Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Pour n évolutions successives, les coefficients multiplicateurs se multiplient : CMglobal=CM1×CM2×⋯×CMn. Les taux ne s'additionnent pas.
Le taux d'évolution moyen est le taux unique qui, appliqué n fois de suite, donne le même résultat global.
Son coefficient multiplicateur est CMmoyen=CMglobal1/n (racine n-ième), et le taux vaut tmoyen=CMmoyen−1.
Réciproquement, un taux moyen t sur n périodes donne un coefficient global (1+t)n.
Le taux moyen n'est pas la moyenne arithmétique des taux, et il ne dit rien des variations à l'intérieur de la période.
Pourquoi chercher un taux moyen ?
Un prix qui augmente de 10 % une année, de 3 % la suivante, puis de 25 % la troisième : comment résumer cette histoire en un seul chiffre ? On voudrait pouvoir dire « en moyenne, le prix a augmenté de tant par an ». C'est exactement le rôle du taux d'évolution moyen.
Cette idée sert partout où une grandeur évolue plusieurs fois de suite : population, chiffre d'affaires, prix, niveau d'un produit dans l'atmosphère, croissance économique. Le programme de Première demande de savoir déterminer le taux d'évolution moyen correspondant à n évolutions successives. 1
Dans ce cours, tu vas voir pourquoi la moyenne « naïve » des pourcentages est fausse, comment construire le bon taux avec les coefficients multiplicateurs, comment le calculer à la calculatrice, et ce qu'il faut garder en tête quand on l'interprète.
Rappels : coefficients multiplicateurs et évolutions successives
Définition du taux d'évolution moyen
Prenons une grandeur qui subit n évolutions successives, toutes de pourcentages différents. On cherche une seule évolution, répétée n fois, qui donnerait exactement le même résultat final. Cette évolution commune a un taux, qu'on appelle taux d'évolution moyen.
La formule et sa justification
Démonstration · Pourquoi la racine n-ième ?
Par définition, le coefficient moyen c=1+tmoyen vérifie cn=CMglobal, avec c>0.
La fonction « puissance n » est strictement croissante sur les nombres positifs, donc cette équation a une seule solution positive : la racine n-ième de CMglobal, notée nCMglobal.
Les propriétés algébriques des puissances à exposant entier se prolongent à l'exposant n1 (le programme les admet par extension des propriétés des puissances entières 1). On peut donc écrire nCMglobal=CMglobal1/n, et on vérifie que (CMglobal1/n)n=CMglobaln1×n=CMglobal.
Enfin, tmoyen=c−1.
CoefficientsConvertir chaque taux en CM = 1 + t
ProduitCM global = produit des CM (ou Va / Vd)
Racine n-ièmeCM moyen = (CM global)^(1/n)
Tauxt moyen = CM moyen − 1, puis en %
Méthode : calculer un taux d'évolution moyen · On passe par les coefficients multiplicateurs, jamais par les pourcentages directement.
Exemples rédigés
Du taux moyen au résultat global
On utilise aussi le raisonnement dans l'autre sens : le taux moyen est connu et on cherche la valeur finale, ou l'évolution totale. Ce sont de simples puissances.
Les erreurs à éviter
Que dit le taux moyen, et que ne dit-il pas ?
Le taux moyen est un résumé : il compare utilement deux situations, mais il efface le détail. Il faut donc savoir lire ce qu'il apporte et ce qu'il cache.
Exercices corrigés
Exercice 1 Population d'une ville
★☆☆Environ 5 min
La population d'une petite ville augmente de 44 % en deux ans. On suppose que l'évolution est la même chaque année.
Détermine le taux d'évolution annuel moyen, en pourcentage.
Indice 1
Commence par le coefficient multiplicateur global.
Indice 2
Il y a deux évolutions : cherche un nombre qui, multiplié par lui-même, donne le coefficient global.
Voir la correction pas à pas
Le taux global est 44 %, donc CMglobal=1+0,44=1,44.
Il y a n=2 évolutions annuelles.
Le coefficient moyen est CMmoyen=1,44=1,2.
Le taux moyen est tmoyen=1,2−1=0,2.
La population a augmenté en moyenne de 20 % par an. Vérification : 1,22=1,44. Tu constates aussi que 44÷2=22 aurait été faux.
Exercice 2 Trois hausses de prix
★★☆Environ 8 min
Le prix d'un forfait augmente successivement de 10 %, de 20 % puis de 5 %.
Calcule le taux d'évolution global.
Détermine le taux d'évolution moyen par évolution, arrondi à 0,1 %.
Indice 1
Passe par les coefficients multiplicateurs, jamais par les pourcentages directement.
Indice 2
Pour trois évolutions, la racine est une racine cubique, c'est-à-dire la puissance 31.
Voir la correction pas à pas
Coefficients : 1,10, 1,20 et 1,05.
Coefficient global : 1,10×1,20×1,05=1,386, soit un taux global de 38,6%.
Il y a n=3 évolutions : CMmoyen=1,3861/3.
À la calculatrice, CMmoyen≈1,115, donc tmoyen≈0,115.
Arrondi à 0,1 % : 11,5 %.
Le taux global est de 38,6 % et le taux moyen d'environ 11,5 % par évolution. La moyenne arithmétique (environ 11,67 %) est un peu trop élevée.
Exercice 3 Placement et valeur finale
★★☆Environ 8 min
Un capital de 250 € progresse en moyenne de 4 % par an pendant 3 ans.
Calcule sa valeur au bout de 3 ans, arrondie au centime d'euro.
Indice 1
Utilise Va=Vd×(1+t)n.
Indice 2
Ne calcule pas 250×1,12 : trois hausses de 4 % ne font pas 12 % au total.
Voir la correction pas à pas
Le coefficient moyen vaut 1,04 et n=3.
Le coefficient global est 1,043=1,124864.
La valeur finale est 250×1,124864=281,216.
Arrondi au centime : 281,22 €.
Le capital vaut environ 281,22 €. L'augmentation globale est de 12,49 % et non de 12 %, car chaque hausse s'applique à une valeur déjà augmentée.
Exercice 4 Hausse puis baisse de 50 %
★★★Environ 10 min
Une action gagne 50 % de sa valeur en un mois, puis en perd 50 % le mois suivant.
Calcule le taux d'évolution global sur les deux mois.
Détermine le taux d'évolution moyen mensuel, arrondi à 0,1 %.
Explique pourquoi la moyenne arithmétique des taux (0 %) ne convient pas.
Indice 1
Écris les deux coefficients : un pour +50 %, un pour −50 %.
Indice 2
Le taux moyen est négatif : cherche la racine carrée d'un nombre inférieur à 1.
Voir la correction pas à pas
Les coefficients valent 1,5 et 0,5.
Le coefficient global est 1,5×0,5=0,75, soit un taux global de −25%.
Avec n=2, CMmoyen=0,75≈0,866.
Le taux moyen vaut 0,866−1≈−0,134, soit −13,4%.
Une moyenne arithmétique de 0 % signifierait que la valeur est restée la même, alors qu'elle a perdu un quart de sa valeur.
L'action perd 25 % au total, soit en moyenne 13,4 % par mois. Des évolutions de taux opposés ne se compensent pas, car la baisse s'applique à une valeur plus grande que la hausse. 3
Quiz
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Le coefficient global vaut 1,2×1,8=2,16, et le coefficient moyen est 2,16≈1,47, soit environ 47 %. Le 50 % est la moyenne arithmétique des taux, qui ne tient pas compte du fait que les évolutions se cumulent. Le 58 % vient de la division du taux global (116 %) par 2, ce qui est faux pour la même raison.
C'est faux : les taux ne s'additionnent pas, on multiplie les coefficients multiplicateurs. 3 Par exemple, +10 % puis +10 % donne 1,1×1,1=1,21, soit +21 % et non +20 %.
Le coefficient global est 1,331 et n=3, donc CMmoyen=1,3311/3=1,1. Le taux moyen est donc 10 %. Diviser 33,1 par 3 donnerait environ 11 %, ce qui est faux car 1,113≈1,368.
Les propositions 1 et 3 traduisent la définition du taux moyen et sa résolution par la racine n-ième. La proposition 2 est la moyenne arithmétique des taux, qui n'est pas le taux moyen. La proposition 4 divise le taux global par n, ce qui ignore le cumul des évolutions.
Le coefficient moyen est 0,9, donc CMglobal=0,92=0,81, soit une baisse de 19 %. Le −20 % vient de l'addition des taux. Le −10 % oublie qu'il y a deux évolutions. Le −1 % confond 0,12 avec le coefficient.
C'est faux : seules les valeurs initiale et finale entrent dans le calcul, donc le taux moyen ne tient pas compte des variations internes. 6 Deux trajectoires très différentes peuvent avoir le même taux moyen.
Le coefficient global vaut 1,23=1,728, donc le taux global est de 72,8 %. Répondre 60 % (trois fois 20 %) est l'erreur classique d'addition, qui oublie que chaque hausse s'applique à une valeur déjà augmentée.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi ne peut-on pas simplement faire la moyenne des pourcentages ?
Parce que les évolutions s'enchaînent : chaque pourcentage s'applique à la valeur obtenue après l'évolution précédente, et non à la valeur de départ. Les taux ne s'additionnent pas, ce que confirment les ressources officielles. 3 Avec +50 % puis −50 %, la moyenne arithmétique vaut 0 %, alors que la valeur finale est 25 % plus basse que la valeur de départ. Seul le produit des coefficients rend compte du cumul.
Comment compter le nombre n d'évolutions ?
Compte les intervalles entre les valeurs, pas les valeurs elles-mêmes. De la valeur de 2021 à la valeur de 2025, il y a quatre intervalles, donc n=4. En cas de doute, dessine une ligne avec les dates et trace un arc entre deux dates consécutives : le nombre d'arcs est n.
Comment calculer une racine n-ième à la calculatrice ?
Utilise la touche de puissance en écrivant l'exposant sous forme de fraction : pour une racine cubique de 1,386, tape 1,386^(1/3) en mettant bien les parenthèses. Ces écritures sont cohérentes : le programme prolonge les propriétés des puissances entières, ce qui justifie la puissance n1. 1 Certaines calculatrices ont aussi une touche racine n-ième. Garde toutes les décimales jusqu'au résultat final.
Le taux moyen peut-il être négatif ?
Oui. Si la valeur d'arrivée est inférieure à la valeur de départ, le coefficient global est inférieur à 1, donc le coefficient moyen aussi, et le taux moyen est négatif. On parle alors de baisse moyenne. Par exemple, passer de 200 à 162 en deux périodes correspond à une baisse moyenne de 10 % par période.
À quoi sert le taux moyen dans la vie réelle ?
Il permet de résumer une évolution sur plusieurs périodes et de comparer des périodes entre elles. En économie, le taux de croissance annuel moyen sert par exemple à comparer la croissance pendant les Trente Glorieuses (1945-1975) avec celle de la période suivante. 6 Il faut cependant rappeler qu'il ignore les variations à l'intérieur de la période.