Mathématiques (enseignement scientifique, tronc commun) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Taux d'évolution moyen : exercices corrigés de Première

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Le taux d'évolution moyen est le taux unique qui, appliqué n fois de suite, donne la même évolution globale que les n évolutions réelles.
On passe par les coefficients multiplicateurs : $CM_{global}=CM_1\times CM_2\times\dots\times CM_n$ , puis $CM_{moyen}=CM_{global}^{1/n}$ .
Le taux moyen se lit ensuite : $t_{moyen}=CM_{moyen}-1$ .
Les taux ne s'additionnent jamais : après +80 % puis −20 %, le taux moyen n'est pas +30 % (moyenne des taux) mais +20 %.
Inversement, à partir d'un taux moyen on retrouve l'évolution globale avec $CM_{moyen}^{\,n}$ .

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices s'appuient sur ce que tu as vu juste avant : les pourcentages, puis les évolutions successives et réciproques. Le programme de Première demande de savoir déterminer un taux d'évolution moyen correspondant à n évolutions successives ¹. Les exercices montent en difficulté : les premiers sont des applications directes, les suivants mélangent plusieurs étapes, les derniers demandent d'inverser la démarche ou de chercher un seuil.

Cherche seul avant d'ouvrir les indices. Les indices sont là pour te débloquer, la correction pour vérifier ta rédaction, pas pour la recopier. Si ton résultat diffère du nôtre, ne corrige pas au hasard : refais le calcul des coefficients, c'est presque toujours là que se glisse l'erreur.

MéthodeLa méthode en quatre temps

Traduire chaque évolution en coefficient multiplicateur : une hausse de $t$ % donne $1+\frac{t}{100}$ , une baisse de $t$ % donne $1-\frac{t}{100}$ .
Calculer le coefficient global : on multiplie les coefficients des évolutions successives ; en retranchant 1, on obtient le taux d'évolution global ².
Prendre la racine n-ième du coefficient global, où $n$ est le nombre d'évolutions : $CM_{moyen}=CM_{global}^{\frac{1}{n}}$ .
Revenir au taux : $t_{moyen}=CM_{moyen}-1$ , puis convertir en pourcentage.

À la calculatrice, la racine n-ième s'obtient avec la touche puissance : élever à la puissance $\frac{1}{n}$ revient à prendre la racine n-ième. Pour $n=2$ , c'est la racine carrée ; pour $n=3$ , la racine cubique.

Imagine une grandeur qui subit $n$ évolutions identiques de coefficient $c$ . Après la première, elle est multipliée par $c$ ; après la deuxième, par $c\times c$ ; après $n$ évolutions, par $c^n$ . Chercher le taux moyen, c'est donc chercher le nombre $c$ tel que $c^n$ soit égal au coefficient global connu. Pour retrouver $c$ à partir de $c^n$ , l'opération inverse de l'élévation à la puissance $n$ est la racine n-ième. Voilà pourquoi une simple moyenne ne convient pas : elle correspondrait à une addition, alors que les évolutions se composent par multiplication.

Les exercices

Exercice 1 Deux hausses identiques

★☆☆Environ 5 min

Le prix d'un abonnement augmente de $21$ % en deux ans. On suppose que la hausse est la même chaque année.

Quel est le taux d'évolution annuel moyen ?

Indice 1

Écris le coefficient multiplicateur global.

Indice 2

Deux évolutions identiques : cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne ce coefficient.

Voir la correction pas à pas

Le coefficient global vaut $1+\frac{21}{100}=1{,}21$ .
Il y a $n=2$ évolutions identiques, donc $CM_{moyen}^2=1{,}21$ .
On prend la racine carrée : $CM_{moyen}=\sqrt{1{,}21}=1{,}1$ .
Le taux moyen vaut $1{,}1-1=0{,}1$ , soit $10$ % par an.

Le taux d'évolution annuel moyen est de 10 %. Remarque : deux hausses de 10 % donnent bien $1{,}1\times1{,}1=1{,}21$ , et non 20 %.

Exercice 2 Un placement sur trois ans

★☆☆Environ 6 min

La valeur d'un placement passe de $250$ € à $432$ € en trois ans.

Calcule le taux d'évolution annuel moyen, en pourcentage.

Indice 1

Le coefficient global est le rapport valeur finale sur valeur initiale.

Indice 2

Ici $n=3$ : il faut une racine cubique, c'est-à-dire la puissance $\frac{1}{3}$ .

Voir la correction pas à pas

Coefficient global : $CM_{global}=\frac{432}{250}=1{,}728$ .
Trois évolutions : $CM_{moyen}=1{,}728^{\frac{1}{3}}$ .
Comme $1{,}2^3=1{,}728$ , on obtient $CM_{moyen}=1{,}2$ .
Taux moyen : $1{,}2-1=0{,}2$ , soit $20$ % par an.

Le placement a progressé en moyenne de 20 % par an. On peut vérifier : $250\times1{,}2^3=432$ .

Exercice 3 Une culture de bactéries

★☆☆Environ 6 min

Une culture contient $800$ bactéries au départ et $2\,700$ trois heures plus tard.

Quel est le taux d'évolution horaire moyen, en pourcentage ?

Indice 1

Calcule le rapport $\frac{2700}{800}$ : c'est le coefficient global.

Indice 2

Trois heures, donc trois évolutions : cherche un nombre dont le cube vaut ce coefficient.

Voir la correction pas à pas

Coefficient global : $\frac{2700}{800}=3{,}375$ .
Trois évolutions : $CM_{moyen}=3{,}375^{\frac{1}{3}}$ .
Comme $1{,}5^3=3{,}375$ , on a $CM_{moyen}=1{,}5$ .
Taux horaire moyen : $1{,}5-1=0{,}5$ , soit $50$ % par heure.

La culture augmente en moyenne de 50 % par heure. Vérification : $800\times1{,}5=1\,200$ , puis $1\,200\times1{,}5=1\,800$ , puis $1\,800\times1{,}5=2\,700$ .

Exercice 4 Hausse puis baisse

★★☆Environ 8 min

Le nombre d'abonnés d'une chaîne vidéo augmente de $80$ % la première année, puis diminue de $20$ % la seconde.

Calcule le coefficient multiplicateur global.
Calcule le taux d'évolution annuel moyen.
Un élève affirme que le taux moyen est $\frac{80-20}{2}=30$ %. Explique pourquoi il se trompe.

Indice 1

Hausse de 80 % : coefficient $1{,}8$ . Baisse de 20 % : coefficient $0{,}8$ .

Indice 2

Pour la question 3, calcule ce que donneraient deux hausses de 30 %.

Voir la correction pas à pas

Coefficients : $1+0{,}8=1{,}8$ et $1-0{,}2=0{,}8$ .
Coefficient global : $1{,}8\times0{,}8=1{,}44$ , soit une hausse globale de $44$ %.
Taux moyen : $CM_{moyen}=\sqrt{1{,}44}=1{,}2$ , donc $t_{moyen}=20$ % par an.
Avec 30 % par an pendant deux ans on aurait $1{,}3^2=1{,}69$ , soit $69$ % de hausse, ce qui ne correspond pas aux $44$ % réels.

Le taux annuel moyen est de 20 %. La moyenne arithmétique des taux (30 %) est fausse : on n'obtient pas l'évolution totale par une somme de taux ³, car chaque taux s'applique à une valeur déjà modifiée.

Exercice 5 Une baisse régulière

★★☆Environ 6 min

Le prix d'un appareil passe de $500$ € à $405$ € en deux ans, avec la même évolution chaque année.

Quel est le taux d'évolution annuel moyen, en pourcentage ?

Indice 1

Le résultat est négatif : le coefficient est inférieur à 1.

Indice 2

Calcule $\frac{405}{500}$ , puis prends la racine carrée.

Voir la correction pas à pas

Coefficient global : $\frac{405}{500}=0{,}81$ .
Deux évolutions identiques : $CM_{moyen}=\sqrt{0{,}81}=0{,}9$ .
Taux moyen : $0{,}9-1=-0{,}1$ , soit $-10$ % par an.

Le prix baisse en moyenne de 10 % par an (le taux vaut $-10$ %). Vérification : $500\times0{,}9\times0{,}9=405$ . Deux baisses de 10 % font une baisse totale de $19$ %, pas de $20$ %.

Exercice 6 Retrouver l'évolution globale

★★☆Environ 6 min

Une population augmente en moyenne de $5$ % par an pendant $4$ ans.

Quel est le taux d'évolution global sur ces quatre années, en pourcentage ? Donne la valeur exacte.

Indice 1

Ici on fait le chemin inverse : du taux moyen vers le global.

Indice 2

Le coefficient global est $CM_{moyen}$ élevé à la puissance $n$ .

Voir la correction pas à pas

Coefficient annuel : $CM_{moyen}=1{,}05$ .
Coefficient global : $1{,}05^4=1{,}21550625$ .
Taux global : $1{,}21550625-1=0{,}21550625$ , soit $21{,}550625$ %.

L'évolution globale est d'environ 21,55 %, et non $4\times5=20$ %. L'écart vient des hausses qui s'appliquent chacune à une valeur déjà augmentée.

Exercice 7 Valeur finale d'un capital

★★☆Environ 5 min

Un capital de $2\,000$ € évolue au taux annuel moyen de $10$ % pendant $3$ ans.

Quelle est sa valeur au bout de ces trois ans, en euros ?

Indice 1

Le coefficient moyen est $1{,}1$ .

Indice 2

Valeur finale = valeur initiale $\times\ CM_{moyen}^{\,n}$ .

Voir la correction pas à pas

Coefficient annuel moyen : $1{,}1$ .
Coefficient global : $1{,}1^3=1{,}331$ .
Valeur finale : $2\,000\times1{,}331=2\,662$ €.

