Mathématiques (enseignement scientifique, tronc commun) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques
Variation exponentielle : quiz de Première
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Une grandeur positive évolue de façon exponentielle quand elle est multipliée par un même facteur sur des durées égales 3.
- Facteur supérieur à 1 : croissance exponentielle ; facteur compris entre 0 et 1 : décroissance exponentielle 3.
- Pas à pas (valeurs entières), on obtient une suite géométrique ; la fonction exponentielle prolonge cette idée à des valeurs non entières 15.
- Le temps de doublement d'une croissance exponentielle est constant, quel que soit l'effectif de départ 4.
- À l'inverse, un ajout constant à chaque étape relève du modèle affine, pas de l'exponentiel 1.
Avant de commencer
Ce quiz porte sur la variation exponentielle telle qu'on la rencontre en Première, dans la partie du programme consacrée aux phénomènes d'évolution : suites, fonctions, exponentielles 1. Tu as déjà étudié les fonctions affines et les fonctions du second degré ; ici, tu vas apprendre à reconnaître un phénomène qui évolue par multiplication et non par addition.
Les questions couvrent quatre idées. D'abord, la reconnaissance d'une évolution exponentielle à partir d'un facteur multiplicatif. Ensuite, la différence entre croissance et décroissance. Puis la comparaison avec le modèle affine, dont le taux d'accroissement est constant 1. Enfin, la lecture d'un phénomène réel : temps de doublement, culture de micro-organismes, échelle logarithmique.
Quiz
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Quand les valeurs successives sont obtenues en multipliant toujours par le même nombre, elles forment une progression géométrique : c'est le versant discret de la croissance ou décroissance exponentielle 5. Une suite arithmétique, réponse tentante, s'obtient en ajoutant toujours le même nombre, ce qui correspond à un taux d'accroissement constant 1.
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Un ajout constant à chaque étape correspond à un taux d'accroissement constant, donc à une suite arithmétique ou à une fonction affine 1. Le facteur 1,40 représenterait une hausse de 40 % de la valeur actuelle, qui change d'une année à l'autre : ce n'est pas la même situation.
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Un facteur multiplicatif inférieur à 1 (et positif) donne une évolution exponentielle décroissante 3. Ici, la grandeur perd 20 % de sa valeur à chaque unité de temps. On pourrait croire qu'un facteur « plus petit que 1 » signifie que la grandeur n'évolue pas de façon exponentielle : c'est faux, seul un facteur supérieur à 1 change le sens en croissance.
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Le facteur est 2 par heure, donc après 5 heures : . L'erreur classique est de calculer , qui revient à ajouter 400 bactéries par heure, soit un modèle affine et non exponentiel.
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Une baisse de 10 % correspond à un facteur . Après 2 ans : euros. L'erreur tentante est de retirer 20 % en une fois, ce qui donne 64 € : les 10 % de la seconde année s'appliquent à la valeur déjà diminuée (72 €), pas à 80 €.
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Dans une croissance exponentielle, la durée nécessaire pour que l'effectif double reste la même tout au long du phénomène, quel que soit l'effectif de départ 4. Penser qu'elle diminue avec l'effectif vient de l'impression que « ça va de plus en plus vite » : l'effectif gagne de plus en plus d'individus par unité de temps, mais il lui faut toujours la même durée pour doubler.
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C'est faux : un phénomène en croissance exponentielle a, au contraire, une croissance assez lente au départ 5. L'emploi courant du mot pour dire « très rapide » est un abus de langage. Ce qui caractérise l'exponentielle, c'est la régularité du facteur multiplicatif, pas la vitesse initiale.
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Les propositions 1 et 3 multiplient par un facteur constant (supérieur à 1 pour la première, entre 0 et 1 pour la troisième), ce qui définit une évolution exponentielle croissante ou décroissante 3. La proposition 2 ajoute une quantité fixe : modèle affine 1. La proposition 4 est piégeuse : 3 % de la valeur de départ est une quantité fixe, on ajoute donc toujours le même nombre. Ce serait exponentiel seulement avec 3 % de la valeur actuelle.
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Une hausse de se traduit par le facteur . Le facteur 0,07 correspondrait à une baisse de 93 % : on garderait seulement 7 % de la valeur. Le facteur 1,7 correspondrait à une hausse de 70 %.
