Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Étudier les variations d'une fonction dérivable revient à étudier le signe de sa dérivée sur chaque intervalle 1.
Un extremum est un maximum ou un minimum ; pour une fonction dérivable, un extremum local en un point intérieur impose f'(a) = 0 3.
f'(a) = 0 ne suffit pas : il faut que la dérivée change de signe en a 3.
Pour une fonction dérivable, en un extremum local situé à l'intérieur de l'intervalle, le nombre dérivé est nul et la tangente est donc horizontale 3.
Pour un trinôme du second degré, la méthode donne directement variations et extremum 2.
Avant de commencer
Ce quiz couvre tout le chapitre sur les variations et les extremums d'une fonction dérivable. Tu y trouveras des questions de cours, des calculs de dérivée, des lectures de signe, la recherche d'un minimum ou d'un maximum, et quelques pièges classiques. Prends un brouillon : la plupart des questions demandent un petit calcul.
Au programme de Première, c'est le signe de la dérivée qui indique si une fonction dérivable sur un intervalle monte ou descend 1. Il faut aussi savoir dresser les variations d'une fonction et en tirer ses extremums 1. C'est exactement ce que le quiz t'entraîne à faire.
Quiz
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On dérive terme à terme : (x2)′=2x, (−4x)′=−4 et la constante 1 disparaît, d'où 2x−4. La réponse x−4 vient d'un oubli du facteur 2 dans la dérivée de x2. La réponse 2x+1 garde à tort la constante, alors que la dérivée d'une constante est nulle.
2x−4<0 pour x<2 et 2x−4>0 pour x>2. Le signe de la dérivée donne le sens de variation 1 : f décroît puis croît. Inverser les deux intervalles est l'erreur tentante : elle correspondrait à une parabole tournée vers le bas, ce qui arrive quand le coefficient de x2 est négatif.
La dérivée s'annule en x=2 en passant du négatif au positif : c'est un minimum 3. On calcule f(2)=4−8+1=−3. L'erreur fréquente consiste à répondre 2, qui est la position du minimum (l'abscisse), et non sa valeur (l'ordonnée).
C'est la définition : un extremum est une valeur extrême, soit maximum, soit minimum 3. Il serait faux de croire qu'un extremum désigne seulement le maximum : le minimum en est un aussi.
C'est exactement la propriété énoncée pour une fonction dérivable d'une variable, en un point de l'ouvert de définition 3. Graphiquement, comme f′(a)=0, la tangente en ce point a un coefficient directeur nul : elle est horizontale 3.
C'est faux : la réciproque demande que la dérivée change de signe en a3. Contre-exemple : f(x)=x3, avec f′(0)=0 et f′(x)=3x2≥0 des deux côtés de 0. La fonction est croissante sur R et n'a pas d'extremum en 0.
Le signe de 3(x−1)(x+1) est positif pour x<−1, négatif entre −1 et 1, positif pour x>1. La dérivée passe de + à − en −1 : maximum local 3. Sa valeur est f(−1)=−1+3=2. En x=1, la dérivée passe de − à + : c'est le minimum local, de valeur f(1)=−2, qu'il ne faut pas confondre avec le maximum.
−2x+6>0 si x<3 : f croît jusqu'à 3 puis décroît 1. La dérivée passe de + à − en 3 : c'est un maximum 3, de valeur f(3)=−9+18=9. L'affirmation sur le minimum est fausse : une parabole dont le coefficient de x2 est négatif a un sommet qui est un maximum.
Le programme relie le nombre dérivé en un extremum à la tangente à la courbe 2 : le nombre dérivé est nul, donc la tangente est horizontale 3. Une tangente verticale correspond à une fonction non dérivable en ce point, ce qui sort du cadre. Un coefficient directeur de 1 n'a aucun lien avec un extremum.
f′(x)=4x−8 s'annule en x=2 en passant de − à + : minimum 3. On calcule f(2)=8−16+3=−5. Une erreur courante est de calculer 2×22 comme (2×2)2=16 au lieu de 2×4=8.
Un carré est toujours positif ou nul, donc f′≥0 partout : f est croissante sur R1. La dérivée s'annule en 3 sans changer de signe, donc il n'y a pas d'extremum 3. Conclure à un minimum parce que f′(3)=0 est l'erreur typique.
Sur ]0;+∞[, x+1>0 et x2>0, donc le signe de g′ est celui de x−1 : négatif avant 1, positif après. La dérivée change de signe de − à + en 1 : minimum 3, de valeur g(1)=1+1=2. Un maximum serait un changement de + à −. Quant à x=0, il n'appartient pas à l'intervalle d'étude.
Le programme prévoit d'exploiter les variations d'une fonction pour établir une inégalité 1. Si −4 est la plus petite valeur prise par h, alors h(x)≥−4 pour tout x. L'inégalité h(x)≥0 est fausse : h(3)=−4. L'inégalité inverse ≤−4 est fausse aussi, car h(0)=5.
Le programme cite l'optimisation comme application de l'étude d'un trinôme du second degré 2. B′(x)=−2x+8 s'annule en x=4, en passant de + à − : maximum 3. On calcule B(4)=−16+32−5=11. Attention à ne pas répondre 4 : c'est la quantité qui donne le maximum, non le bénéfice lui-même.
Vrai : sur [1;3], f est croissante, donc sa plus petite valeur est f(1)=1. Cela ne contredit pas la propriété « extremum local implique dérivée nulle », car celle-ci s'applique à un point de l'ouvert de définition 3. En x=1, qui est une borne, elle ne s'applique pas.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si un point où la dérivée s'annule est un maximum, un minimum ou ni l'un ni l'autre ?
Regarde le signe de la dérivée de part et d'autre du point. Si elle passe de + à −, c'est un maximum local ; de − à +, un minimum local ; si elle garde le même signe, il n'y a pas d'extremum 3. Un tableau de signes suivi d'un tableau de variations rend cette lecture sûre.
Quelle différence entre un extremum et la valeur de x où il est atteint ?
L'extremum est une valeur de f, donc une ordonnée ; la valeur de x est l'endroit où cette valeur est atteinte. Pour f(x)=x2−4x+1, le minimum vaut −3 et il est atteint en x=2. Les énoncés demandent soit l'un, soit l'autre : lis bien la question.
Est-ce que cette notion tombe à l'examen ?
Étudier les variations d'une fonction et déterminer ses extremums fait partie des capacités attendues au programme de Première 1. Tu peux donc t'attendre à devoir dériver, étudier un signe, dresser un tableau de variations et conclure sur un maximum ou un minimum, souvent dans un problème d'optimisation.