Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Opérations sur les dérivées : exercices corrigés de 1re

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

La dérivation est linéaire : $(u+v)'=u'+v'$ et $(ku)'=ku'$ pour un réel $k$ .⁴
Pour un produit : $(uv)'=u'v+uv'$ ; pour un quotient : $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ là où $v\neq 0$ .⁴
Pour une puissance : $(u^n)'=n\,u'\,u^{n-1}$ avec $u$ dérivable et $n$ entier naturel ; en Première, on l'applique surtout à $u(x)=ax+b$ .²
Méthode : repérer la forme de la fonction, nommer $u$ et $v$ , calculer $u'$ et $v'$ , appliquer la formule, puis simplifier.
Une fois $f'(x)$ obtenue, le nombre dérivé en $a$ est $f'(a)$ : c'est le coefficient directeur de la tangente en $a$ .⁵

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices te font manipuler les règles de calcul de la dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient et d'une puissance. Ils sont classés par difficulté croissante. Cherche d'abord seul(e) sur une feuille, avec le cours à côté si besoin. Ouvre un indice seulement si tu es bloqué(e) depuis plusieurs minutes, puis compare ta rédaction avec la correction pas à pas.

Tu as déjà vu le nombre dérivé, lié à la tangente, et les dérivées des fonctions usuelles.² Ici, on franchit une étape : calculer la dérivée de fonctions construites à partir de ces fonctions simples. Pour une fonction « simple », on utilise la table des dérivées usuelles ; pour une combinaison de fonctions simples (somme, produit, quotient, composée), on utilise un petit nombre de règles algébriques.⁵

À retenirLes règles à connaître

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables et $k$ un réel.

Forme de la fonction	Dérivée
$u+v$	$u'+v'$
$k\,u$	$k\,u'$
$u\,v$	$u'v+uv'$
$\dfrac{u}{v}$ (avec $v\neq 0$ )	$\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
$u^n$ ( $n$ entier naturel)	$n\,u'\,u^{n-1}$

La dérivation est linéaire : la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, et on peut sortir un facteur constant.⁴ Elle vérifie aussi la règle du produit, et le quotient s'obtient en combinant cette règle avec la dérivée de l'inverse.⁴ En Première, on utilise surtout cette formule quand $u$ est affine, $u(x)=ax+b$ : c'est un cas de la dérivée de $x\mapsto g(ax+b)$ .

Les exercices

Exercice 1 Somme et facteur constant

★☆☆Environ 5 min

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2+5x-7$ .

Détermine l'expression de $f'(x)$ .
Calcule le nombre dérivé $f'(2)$ .

Indice 1

Dérive chaque terme séparément : $3x^2$ est un facteur constant fois $x^2$ , $5x$ est un multiple de $x$ , et $-7$ est une constante.

Indice 2

La dérivée de $x^2$ est $2x$ et celle de $x$ est $1$ .

Voir la correction pas à pas

On reconnaît une somme de trois termes. La dérivation étant linéaire, on dérive terme à terme et on garde les facteurs constants.
$(3x^2)'=3\times 2x=6x$ , $(5x)'=5$ et $(-7)'=0$ .
On additionne : $f'(x)=6x+5$ .
On remplace $x$ par $2$ : $f'(2)=6\times 2+5=17$ .

On trouve $f'(x)=6x+5$ et $f'(2)=17$ . Cela signifie que la tangente à la courbe au point d'abscisse $2$ a pour coefficient directeur $17$ .⁵

Exercice 2 Un polynôme de degré 3

★☆☆Environ 5 min

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^3-4x^2+x$ .

Calcule $g'(x)$ .
Détermine $g'(-1)$ .

Indice 1

Utilise la dérivée de $x^n$ : on multiplie par l'exposant et on diminue l'exposant de $1$ .

Indice 2

Fais attention aux signes quand tu remplaces $x$ par $-1$ : $(-1)^2=1$ .

Voir la correction pas à pas

$g$ est une somme de trois termes, on dérive chacun.
$(x^3)'=3x^2$ , $(-4x^2)'=-4\times 2x=-8x$ , $(x)'=1$ .
$g'(x)=3x^2-8x+1$ .
On remplace : $g'(-1)=3\times(-1)^2-8\times(-1)+1=3+8+1=12$ .

Le nombre dérivé en $-1$ vaut $12$ . Le piège était le signe : $-8\times(-1)$ donne $+8$ .

Exercice 3 Dériver un produit

★★☆Environ 8 min

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=(2x+1)(x^2-3)$ .

Calcule $h'(x)$ avec la règle du produit, puis simplifie.
Calcule $h'(1)$ .
Vérifie ton résultat en développant d'abord $h(x)$ .

Indice 1

Pose $u(x)=2x+1$ et $v(x)=x^2-3$ , puis écris $u'$ et $v'$ avant de les assembler.

Indice 2

La formule est $(uv)'=u'v+uv'$ . Il y a deux termes à additionner.

Voir la correction pas à pas

On pose $u(x)=2x+1$ et $v(x)=x^2-3$ . Alors $u'(x)=2$ et $v'(x)=2x$ .
On applique $(uv)'=u'v+uv'$ : $h'(x)=2(x^2-3)+(2x+1)\times 2x$ .
On développe : $h'(x)=2x^2-6+4x^2+2x=6x^2+2x-6$ .
On évalue : $h'(1)=6+2-6=2$ .
Vérification : $h(x)=2x^3+x^2-6x-3$ , donc $h'(x)=6x^2+2x-6$ . On retrouve la même expression.

Les deux méthodes donnent $h'(x)=6x^2+2x-6$ et $h'(1)=2$ . Quand le développement est facile, il sert de contrôle ; quand il devient pénible, la règle du produit est la bonne arme.⁴

Exercice 4 Dériver un quotient

★★☆Environ 8 min

Soit $k$ la fonction définie sur $]1\,;+\infty[$ par $k(x)=\dfrac{3x+2}{x-1}$ .

Calcule $k'(x)$ et montre qu'elle s'écrit $\dfrac{-5}{(x-1)^2}$ .
Calcule $k'(3)$ .

Indice 1

Pose $u(x)=3x+2$ et $v(x)=x-1$ . Ne change pas l'ordre dans le numérateur : $u'v-uv'$ .

Indice 2

Dans le numérateur, développe avec soin : $3(x-1)-(3x+2)$ , le signe moins s'applique à toute la parenthèse.

Voir la correction pas à pas

On pose $u(x)=3x+2$ et $v(x)=x-1$ , donc $u'(x)=3$ et $v'(x)=1$ . La fonction $v$ ne s'annule pas sur l'intervalle donné.
On applique $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ : $k'(x)=\dfrac{3(x-1)-(3x+2)\times 1}{(x-1)^2}$ .
Numérateur : $3x-3-3x-2=-5$ . Donc $k'(x)=\dfrac{-5}{(x-1)^2}$ .
On évalue : $k'(3)=\dfrac{-5}{2^2}=-\dfrac{5}{4}=-1{,}25$ .

On obtient $k'(x)=\dfrac{-5}{(x-1)^2}$ et $k'(3)=-1{,}25$ . Remarque : le numérateur est constant et négatif, donc $k'(x)<0$ pour tout $x$ de l'intervalle. Ce signe sera exploité au chapitre suivant pour décrire les variations.

Exercice 5 Équation d'une tangente

★★☆Environ 10 min

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x(x^2-2)$ . On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

Calcule $f'(x)$ avec la règle du produit.
Donne l'équation réduite de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$ .
Quelle est l'ordonnée à l'origine de $T$ ?

Indice 1

L'équation de la tangente en $a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ .

Indice 2

Calcule séparément $f(2)$ et $f'(2)$ , puis remplace dans la formule.

Voir la correction pas à pas

On pose $u(x)=x$ et $v(x)=x^2-2$ , donc $u'(x)=1$ et $v'(x)=2x$ .
$f'(x)=1\times(x^2-2)+x\times 2x=3x^2-2$ .
On calcule $f(2)=2\times(4-2)=4$ et $f'(2)=3\times 4-2=10$ .
La tangente a pour équation $y=10(x-2)+4$ . Le coefficient directeur de la tangente est bien le nombre dérivé.⁵
On développe : $y=10x-20+4=10x-16$ .
L'ordonnée à l'origine est le terme constant : $-16$ .

La tangente en $2$ a pour équation $y=10x-16$ ; elle coupe l'axe des ordonnées au point $(0\,;-16)$ . Pour retrouver cette valeur, on peut aussi vérifier que le point $(2\,;4)$ vérifie l'équation : $10\times 2-16=4$ .

Exercice 6 Tangente horizontale d'un quotient

★★★Environ 12 min

Soit $m$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $m(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ .

Justifie que $m$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et montre que $m'(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$ .
Détermine les abscisses des points de la courbe où la tangente est horizontale.
Donne la plus grande de ces abscisses.

Indice 1

Une tangente horizontale a un coefficient directeur nul : on cherche les $x$ tels que $m'(x)=0$ .

Indice 2

Un quotient est nul quand son numérateur est nul (et son dénominateur non nul). Ici le dénominateur est toujours strictement positif.

Voir la correction pas à pas

Le dénominateur $x^2+1$ est supérieur ou égal à $1$ : il ne s'annule jamais. $m$ est un quotient de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ , donc dérivable sur $\mathbb{R}$ .
On pose $u(x)=x$ et $v(x)=x^2+1$ : $u'(x)=1$ et $v'(x)=2x$ .
$m'(x)=\dfrac{1\times(x^2+1)-x\times 2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$ .
La tangente est horizontale si et seulement si $m'(x)=0$ , donc si $1-x^2=0$ , car le dénominateur n'est jamais nul.
$1-x^2=0$ équivaut à $x^2=1$ , soit $x=-1$ ou $x=1$ .
La plus grande abscisse est $1$ .

La courbe admet une tangente horizontale aux points d'abscisses $-1$ et $1$ . Ces points seront précieux pour l'étude des variations : c'est là que le signe de la dérivée peut changer.

Exercice 7 Dérivée d'une puissance de fonction

★★★Environ 12 min

Soit $p$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $p(x)=(2x-3)^3$ .

Calcule $p'(x)$ avec la formule $(u^n)'=n\,u'\,u^{n-1}$ .
Vérifie ce résultat en développant $p(x)$ puis en dérivant.
Détermine les réels $x$ tels que $p'(x)=54$ et donne le plus grand.

Indice 1

Ici $u(x)=2x-3$ et $n=3$ . N'oublie pas de multiplier par $u'(x)$ .

Indice 2

Pour l'équation, factorise ou divise par $6$ : tu obtiens $(2x-3)^2=9$ .

Indice 3

Un carré égal à $9$ donne deux possibilités : $2x-3=3$ ou $2x-3=-3$ .

Voir la correction pas à pas

On pose $u(x)=2x-3$ et $n=3$ , donc $u'(x)=2$ . Comme $u$ est affine, c'est un cas de la dérivée de $x\mapsto g(ax+b)$ avec $g(X)=X^3$ .
$p'(x)=3\times 2\times(2x-3)^2=6(2x-3)^2$ .
Vérification : $(2x-3)^3=8x^3-36x^2+54x-27$ . On dérive : $24x^2-72x+54$ .
Développons $6(2x-3)^2=6(4x^2-12x+9)=24x^2-72x+54$ . Les deux expressions coïncident.
On résout $6(2x-3)^2=54$ , soit $(2x-3)^2=9$ .
Donc $2x-3=3$ ou $2x-3=-3$ , d'où $x=3$ ou $x=0$ .
Le plus grand de ces réels est $3$ .

On a $p'(x)=6(2x-3)^2$ et l'équation $p'(x)=54$ admet pour solutions $0$ et $3$ . L'oubli du facteur $u'=2$ aurait donné $3(2x-3)^2$ , et donc des solutions fausses.

Exercice 8 Vitesse et dérivée d'un polynôme

★★★Environ 12 min

Un mobile se déplace sur une droite. Sa position à l'instant $t$ (en secondes, $t\geq 0$ ) est $d(t)=t^3-6t^2+9t$ (en mètres). La vitesse instantanée à l'instant $t$ est donnée par $d'(t)$ , c'est-à-dire la vitesse à laquelle la position change.⁵

Calcule $d'(t)$ .
Calcule la vitesse à l'instant $t=4$ .
Montre que $d'(t)=3(t-1)(t-3)$ et en déduire les instants où le mobile est à l'arrêt.

Indice 1

Dérive terme à terme, comme dans les premiers exercices.

Indice 2

Pour factoriser $3t^2-12t+9$ , commence par mettre $3$ en facteur, puis cherche deux nombres de somme $-4$ et de produit $3$ .

Voir la correction pas à pas

$d$ est une somme de trois termes : $(t^3)'=3t^2$ , $(-6t^2)'=-12t$ , $(9t)'=9$ .
$d'(t)=3t^2-12t+9$ .
À $t=4$ : $d'(4)=3\times 16-12\times 4+9=48-48+9=9$ . La vitesse est de $9$ m/s.
On factorise : $3t^2-12t+9=3(t^2-4t+3)=3(t-1)(t-3)$ , car $(t-1)(t-3)=t^2-4t+3$ .
Le mobile est à l'arrêt quand $d'(t)=0$ , c'est-à-dire pour $t=1$ ou $t=3$ .

La vitesse à $t=4$ est de $9$ m/s, et le mobile s'arrête aux instants $t=1$ s et $t=3$ s. On retrouve ici l'idée que le nombre dérivé mesure la rapidité de variation d'une grandeur.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir quelle règle utiliser quand plusieurs apparaissent ?

Regarde l'opération finale qui construit la fonction. Dans $(2x+1)(x^2-3)$ , la dernière opération est un produit : on applique la règle du produit, puis on dérive chaque facteur avec les dérivées usuelles. Dans $\frac{3x+2}{x-1}$ , c'est un quotient. Dans $(2x-3)^3$ , c'est une puissance d'une expression. Quand une règle en contient une autre (par exemple un produit dont un facteur est une puissance), on avance de l'extérieur vers l'intérieur.

Pourquoi ne peut-on pas écrire $(uv)'=u'v'$ ?

Parce que c'est faux, comme le montre un contre-exemple simple : avec $u(x)=v(x)=x$ , le produit est $x^2$ , de dérivée $2x$ , alors que $u'v'=1\times 1=1$ . La règle correcte, $(uv)'=u'v+uv'$ , donne bien $1\times x+x\times 1=2x$ .⁴

Faut-il toujours simplifier la dérivée ?

Simplifie dans la mesure où cela aide la suite. Pour étudier le signe de $f'$ ou résoudre $f'(x)=0$ , une forme factorisée est souvent la plus utile : au dénominateur d'un quotient, laisse le carré tel quel et développe seulement le numérateur. Si on te demande seulement un nombre dérivé, tu peux évaluer directement sans développer davantage.

Sources

Introduire le nombre dérivée en classe de première, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Programme de mathématiques - Document ressources, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources d'accompagnement - Dérivation et étude des fonctions, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Opérations sur les dérivées, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Dérivée, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Exercice 1 Somme et facteur constant

Exercice 2 Un polynôme de degré 3

Exercice 3 Dériver un produit

Exercice 4 Dériver un quotient

Exercice 5 Équation d'une tangente

Exercice 6 Tangente horizontale d'un quotient

Exercice 7 Dérivée d'une puissance de fonction

Exercice 8 Vitesse et dérivée d'un polynôme

Les questions qu'on se pose

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