Mathématiques (enseignement scientifique, tronc commun) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Variation exponentielle : exercices corrigés de 1re (enseignement scientifique)

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une grandeur évolue de façon exponentielle quand elle est multipliée par un même facteur sur des durées égales ; facteur supérieur à 1 : croissance, inférieur à 1 : décroissance ³.
Pas à pas, les valeurs forment une suite géométrique : $u_n = u_0 \times q^n$ ⁵.
Le temps de doublement est constant, quelle que soit la valeur de départ ⁴.
Une croissance exponentielle démarre assez lentement ⁵, puis finit par dépasser n'importe quelle évolution linéaire.
Méthode : repérer le coefficient multiplicateur, écrire la formule, puis calculer.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices t'entraînent à reconnaître une évolution exponentielle, à calculer avec un coefficient multiplicateur et à interpréter le résultat. Ils vont du plus simple au plus délicat. Cherche d'abord seul, avec une feuille et une calculatrice, puis ouvre les indices un par un avant de lire la correction.

Une grandeur positive évolue de manière exponentielle quand, sur des durées égales, elle est multipliée par un même facteur. Si ce facteur est supérieur à 1, l'évolution est croissante ; s'il est inférieur à 1, elle est décroissante ³.

Rappels avant de chercher

Les exercices

Exercice 1 Des bactéries qui doublent

★☆☆Environ 5 min

Une culture contient 50 bactéries à l'instant initial. Leur nombre double chaque heure.

Combien de bactéries la culture contient-elle au bout de 6 heures ?

Indice 1

Doubler, c'est multiplier par quel coefficient ?

Indice 2

Après 1 h : $50 \times 2$ . Après 2 h : $50 \times 2 \times 2$ . Cherche le motif.

Voir la correction pas à pas

Le coefficient multiplicateur par heure est $q = 2$ .
Le nombre de bactéries après $n$ heures est $u_n = 50 \times 2^n$ .
Pour $n = 6$ : $u_6 = 50 \times 2^6 = 50 \times 64$ .
On obtient $u_6 = 3\,200$ .

Au bout de 6 heures, la culture contient 3 200 bactéries. Observe qu'en 6 heures le nombre est multiplié par 64 : l'évolution démarre doucement (100, 200, 400…), puis s'emballe.

Exercice 2 Un capital à intérêts composés

★☆☆Environ 6 min

On place 2 000 € à un taux de 8 % par an. Chaque année, les intérêts sont ajoutés au capital et rapportent à leur tour des intérêts.

Quel est le capital, arrondi au centime, au bout de 3 ans ?

Indice 1

Une hausse de 8 % correspond au coefficient $1 + \dfrac{8}{100}$ .

Indice 2

Le capital est multiplié par ce coefficient chaque année.

Voir la correction pas à pas

Le coefficient multiplicateur annuel est $q = 1 + \dfrac{8}{100} = 1{,}08$ .
Le capital après $n$ années est $C_n = 2\,000 \times 1{,}08^n$ .
Pour $n = 3$ : $C_3 = 2\,000 \times 1{,}08^3 = 2\,000 \times 1{,}259\,712$ .
On trouve $C_3 = 2\,519{,}424$ , soit environ $2\,519{,}42$ €.

Le capital vaut environ 2 519,42 €. Attention : trois hausses de 8 % ne font pas une hausse de 24 %, car chaque hausse porte sur un capital déjà augmenté.

Exercice 3 Une substance qui diminue

★☆☆Environ 6 min

Une substance perd 10 % de sa masse chaque jour. Au départ, on dispose de 400 g.

Quelle masse reste-t-il au bout de 4 jours ? Arrondis au dixième de gramme si besoin.

Indice 1

Une baisse de 10 % correspond au coefficient $1 - \dfrac{10}{100}$ .

Indice 2

Ce coefficient est inférieur à 1 : on attend une décroissance.

Voir la correction pas à pas

Le coefficient multiplicateur journalier est $q = 1 - 0{,}10 = 0{,}9$ .
La masse après $n$ jours est $m_n = 400 \times 0{,}9^n$ .
Pour $n = 4$ : $0{,}9^4 = 0{,}6561$ .
Donc $m_4 = 400 \times 0{,}6561 = 262{,}44$ , soit environ $262{,}4$ g.

Il reste environ 262,4 g. Le facteur étant inférieur à 1, l'évolution est une décroissance exponentielle ³ : la perte, en grammes, est plus forte au début qu'à la fin, puisqu'elle est proportionnelle à la quantité présente ⁶.

Exercice 4 Retrouver le coefficient

★★☆Environ 8 min

Une grandeur passe de 200 à 242 en deux étapes, en étant multipliée par le même coefficient $q > 0$ à chaque étape.

Déterminer $q$ , puis le pourcentage d'augmentation à chaque étape.

Indice 1

Écris l'équation $200 \times q \times q = 242$ .

Indice 2

Comme $q$ est positif, une seule des deux racines convient.

Voir la correction pas à pas

Après deux étapes, la valeur est $200 \times q^2$ . On résout $200\,q^2 = 242$ .
On isole : $q^2 = \dfrac{242}{200} = 1{,}21$ .
Comme $q > 0$ , on prend $q = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1$ .
Un coefficient de $1{,}1$ correspond à une hausse de $10\,\%$ à chaque étape.
Contrôle : $200 \times 1{,}1 = 220$ , puis $220 \times 1{,}1 = 242$ .

Le coefficient vaut $q = 1{,}1$ , soit +10 % à chaque étape. Remarque : la hausse totale est de $\dfrac{42}{200} = 21\,\%$ , mais la hausse par étape n'est pas $\dfrac{21}{2} = 10{,}5\,\%$ ; on ne partage pas la hausse totale, on cherche le facteur commun.

Exercice 5 Doublement tous les trois jours

★★☆Environ 8 min

Le nombre de cas d'une maladie dans une ville est de 120 au jour 0. Il double tous les 3 jours, sur toute la période étudiée.

Combien de cas attend-on au jour 12 ?

Indice 1

Combien de périodes de 3 jours y a-t-il dans 12 jours ?

Indice 2

Le temps de doublement est constant : le nombre est multiplié par 2 à chaque période ⁴.

Voir la correction pas à pas

Le temps de doublement est de 3 jours, et il ne dépend pas de l'effectif de départ ⁴.
Nombre de périodes de doublement : $\dfrac{12}{3} = 4$ .
Le nombre de cas est multiplié par $2^4 = 16$ .
$120 \times 16 = 1\,920$ .

On attend 1 920 cas au jour 12. Piège à éviter : multiplier 120 par 2 puis ajouter 3 jours à chaque fois n'a aucun sens ; c'est le nombre de périodes qui devient l'exposant.

Exercice 6 Linéaire contre exponentiel

★★☆Environ 12 min

Deux placements partent de 100 € :

le placement A rapporte 30 € de plus chaque année : $u_n = 100 + 30n$ ;
le placement B augmente de 20 % chaque année : $v_n = 100 \times 1{,}2^n$ .

Quel est le plus petit entier $n$ pour lequel B dépasse strictement A ?

Indice 1

Dresse un tableau de valeurs pour $n = 0, 1, 2, \dots$ avec les deux formules.

Indice 2

Au début, A est devant B. Cherche à quel moment B prend la tête.

Voir la correction pas à pas

$n = 1$ : $u_1 = 130$ et $v_1 = 120$ . A est devant.
$n = 2$ : $u_2 = 160$ et $v_2 = 144$ . A est devant.
$n = 3$ : $u_3 = 190$ et $v_3 = 172{,}8$ . A est devant.
$n = 4$ : $u_4 = 220$ et $v_4 \approx 207{,}36$ . A est devant.
$n = 5$ : $u_5 = 250$ et $v_5 \approx 248{,}83$ . A est encore devant, de très peu.
$n = 6$ : $u_6 = 280$ et $v_6 \approx 298{,}60$ . B dépasse A.

C'est à partir de $n = 6$ que B dépasse A. Ce retournement illustre le comportement d'une croissance exponentielle : assez lente au départ ⁵, puis plus rapide que toute évolution à ajout constant.

Exercice 7 Quand passe-t-on sous le seuil ?

★★★Environ 12 min

Une quantité de 80 mg d'une substance est divisée par 2 toutes les 5 heures, sur toute la durée étudiée.

On considère que l'effet devient négligeable dès que la quantité est strictement inférieure à 1 mg. Au bout de combien d'heures, en comptant par paliers de 5 heures, ce seuil est-il franchi pour la première fois ?

Indice 1

Écris la quantité après $k$ paliers de 5 heures : $80 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^k$ .

Indice 2

Teste $k = 1, 2, 3, \dots$ jusqu'à passer sous 1.

Voir la correction pas à pas

Après $k$ paliers, la quantité vaut $Q_k = \dfrac{80}{2^k}$ ; le coefficient $\dfrac{1}{2}$ est inférieur à 1 : c'est une décroissance.
$k = 4$ : $\dfrac{80}{16} = 5$ mg. $k = 5$ : $\dfrac{80}{32} = 2{,}5$ mg. $k = 6$ : $\dfrac{80}{64} = 1{,}25$ mg.
$k = 7$ : $\dfrac{80}{128} = 0{,}625$ mg, soit moins de 1 mg.
Le seuil est franchi au palier $k = 7$ , c'est-à-dire après $7 \times 5 = 35$ heures.

Le seuil est franchi au bout de 35 heures. Remarque : la quantité n'atteint jamais 0 ; elle devient seulement de plus en plus petite, ce qui est typique d'une décroissance exponentielle.

Exercice 8 Un doublement qui ralentit

★★★Environ 14 min

Lors d'une épidémie, on modélise le nombre de cas par morceaux. Au début de la période, on compte 500 cas. Pendant les 12 premiers jours, le nombre de cas double tous les 4 jours. Pendant les 12 jours suivants, il double seulement tous les 6 jours.

Combien de cas compte-t-on au bout des 12 premiers jours ?
Combien de cas compte-t-on au bout des 24 jours ?
Que traduit le passage de 4 jours à 6 jours ?

Donne en réponse le nombre de cas au bout de 24 jours.

Indice 1

Traite chaque phase séparément, puis enchaîne : la valeur finale de la phase 1 est la valeur de départ de la phase 2.

Indice 2

Dans la phase 2, il y a $\dfrac{12}{6}$ doublements.

Voir la correction pas à pas

Phase 1 : $\dfrac{12}{4} = 3$ doublements, donc un facteur $2^3 = 8$ . Cas : $500 \times 8 = 4\,000$ .
Phase 2 : $\dfrac{12}{6} = 2$ doublements, donc un facteur $2^2 = 4$ . Cas : $4\,000 \times 4 = 16\,000$ .
Au total, le facteur est $8 \times 4 = 32$ et $500 \times 32 = 16\,000$ .
Un temps de doublement qui passe de 4 à 6 jours signifie que la croissance est toujours exponentielle, mais plus lente.

Au bout de 24 jours, on compte 16 000 cas. Sur un graphique en échelle logarithmique, ce type de modèle apparaît comme une succession de segments de droite ; un temps de doublement qui s'allonge traduit un ralentissement de la croissance ⁴. Les mathématiques donnent la mesure du ralentissement, mais pour l'expliquer il faut des connaissances sur la maladie elle-même ⁴.

Exercice 9 Au-delà des nombres entiers

★★★Environ 12 min

Une grandeur est modélisée par $f(t) = 3 \times 1{,}5^{\,t}$ , où $t$ est le temps en heures. Le nombre $1{,}5$ est le coefficient multiplicateur par heure.

Calcule $f(0)$ , $f(1)$ et $f(2)$ .
Calcule $f(2{,}5)$ à $0{,}001$ près.
Vérifie que $f(0{,}5)^2 = 3 \times f(1)$ .

Donne en réponse $f(2{,}5)$ .

Indice 1

Un exposant décimal se calcule à la calculatrice : $1{,}5^{2{,}5} = 1{,}5^2 \times 1{,}5^{0{,}5}$ .

Indice 2

$1{,}5^{0{,}5}$ est la racine carrée de $1{,}5$ .

Voir la correction pas à pas

$f(0) = 3 \times 1{,}5^0 = 3$ , $f(1) = 4{,}5$ , $f(2) = 3 \times 2{,}25 = 6{,}75$ .
$f(2{,}5) = 3 \times 1{,}5^{2{,}5} = 3 \times 2{,}25 \times \sqrt{1{,}5}$ .
Avec $\sqrt{1{,}5} \approx 1{,}224\,745$ , on obtient $f(2{,}5) \approx 3 \times 2{,}25 \times 1{,}224\,745 \approx 8{,}267$ .
Pour la question 3 : $f(0{,}5)^2 = 9 \times 1{,}5 = 13{,}5$ et $3 \times f(1) = 3 \times 4{,}5 = 13{,}5$ . L'égalité est vérifiée.

On trouve $f(2{,}5) \approx$ 8,267. Cet exercice montre qu'on peut prolonger la suite géométrique $3 \times 1{,}5^n$ à des instants qui ne sont pas des entiers ¹, en gardant la propriété « mêmes durées, même facteur » : une demi-heure multiplie par $\sqrt{1{,}5}$ , et deux demi-heures multiplient bien par $1{,}5$ .

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si une évolution est exponentielle ou linéaire ?

Regarde comment on passe d'une valeur à la suivante, à intervalles égaux. Si on ajoute toujours la même quantité, l'évolution est linéaire. Si on multiplie toujours par le même facteur, elle est exponentielle : le facteur est supérieur à 1 pour une croissance, inférieur à 1 pour une décroissance ³. Calcule deux quotients successifs : s'ils sont égaux, tu as un candidat exponentiel.

Pourquoi une croissance exponentielle paraît-elle lente au début puis explose-t-elle ?

Parce que chaque hausse porte sur la valeur déjà atteinte. Au départ la quantité est petite, donc l'ajout est petit ; quand elle grandit, l'ajout grandit avec elle. C'est ce qui fait qu'un phénomène exponentiel a une croissance assez lente au départ ⁵, alors qu'on emploie souvent le mot pour parler d'une simple hausse rapide.

À quoi sert le temps de doublement ?

Il résume la vitesse d'une croissance exponentielle avec un seul nombre. Comme il est constant et ne dépend pas de l'effectif de départ ⁴, tu peux prévoir une valeur future : une durée $T$ contient $\dfrac{T}{d}$ doublements, donc la quantité est multipliée par $2^{T/d}$ . Si ce temps s'allonge, la croissance ralentit ⁴.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques intégré à l'enseignement scientifique en classe de première générale · Ministère de l'Éducation nationale

Programme de mathématiques intégré à l'enseignement scientifique en classe de première générale, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Programmes et ressources en mathématiques - voie générale et technologique, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
L'exponentielle au fil du temps, Images des Mathématiques (CNRS). Consulté le 6 novembre 2026.
Épidémie et logarithme, Images des Mathématiques (CNRS). Consulté le 6 novembre 2026.
Croissance exponentielle, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Décroissance exponentielle, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

Signaler une erreur sur cette page

Variation exponentielle : exercices corrigés de 1re (enseignement scientifique)

L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Rappels avant de chercher

Les exercices

Exercice 1 Des bactéries qui doublent

Exercice 2 Un capital à intérêts composés

Exercice 3 Une substance qui diminue

Exercice 4 Retrouver le coefficient

Exercice 5 Doublement tous les trois jours

Exercice 6 Linéaire contre exponentiel

Exercice 7 Quand passe-t-on sous le seuil ?

Exercice 8 Un doublement qui ralentit

Exercice 9 Au-delà des nombres entiers

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur