufacturé dont le taux instantané de défaillance est constant ⁶.

Cette propriété distingue une croissance exponentielle de toute autre. Si une population met 3 jours pour passer de 100 à 200, elle mettra encore 3 jours pour passer de 200 à 400, puis de 400 à 800, et de 10 000 à 20 000. À l'inverse, dans un modèle linéaire, il faut un temps de plus en plus long pour doubler : ajouter 100 à 100 est rapide, ajouter 10 000 à 10 000 prend cent fois plus de temps.

Pour une décroissance, on raisonne de façon symétrique : on cherche le temps au bout duquel la quantité est divisée par deux, et il est lui aussi constant. La demi-vie intervient dans les expressions de la décroissance exponentielle ⁶.

Aucune population ne peut doubler indéfiniment. On admet que le développement de micro-organismes d'une culture peut être modélisé de façon exponentielle pour le début du développement ; ensuite, les contraintes du milieu, comme un nutriment épuisé ou un volume disponible atteint, rendent préférable un autre modèle, celui de Verhulst (1838) ⁵.

Un exemple de croissance exponentielle incontrôlée est la réaction nucléaire en chaîne : lorsque les neutrons ont plus de chances d'être absorbés par les noyaux voisins que de s'échapper, leur production augmente de façon exponentielle ⁵.

Il faut aussi savoir qu'un phénomène réel peut changer de régime. Dans l'étude d'une épidémie, on a pu découper la courbe en plusieurs morceaux, chacun proche d'une fonction exponentielle, avec un temps de doublement qui change d'un morceau à l'autre ⁴. Interpréter un tel résultat demande de connaître la maladie : le calcul seul ne suffit pas ⁴.