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Le programme introduit les fonctions exponentielles en élargissant les suites géométriques de raison positive : on ne se limite plus aux entiers, la variable peut prendre des valeurs positives non entières 1. Une suite géométrique ne connaît que ; la fonction exponentielle permet de raisonner aussi à ou . Le lien avec les fonctions affines est faux : celles-ci modélisent les grandeurs à taux d'accroissement constant, comme les suites arithmétiques 1.
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C'est vrai : avec une échelle logarithmique, les graphes de fonctions exponentielles apparaissent comme des segments de droites 4. Cela permet de lire directement le temps de doublement, ce qui explique le recours à ces échelles dans les médias pour suivre une épidémie 4. Une droite sur un graphique ordinaire, elle, indiquerait plutôt un modèle affine.
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Le modèle exponentiel est adapté au début du développement ; ensuite, l'épuisement des nutriments ou le volume disponible imposent un autre modèle 5. Dire que l'exponentielle se poursuit indéfiniment ignore ces limites. Un modèle mathématique n'est valable que dans un domaine donné, ici le début de la croissance.
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En 12 jours, il y a doublements. L'effectif vaut donc . Multiplier 50 par 12 ou par 4 donnerait 600 ou 200 : ce serait raisonner par ajout. Comme le temps de doublement est constant 4, on compte simplement le nombre de doublements.
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Le temps de doublement d'une croissance exponentielle ne dépend pas de l'effectif initial 4. Un effectif dix fois plus grand mettra toujours 4 jours à doubler, même s'il gagne dix fois plus d'individus pendant ce temps. Multiplier ou diviser par 10 mélange la durée du doublement et la quantité ajoutée.
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Une grandeur positive est en évolution exponentielle décroissante quand elle est multipliée par un facteur inférieur à 1 sur des durées égales 3. Une baisse de la même valeur à chaque étape est affine. Et une décroissance exponentielle ne devient jamais négative : multiplier un nombre positif par un facteur positif donne toujours un nombre positif. Dans la décroissance, la quantité diminue au fil du temps selon une loi proportionnelle à elle-même 6.
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C'est faux. Pour une évolution exponentielle, le temps de doublement est constant et indépendant de l'effectif initial 4. Pour un facteur 1,5 par heure, il faut un peu plus d'une heure pour doubler, quelle que soit la valeur de départ : et .
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si un phénomène est exponentiel ou affine ?
Cherche ce qui reste constant. Si la grandeur gagne ou perd la même quantité à chaque étape, le taux d'accroissement est constant : c'est un modèle affine, ou une suite arithmétique 1. Si elle est multipliée par le même facteur, c'est un modèle exponentiel 3. Un tableau de valeurs suffit : fais les différences successives, puis les quotients successifs, et regarde lesquels sont constants.
Pourquoi dit-on que la croissance exponentielle est lente au début ?
Parce que, tant que l'effectif est petit, multiplier par un facteur donné ajoute très peu d'individus. Un phénomène exponentiel a donc une croissance assez lente au départ 5. Ce qui impressionne vient après : le nombre de doublements s'accumule, alors que le temps de doublement reste constant 4. Le sens courant du mot « exponentiel », qui désigne simplement une hausse rapide, est un abus de langage 5.
Une croissance exponentielle peut-elle durer indéfiniment dans la réalité ?
Non, en général. Pour une culture de micro-organismes, le modèle exponentiel convient au début du développement ; ensuite, l'épuisement des nutriments ou le volume disponible imposent un autre modèle 5. Pour un exercice, repère bien le domaine dans lequel l'énoncé te demande de rester.
Sources
Programme visé : Programme de mathématiques intégré à l'enseignement scientifique en classe de première générale · Ministère de l'Éducation nationale
- Programme de mathématiques intégré à l'enseignement scientifique en classe de première générale, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
- Programmes et ressources en mathématiques - voie générale et technologique, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
- L'exponentielle au fil du temps, Images des Mathématiques (CNRS). Consulté le 6 novembre 2026.
- Épidémie et logarithme, Images des Mathématiques (CNRS). Consulté le 6 novembre 2026.
- Croissance exponentielle, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
- Décroissance exponentielle, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
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