Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
La dérivation est linéaire : (u+v)′=u′+v′ et (ku)′=ku′.
Produit : (uv)′=u′v+uv′, et non u′v′.
Quotient : (vu)′=v2u′v−uv′ ; cas particulier (v1)′=−v2v′.
Puissance d'une fonction : (un)′=nu′un−1 pour n entier.
Avant de dériver, repère la forme de la fonction (somme, produit, quotient, puissance) : le choix de la règle en découle.
Avant de commencer
Ce quiz porte sur le calcul de dérivées de fonctions construites à partir d'autres fonctions : sommes, produits par un réel, produits de deux fonctions, quotients et puissances de fonctions. Tu dois déjà connaître le nombre dérivé, son lien avec la tangente et les dérivées usuelles (carré, inverse, puissances de x), vues juste avant ce chapitre.25
Les règles de calcul se déduisent de la définition du nombre dérivé comme limite du taux d'accroissement, ce qui les rattache aux opérations sur les limites.45 Elles permettent de dériver une fonction sans repasser par la limite à chaque fois : on combine la table des dérivées usuelles avec un petit nombre de règles algébriques.5
Quiz
15 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
La dérivation est linéaire : on dérive chaque terme.4(3x2)′=3×2x=6x, (5x)′=5 et la constante −4 a pour dérivée 0. D'où 6x+5. Répondre 3x+5 oublie de multiplier par l'exposant 2 ; 6x2+5 conserve l'exposant au lieu de le diminuer de 1 ; 6x+1 confond la dérivée de 5x avec 1.
Le coefficient 5 reste en facteur : (5x3)′=5×(x3)′=5×3x2=15x2.4 La réponse 5x2 oublie le facteur 3 venant de l'exposant ; 15x3 ne diminue pas l'exposant ; 8x2 additionne 5 et 3 au lieu de les multiplier.
C'est faux. La règle du produit s'écrit (uv)′=u′v+uv′.4 Contre-exemple : avec u(x)=v(x)=x, le produit est x2 de dérivée 2x, alors que u′v′=1×1=1.
Avec u=x2 et v=2x+1, on a u′=2x et v′=2. Donc f′=u′v+uv′=2x(2x+1)+x2×2=4x2+2x+2x2=6x2+2x. La réponse 4x est le produit u′v′ ; 2x(2x+1) oublie le second terme uv′ ; 6x2+1 vient d'une erreur de développement.
Avec u=x2 et v=x+3 : f′(x)=2x(x+3)+x2×1=3x2+6x. Donc f′(2)=3×4+6×2=12+12=24. Si tu as trouvé 2×1=2, tu as appliqué u′v′ au lieu de u′v+uv′.
La règle du quotient est (vu)′=v2u′v−uv′.4 Le quotient v′u′ est l'erreur classique. Le signe + appartient à la règle du produit. L'ordre uv′−u′v donne l'opposé du bon résultat : le numérateur commence toujours par u′v.
Avec v(x)=x+2 et v′(x)=1, la dérivée de l'inverse donne −v2v′=−(x+2)21. Sans le signe moins on obtiendrait une dérivée positive, alors que la fonction est décroissante. −x+21 oublie de mettre v au carré ; le facteur 2 vient d'une confusion entre v′ et la constante de v.
Avec u=3x+1, v=x−1, u′=3, v′=1 : f′(x)=(x−1)23(x−1)−(3x+1)×1=(x−1)2−4. En x=3 : 4−4=−1. Une erreur fréquente est d'écrire + au numérateur, ce qui donne (x−1)26x−2 et une valeur positive.
La dérivée de un est nu′un−1.2 Ici u=2x+1, u′=2, n=3 : 3×2×(2x+1)2=6(2x+1)2. Oublier u′ donne 3(2x+1)2. Multiplier par 2x au lieu de 2 ou par 6x confond u′ avec une autre expression.
La somme, le produit par un réel et le produit de deux fonctions suivent les règles indiquées.4 L'égalité sur le quotient est fausse : la bonne formule est v2u′v−uv′, qui ne se réduit jamais à v′u′ en général.
C'est faux : il oublie le facteur u′. Avec u=x2+1, u′=2x et n=2, on obtient 2×2x×(x2+1)=4x(x2+1).2 Vérification en développant : (x2+1)2=x4+2x2+1, de dérivée 4x3+4x=4x(x2+1).
f′(x)=3x2−3=3(x2−1)=3(x−1)(x+1), qui s'annule pour x=−1 et x=1. L'équation du second degré a deux solutions, pas une seule. x=0 annule f mais pas f′, car f′(0)=−3. Les valeurs ±3 viennent d'une confusion avec le coefficient −3x.
La dérivée de x↦x1 est x↦−x21, donc (−x2)′=x22. Ainsi g′(x)=10x+x22 et g′(1)=10+2=12. Si tu trouves 8, tu as gardé le signe moins devant le second terme alors qu'il se compense avec celui de la dérivée de l'inverse.
Avec u=x et v=x2 : u′v+uv′=1×x2+x×2x=x2+2x2=3x2. On retrouve la dérivée usuelle de x3, ce qui confirme la règle. La réponse x2+2x ne regroupe pas x×2x=2x2 ; 2x et 2x2 oublient l'un des deux termes.
L'élève a calculé u′v′. Par la règle du produit : 2x×x3+x2×3x2=2x4+3x4=5x4. On le vérifie en simplifiant d'abord : x2×x3=x5, de dérivée 5x4. Les réponses 6x5 et 5x6 ne respectent pas le degré attendu : la dérivée d'un polynôme de degré 5 est de degré 4.
Les questions qu'on se pose
Comment choisir la bonne règle pour dériver une fonction ?
Regarde la dernière opération effectuée pour calculer f(x). Si c'est une addition, dérive terme à terme ; si c'est un produit, utilise u′v+uv′ ; si c'est un quotient, utilise v2u′v−uv′ ; si c'est une puissance d'une expression, utilise nu′un−1.24 Parfois une simplification préalable évite la règle : x2×x3 se réécrit x5.
Pourquoi ne peut-on pas dériver un produit facteur par facteur ?
Parce que la dérivée mesure la variation d'une fonction, et que dans un produit les deux facteurs varient en même temps : chacun contribue à la variation, l'autre restant en place. D'où les deux termes u′v et uv′.4 Un contre-exemple simple suffit à s'en convaincre : x×x=x2 a pour dérivée 2x, alors que 1×1=1.
Ces règles servent-elles pour la suite du programme ?
Oui. Elles servent à calculer f′ avant d'étudier son signe, donc les variations et les extremums d'une fonction, étapes classiques de l'étude complète d'une fonction. Savoir dériver vite et sans erreur de signe est ce qui permet ensuite de dresser un tableau de variations correct.