Le capital vaut 2 662 € au bout de trois ans, soit $662$ € de plus qu'au départ. Avec une simple addition de 10 % par an, on aurait trouvé $2\,600$ € : l'écart de $62$ € vient des intérêts calculés sur des valeurs de plus en plus grandes.

Exercice 8 Du taux annuel au taux trimestriel

★★★Environ 9 min

Une grandeur augmente de $46{,}41$ % en un an. On cherche le taux trimestriel moyen, c'est-à-dire le taux qui, appliqué quatre trimestres de suite, redonne cette hausse annuelle.

Calcule ce taux, en pourcentage.

Indice 1

Une année contient $n=4$ trimestres.

Indice 2

Le coefficient global vaut $1{,}4641$ . Teste $1{,}1^4$ .

Voir la correction pas à pas

Coefficient global annuel : $1+\frac{46{,}41}{100}=1{,}4641$ .
Quatre trimestres : $CM_{trim}=1{,}4641^{\frac{1}{4}}$ .
On remarque que $1{,}1^4=1{,}4641$ , donc $CM_{trim}=1{,}1$ .
Taux trimestriel : $1{,}1-1=0{,}1$ , soit $10$ % par trimestre.

Le taux trimestriel moyen est de 10 %. Le même raisonnement fonctionne pour un taux mensuel (n = 12) : la période de calcul s'adapte à celle que l'on cherche, le taux moyen pouvant se calculer sur n périodes de toute durée, années, mois ou semaines ⁶.

Exercice 9 Combien d'années pour doubler ?

★★★Environ 10 min

Une grandeur croît à un taux annuel moyen constant de $20$ %.

Au bout de combien d'années entières sa valeur est-elle au moins doublée ?

Indice 1

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $1{,}2^n\geq 2$ .

Indice 2

Teste $n=1$ , $2$ , $3$ , … avec la calculatrice, ou utilise le logarithme népérien si tu l'as déjà vu.

Voir la correction pas à pas

On doit avoir $1{,}2^n\geq 2$ : c'est un problème de seuil pour une grandeur dont le taux d'évolution est constant, situation que modélisent les suites géométriques ¹.
$1{,}2^1=1{,}2$ ; $1{,}2^2=1{,}44$ ; $1{,}2^3=1{,}728$ : ces valeurs sont inférieures à 2.
$1{,}2^4=2{,}0736$ , qui dépasse 2.
Le plus petit entier convenable est donc $n=4$ .

La valeur est au moins doublée au bout de 4 ans. Une croissance qui s'ajouterait, à raison de 20 % du départ chaque année, demanderait 5 ans ( $5\times20=100$ ) : ici la valeur double plus tôt, car les hausses s'appliquent à des valeurs de plus en plus grandes.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi ne peut-on pas simplement faire la moyenne des taux ?

Parce que chaque taux s'applique à une valeur déjà modifiée par l'évolution précédente. Additionner des taux pour obtenir l'évolution totale est une erreur classique ³, et la moyenne arithmétique en est une forme déguisée. Il faut passer par les coefficients multiplicateurs : on multiplie pour obtenir le coefficient global, puis on prend la racine n-ième.

Comment savoir quelle valeur de n utiliser ?

$n$ est le nombre d'évolutions, pas le nombre de valeurs. Entre deux valeurs successives il y a une évolution : de 2019 à 2022 il y en a trois, pas quatre. Compte les intervalles entre la première et la dernière valeur, et vérifie en recalculant la valeur finale avec $CM_{moyen}^{\,n}$ .

Le taux moyen est-il suffisant pour décrire une évolution ?

Non. Le taux moyen ne dépend que de la valeur initiale et de la valeur finale ; il ne tient pas compte des variations à l'intérieur de la période ⁶. Deux évolutions très différentes (régulière ou très irrégulière) peuvent avoir le même taux moyen, d'où l'intérêt de regarder aussi les valeurs intermédiaires.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques intégré à l'enseignement scientifique en classe de première générale · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse

Programme de mathématiques intégré à l'enseignement scientifique en classe de première générale, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 6 novembre 2026.
Variation en pourcentage, pourcentages et coefficients multiplicateurs, indices et évolution, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Information chiffrée et calculs statistiques - Enseignement scientifique, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources pédagogiques sur les phénomènes d'évolution - Enseignement scientifique, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Programme d'enseignement scientifique de première générale, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 6 novembre 2026.
Taux de croissance économique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

Signaler une erreur sur cette page

Taux d'évolution moyen : exercices corrigés de Première

L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Deux hausses identiques

Exercice 2 Un placement sur trois ans

Exercice 3 Une culture de bactéries

Exercice 4 Hausse puis baisse

Exercice 5 Une baisse régulière

Exercice 6 Retrouver l'évolution globale

Exercice 7 Valeur finale d'un capital

Exercice 8 Du taux annuel au taux trimestriel

Exercice 9 Combien d'années pour doubler ?

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur