Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Dérivée d'une somme : (u+v)′=u′+v′ ; d'un multiple : (ku)′=ku′ (la dérivation est linéaire).
Dérivée d'un produit : (uv)′=u′v+uv′. Ce n'est jamais u′v′.
Dérivée d'un quotient : (vu)′=v2u′v−uv′, là où v ne s'annule pas.
Dérivée d'une puissance : (un)′=nu′un−1 pour n entier naturel.
Méthode : repérer l'opération extérieure de l'expression, nommer u et v, calculer u′ et v′, appliquer la règle, puis simplifier.
Pourquoi des règles de dérivation ?
Tu connais déjà le nombre dérivé : en un point d'abscisse x0 où la fonction est dérivable, c'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point 5. Tu sais aussi passer du nombre dérivé en un point à la fonction dérivéef′, qui associe à chaque x le nombre dérivé en x5. Enfin, tu connais quelques dérivées de fonctions de référence, par exemple celles de la fonction « carré » et de la fonction « inverse » 2.
Mais les fonctions que l'on rencontre dans les exercices sont rarement aussi simples. Prends f(x)=(3x+1)(x2−4) ou g(x)=x−32x+1. Pour dériver ces expressions avec la seule définition du nombre dérivé, il faudrait calculer un taux d'accroissement puis chercher sa limite, à chaque fois. C'est long et source d'erreurs.
Bonne nouvelle : on n'a pas besoin de refaire ce travail à chaque fois. Les dérivées de fonctions plus compliquées se calculent en combinant un petit nombre de règles algébriques, déduites de la définition, avec la table des dérivées usuelles 5. Ces règles correspondent aux opérations sur les fonctions : somme, multiplication par un réel, produit, inverse, quotient, puissance 4. Leurs démonstrations reposent sur les opérations sur les limites 4.
Les dérivées de base à connaître
Les règles d'opération ont besoin de dérivées de départ. Voici celles qui servent tout le temps. Elles viennent de la table des dérivées usuelles, qui permet de calculer f′ quand f est une fonction « simple » 5.
Somme et multiple d'une fonction : la linéarité
La première famille de règles est la plus simple. La dérivation est un opérateur linéaire : l'ensemble des fonctions dérivables est stable par somme et par multiplication par un réel, et les dérivées se calculent terme à terme 4.
Démonstration · Preuve pour la somme
Fixons a∈I. Le taux d'accroissement de u+v en a vaut
Quand h tend vers 0, chacun des deux termes tend vers un nombre fini, u′(a) et v′(a), car u et v sont dérivables en a. La limite d'une somme est la somme des limites : le taux de u+v tend vers u′(a)+v′(a). Donc u+v est dérivable en a et (u+v)′(a)=u′(a)+v′(a).
Le raisonnement est identique pour ku : on met k en facteur dans le taux d'accroissement, et la limite d'un produit par une constante est la constante multipliée par la limite.
Le produit de deux fonctions
Quand deux fonctions sont multipliées, la dérivée n'est pas le produit des dérivées. L'espace des fonctions dérivables est stable par multiplication, et la dérivation vérifie la règle du produit 4. Cette règle fait intervenir les deux fonctions et leurs deux dérivées.
Démonstration · Idée de la preuve
On écrit la variation de uv entre a et a+h en introduisant un terme qui s'annule :
Quand h tend vers 0, les deux fractions tendent vers v′(a) et u′(a). On admet que u(a+h) tend vers u(a) (une fonction dérivable en a ne fait pas de saut en a). La limite est donc u(a)v′(a)+v(a)u′(a).
L'inverse et le quotient
Pour un quotient, on commence par l'inverse d'une fonction. Cette dernière règle, combinée à celle du produit, donne la dérivée d'un quotient 4. Tu retrouves donc ce que tu connais déjà : la dérivée de la fonction inverse de référence 2 est un cas particulier de la règle de l'inverse.
On a simplement mis les deux termes sur le même dénominateur v2.
Les puissances d'une fonction
Il arrive qu'on élève à une puissance une expression qui n'est pas x lui-même, comme (2x−1)3. Le programme de Première prévoit la dérivée de u2, u3, …, un lorsque u est une fonction dérivable et n un entier naturel 2.
Démonstration · Pourquoi ce résultat
On raisonne pas à pas avec la règle du produit. Pour n=2 : (u×u)′=u′u+uu′=2u′u, ce qui correspond à la formule. Pour n=3 : u3=u2×u, donc (u3)′=2u′u×u+u2×u′=3u′u2. On continue de la même manière : passer de un à un+1=un×u donne nu′un−1×u+unu′=(n+1)u′un. Le même schéma se répète d'un rang au suivant, ce qui établit la formule pour tout entier n. Cette relation permet bien de retrouver par récurrence la règle de dérivation des puissances 4.
Choisir la bonne règle : la méthode générale
Face à une expression, la difficulté n'est pas de connaître les règles, mais de savoir laquelle appliquer en premier. Le secret est de regarder l'opération la plus extérieure, celle qu'on effectuerait en dernier si on calculait la valeur de la fonction pour un x donné.
RepérerTrouver l'opération la plus extérieure.
NommerPoser u(x) et v(x) clairement.
DériverCalculer u' et v' au brouillon.
AppliquerÉcrire la règle, remplacer, simplifier.
Dériver une expression en quatre étapes · Méthode générale pour toute expression.
Récapitulatif des règles de dérivation
Fonction
Dérivée
u + v
u' + v'
k × u (k réel)
k × u'
u × v
u'v + uv'
1 / v
− v' / v²
u / v
(u'v − uv') / v²
uⁿ (n entier naturel)
n × u' × uⁿ⁻¹
Récapitulatif des règles de dérivation · u et v sont dérivables ; v ne s'annule pas pour l'inverse et le quotient.
Nombre dérivé, tangente et opérations
Calculer f′(x) n'est pas une fin en soi. La dérivée sert d'abord à obtenir le nombre dérivé en un point, donc le coefficient directeur de la tangente 5. Le lien entre nombre dérivé et tangente fait partie des notions incontournables du chapitre 2.
Erreurs fréquentes et vérifications
Ces règles servent ensuite à étudier les variations d'une fonction : on calcule f′, on étudie son signe, et on en déduit les extremums. Une dérivée mal calculée fausse tout ce qui suit. C'est pourquoi la vérification est un vrai réflexe à prendre dès maintenant.
Exercices corrigés
Exercice 1 Dériver un polynôme et calculer un nombre dérivé
★☆☆Environ 5 min
Soit f(x)=3x2+5x−4 définie sur R. Détermine f′(x), puis calcule le nombre dérivé f′(2).
Indice 1
Dérive chaque terme séparément.
Indice 2
La dérivée d'une constante est nulle.
Voir la correction pas à pas
On applique la règle de la somme : (3x2)′=3×2x=6x, (5x)′=5, (−4)′=0.
On obtient f′(x)=6x+5.
On remplace x par 2 : f′(2)=6×2+5=17.
Le nombre dérivé f′(2) vaut 17 : la tangente en x=2 a pour coefficient directeur 17.
Exercice 2 Un produit
★★☆Environ 8 min
Soit f(x)=(x2+1)(3x−2). Calcule f′(x) avec la règle du produit, puis la valeur de f′(1).
Indice 1
Pose u(x)=x2+1 et v(x)=3x−2.
Indice 2
Écris u′v+uv′ avant de remplacer.
Voir la correction pas à pas
On pose u(x)=x2+1, v(x)=3x−2, donc u′(x)=2x et v′(x)=3.
On applique f′=u′v+uv′ : f′(x)=2x(3x−2)+3(x2+1).
On développe : 6x2−4x+3x2+3=9x2−4x+3.
On calcule en 1 : f′(1)=9−4+3=8.
On trouve f′(1)=8. On peut le vérifier en développant f avant de dériver.
Exercice 3 Un quotient et sa pente
★★☆Environ 10 min
Soit f(x)=x−32x+1 définie sur ]3;+∞[. Calcule f′(x), puis détermine la pente de la droite qui effleure la courbe de f au point d'abscisse 5.
Indice 1
Pose u(x)=2x+1 et v(x)=x−3.
Indice 2
Attention à l'ordre au numérateur : u′v−uv′.
Voir la correction pas à pas
On a u′(x)=2 et v′(x)=1.
On applique la règle : f′(x)=(x−3)22(x−3)−(2x+1)×1.
On simplifie le numérateur : 2x−6−2x−1=−7, donc f′(x)=(x−3)2−7.
La pente cherchée est le nombre dérivé en 5 : f′(5)=4−7=−1,75.
La pente de cette droite vaut −1,75 : la courbe descend à cet endroit.
Exercice 4 Une puissance de fonction
★★★Environ 8 min
Soit f(x)=(2x−1)3. Calcule f′(x) avec la formule de un, puis f′(2).
Indice 1
Identifie u(x) puis u′(x).
Indice 2
N'oublie pas le facteur u′.
Voir la correction pas à pas
On pose u(x)=2x−1, donc u′(x)=2, avec n=3.
On applique (un)′=nu′un−1 : f′(x)=3×2×(2x−1)2=6(2x−1)2.
On calcule en 2 : 2×2−1=3, donc f′(2)=6×9=54.
On trouve f′(2)=54. En développant (2x−1)3 puis en dérivant, on retrouve le même résultat.
Quiz
7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Avec u=x2 et v=x+1, la règle du produit donne u′v+uv′=2x(x+1)+x2×1. La réponse 2x vient de l'erreur u′v′, fausse pour un produit. Le signe moins correspond à la règle du quotient, pas à celle du produit.
On applique (1/v)′=−v′/v2 avec v′=2x. Le signe moins est indispensable. La réponse −1/(x2+1)2 oublie le facteur v′=2x au numérateur.
La formule est (u3)′=3u′u2. Elle ne se réduit à 3u2 que si u′=1, comme pour u(x)=x. Pour u(x)=2x−1, écrire 3u2 revient à oublier le facteur 2.
Le numérateur est u′v−uv′ et le dénominateur v2. La première proposition inverse l'ordre et donne l'opposé. La deuxième oublie le carré. La dernière est le quotient des dérivées, qui n'est pas la dérivée du quotient.
La somme, le multiple et la différence se dérivent terme à terme (linéarité). Le produit ne se dérive pas ainsi : la bonne règle est (uv)′=u′v+uv′.
On a f′(x)=12x2−2, donc f′(1)=12−2=10. Si tu trouves 2, tu as probablement oublié le facteur 3 de l'exposant ; si tu trouves 14, tu as mal géré le signe moins.
Avec u=5x+2, u′=5 et n=2 : (u2)′=2×5×(5x+2)=10(5x+2). La réponse 2(5x+2) oublie u′=5.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir quelle règle utiliser en premier ?
Regarde l'opération la plus extérieure, celle qu'on ferait en dernier pour calculer la valeur. Si c'est un « + » ou un « − », c'est la somme. Si c'est une multiplication entre deux expressions contenant x, c'est le produit. Si c'est une division, c'est le quotient. Si c'est une puissance d'une parenthèse, c'est un.
Pourquoi la dérivée d'un produit n'est-elle pas le produit des dérivées ?
Parce que, quand x varie un peu, les deux facteurs varient en même temps : chacun apporte sa propre variation, multipliée par l'autre facteur. D'où les deux termes u′v et uv′. Le test avec x×x=x2 le montre vite : la dérivée est 2x et non 1.
Faut-il toujours développer pour dériver un produit ?
Non. Pour deux polynômes simples, développer est possible et sert de vérification. Quand un facteur est une puissance élevée, ou quand on veut une dérivée factorisée pour étudier son signe, la règle du produit est plus efficace.
Que faire si le dénominateur peut s'annuler ?
La fonction n'est pas définie là où v(x)=0, donc elle n'est pas dérivable en ces points. On précise l'ensemble de définition avant de dériver, et on ne calcule la dérivée que sur les intervalles où v ne s'annule pas.
Est-ce que ça tombe à l'examen ?
Le calcul de dérivées d'expressions composées est une compétence de base du programme de Première. Il sert dans la plupart des exercices d'étude de fonctions : tangente, signe de f′, variations. Une dérivée juste est la condition pour réussir la suite de l'exercice.