Variations et extremums d'une fonction : cours de 1re
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Sur un intervalle, une fonction dérivable est croissante quand sa dérivée est positive ou nulle, décroissante quand elle est négative ou nulle 1.
Pour étudier les variations : calculer f′, étudier son signe, puis résumer dans un tableau de variations.
Un extremum local apparaît quand f′ s'annule en changeant de signe3.
f′(a)=0 ne suffit pas : x↦x3 a une dérivée nulle en 0 sans extremum.
Pour une inégalité ou un problème d'optimisation, on cherche le minimum ou le maximum de la fonction concernée 1.
Pourquoi étudier les variations d'une fonction
Quand on regarde la courbe d'une fonction, on voit tout de suite où elle monte, où elle descend, où elle atteint un sommet ou un creux. Le but de ce chapitre est de retrouver ces informations par le calcul, sans tracer la courbe point par point. Le programme de première demande en effet d'étudier les variations d'une fonction et de déterminer ses extremums 12.
L'outil central est la dérivée, que tu as déjà rencontrée : le nombre dérivé est la pente de la tangente, et la fonction dérivée donne cette pente en chaque point. Si la pente est positive, la courbe monte ; si elle est négative, la courbe descend. Toute la méthode du chapitre repose sur cette idée simple, formulée avec précision.
Ce cours suppose que tu sais :
calculer le nombre dérivé et trouver l'équation d'une tangente ;
dériver les fonctions usuelles (x2, x3, x1, x) ;
dériver une somme, un produit par une constante, un produit, un quotient.
Il prépare l'étude complète d'une fonction, où l'on rassemble variations, signe, limites et courbe.
Vocabulaire : croissance, décroissance, extremums
Le lien entre signe de la dérivée et variations
Imagine une courbe et sa tangente en un point. Le nombre dérivé est la pente de cette tangente 2. Une pente positive signifie que la tangente monte : la fonction a tendance à augmenter autour de ce point. Une pente négative signifie qu'elle a tendance à diminuer. Quand la pente est nulle, la tangente est horizontale : c'est un moment de transition, souvent un sommet ou un creux.
Cette observation devient un énoncé précis du programme, qui relie le sens de variation d'une fonction dérivable sur un intervalle au signe de sa fonction dérivée 12.
Méthode : dresser un tableau de variations
DériverCalculer f'(x) et la factoriser
Signe de f'Racines puis signe sur chaque intervalle
Variationsf' > 0 : croît ; f' < 0 : décroît
TableauSigne de f', flèches et valeurs de f
ExtremumsRepérer où la flèche change de sens
Les étapes d'une étude de variations · Suis toujours le même ordre, de la dérivée jusqu'aux extremums.
Le tableau a deux lignes essentielles. La première donne le signe de f′(x) ; la seconde donne les variations de f avec des flèches (↗ pour croissante, ↘ pour décroissante). Les valeurs de f sont écrites aux extrémités des flèches. C'est un résumé complet : en le lisant, on sait où la fonction monte, descend, et à quelle hauteur elle atteint ses sommets et ses creux.
Premier exemple : une fonction polynôme du second degré
Les fonctions polynômes du second degré sont explicitement citées dans le programme : on y étudie variations et extremum en lien avec la dérivation 2. Prenons f(x)=x2−4x+3 sur R.
Tableau de variations de f(x) = x² − 4x + 3
x
−∞
2
+∞
Signe de f'(x)
−
0
+
Variations de f
décroît
−1 (minimum)
croît
Tableau de variations de f(x) = x² − 4x + 3 · Le minimum −1 est atteint en x = 2.
Courbe de f(x) = x² − 4x + 3 · Au sommet, la tangente est horizontale.Démonstration · Vérification sans dérivée
On peut retrouver ce résultat par l'algèbre. Développons (x−2)2−1=x2−4x+4−1=x2−4x+3. Donc f(x)=(x−2)2−1. Un carré est toujours positif ou nul, donc (x−2)2≥0 et f(x)≥−1 pour tout réel x. L'égalité a lieu quand (x−2)2=0, c'est-à-dire pour x=2. Le minimum vaut bien −1, atteint en 2. Le calcul avec la dérivée donne la même chose, et il se généralise à des fonctions que l'algèbre seule ne traite pas.
Extremums locaux et dérivée nulle
Dans l'exemple précédent, le minimum est atteint exactement là où la dérivée s'annule, et la tangente à la courbe y est horizontale. Ce n'est pas un hasard : le programme fait le lien entre le nombre dérivé en un extremum et la tangente à la courbe 2.
Deuxième exemple : une fonction polynôme du troisième degré
Courbe de f(x) = x³ − 3x · Maximum local en x = −1, minimum local en x = 1.
Ici, ces extremums sont locaux seulement. Sur R, la fonction n'a ni maximum ni minimum global : pour x très grand, x3−3x devient aussi grand qu'on veut, et pour x très négatif aussi petit qu'on veut. Mais si on restreint l'étude à un intervalle fermé, la situation change.
Applications : inégalités et optimisation
Le programme demande aussi d'exploiter les variations d'une fonction pour établir une inégalité 1, et de traiter des problèmes d'optimisation où une fonction du second degré intervient 2. L'idée : une inégalité du type g(x)≥m se démontre en prouvant que m est le minimum de g.
Erreurs fréquentes et réflexes de contrôle
Exercices corrigés
Exercice 1 Maximum d'un trinôme
★☆☆Environ 8 min
Soit f(x)=−x2+6x−5 définie sur R. Étudie les variations de f et détermine son maximum.
Indice 1
Calcule f′(x) puis résous f′(x)=0.
Indice 2
Le coefficient de x2 est négatif : la fonction croît puis décroît.
Voir la correction pas à pas
On dérive : f′(x)=−2x+6=−2(x−3).
f′(x)=0 pour x=3. Pour x<3, x−3<0 donc f′(x)>0 ; pour x>3, f′(x)<0.
f est croissante sur ]−∞;3] et décroissante sur [3;+∞[.
On calcule f(3)=−9+18−5=4.
f admet un maximum égal à 4, atteint en x=3.
Exercice 2 Extremums locaux d'un polynôme de degré 3
★★☆Environ 12 min
Soit f(x)=2x3−9x2+12x+1 sur R. Dresse le tableau de variations de f. Calcule la différence entre la valeur du maximum local et celle du minimum local.
Indice 1
Factorise f′(x)=6x2−18x+12 en commençant par mettre 6 en facteur.
Indice 2
Un trinôme de coefficient dominant positif est négatif entre ses racines.
Voir la correction pas à pas
On dérive : f′(x)=6x2−18x+12=6(x2−3x+2)=6(x−1)(x−2).
Les racines sont 1 et 2. Le coefficient 6 est positif : f′>0 sur ]−∞;1[ et sur ]2;+∞[, f′<0 sur ]1;2[.
f croît jusqu'à x=1, décroît de 1 à 2, puis croît.
f(1)=2−9+12+1=6 : maximum local. f(2)=16−36+24+1=5 : minimum local.
La différence vaut 6−5=1.
Maximum local 6 en x=1, minimum local 5 en x=2 ; leur différence est 1.
Exercice 3 Un enclos d'aire maximale
★★☆Environ 12 min
On souhaite construire un enclos rectangulaire avec 36 m de grillage (périmètre total). Soit x la longueur d'un côté, en mètres. Exprime l'aire en fonction de x, étudie ses variations et donne l'aire maximale.
Indice 1
Si un côté vaut x, l'autre vaut 18−x car le demi-périmètre est 18.
Indice 2
Précise l'intervalle des valeurs possibles de x.
Voir la correction pas à pas
Le demi-périmètre vaut 18 m, donc l'autre côté mesure 18−x, avec 0≤x≤18.
L'aire est A(x)=x(18−x)=18x−x2.
On dérive : A′(x)=18−2x=2(9−x), positive pour x<9 et négative pour x>9.
A est croissante sur [0;9] puis décroissante sur [9;18].
Le maximum est A(9)=9×9=81.
L'aire maximale est 81 m², obtenue pour un carré de 9 m de côté.
Exercice 4 Minimum de $x+\frac{16}{x}$
★★★Environ 15 min
Soit g(x)=x+x16 sur ]0;+∞[. Étudie les variations de g et détermine son minimum. En déduire que, pour tout x>0, x+x16≥8.
Indice 1
La dérivée de x16 est −x216.
Indice 2
Mets g′(x) au même dénominateur et factorise le numérateur.
Voir la correction pas à pas
On dérive : g′(x)=1−x216=x2x2−16=x2(x−4)(x+4).
Sur ]0;+∞[, x2>0 et x+4>0 : g′(x) a le signe de x−4.
g est décroissante sur ]0;4] et croissante sur [4;+∞[.
Le minimum est g(4)=4+416=8.
Donc g(x)≥8 pour tout x>0.
Le minimum de g est 8, atteint en x=4 ; l'inégalité x+x16≥8 est démontrée.
Quiz
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f′(x)=2x−6 s'annule en x=3, négative avant, positive après. Le minimum est f(3)=9−18+5=−4. L'erreur tentante est de répondre 3, qui est l'abscisse où le minimum est atteint, pas sa valeur.
C'est faux : pour f(x)=x3, f′(0)=0 mais la dérivée ne change pas de signe et f est croissante sur R. Il faut un changement de signe de f′ pour conclure à un extremum local.
Une dérivée strictement positive donne une fonction strictement croissante. La réponse « positive » est un piège : le signe de f′ renseigne sur les variations de f, pas sur le signe de f.
Pour x=0, f′(0)=3×(−1)×2=−6<0. Entre les racines −2 et 1, le trinôme est de signe opposé à son coefficient dominant 3, donc négatif : f est décroissante. Choisir « croissante » revient à croire que le coefficient positif donne un signe positif partout.
f′(x)=3x2 vaut 0 en 0 et est positive ailleurs, donc f est strictement croissante et la tangente en 0 est horizontale. Pourtant il n'y a pas de minimum en 0, puisque f(−1)<f(0).
La fonction monte avant a et descend après : c'est un sommet, donc un maximum local. Le minimum local correspond au changement inverse, de − à +.
On compare f(−2)=−2, f(−1)=2, f(1)=−2 et f(2)=2. Le maximum est 2. Oublier la borne 2 ne change pas ici la valeur, mais sur d'autres fonctions les bornes donnent souvent l'extremum.
C'est vrai : le lien entre sens de variation et signe de la dérivée fonctionne dans les deux sens sur un intervalle. Une fonction décroissante peut avoir une dérivée nulle en certains points, d'où l'inégalité large ≤.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si un extremum est un maximum ou un minimum ?
Regarde le sens du changement de signe de f′. Si f′ passe de + à −, la fonction monte puis descend : c'est un maximum local. Si f′ passe de − à +, elle descend puis monte : c'est un minimum local3. Tu peux aussi comparer les valeurs de f autour du point.
Pourquoi $f'(a)=0$ ne suffit-il pas pour avoir un extremum ?
Parce que la dérivée peut s'annuler sans changer de signe. Avec f(x)=x3, f′(0)=0 mais f′ reste positive de chaque côté : la fonction continue de monter. Le critère est le changement de signe de f′3.
Quelle est la différence entre un extremum local et un extremum global ?
Un extremum local est le plus grand ou le plus petit au voisinage d'un point seulement. Un extremum global l'est sur tout l'intervalle étudié. Dans f(x)=x3−3x sur R, le maximum local 2 n'est pas global, car la fonction prend des valeurs plus grandes ailleurs.
Faut-il toujours calculer les valeurs aux bornes de l'intervalle ?
Oui, quand l'intervalle est fermé. Sur [0;3], une fonction strictement croissante a son minimum en 0 et son maximum en 3, sans que la dérivée s'annule. Les bornes sont des candidats naturels aux extremums globaux.
À quoi sert l'étude des variations dans les exercices de contrôle ?
Elle sert à trouver des extremums, à démontrer des inégalités et à résoudre des problèmes d'optimisation (aire maximale, coût minimal) 12. C'est aussi l'étape de départ d'une étude complète de fonction.