Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Définition et propriétés algébriques de l'exponentielle : cours de 1re

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ égale à sa dérivée et valant 1 en 0 : $\exp'=\exp$ et $\exp(0)=1$ .
Relation fonctionnelle : $\exp(a+b)=\exp(a)\times\exp(b)$ pour tous réels $a$ et $b$ ; on note aussi $e^x=\exp(x)$ .
Conséquences : $e^{-a}=\dfrac{1}{e^{a}}$ , $e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}$ , $(e^a)^n=e^{na}$ pour $n$ entier.
L'exponentielle ne s'annule jamais et reste strictement positive : $e^x>0$ pour tout réel $x$ .
Pour simplifier une expression, on ramène tout à une seule puissance de $e$ en additionnant les exposants.

Pourquoi une nouvelle fonction ?

Jusqu'ici, tu as rencontré des fonctions polynômes, des fonctions rationnelles et des racines carrées. Certains phénomènes ne se décrivent pourtant avec aucune d'elles : une population qui double à intervalles réguliers, une substance qui se désintègre, une somme placée à intérêts composés. Dans tous ces cas, la vitesse de variation de la grandeur est proportionnelle à la grandeur elle-même.

C'est ce que traduit une équation du type $y'=ay$ , avec $a$ réel : la variation de $y$ est proportionnelle à $y$ . Plus tard, en Terminale, l'étude de l'équation $y'=ay+b$ permettra de réutiliser les propriétés de l'exponentielle.¹ Pour décrire une décroissance, les ressources du programme utilisent par exemple des modèles de la forme $t\mapsto k\,e^{-at}$ .²

Dans ce chapitre, tu vas faire le premier pas : définir la fonction exponentielle puis manipuler ses propriétés algébriques. L'étude de ses variations et les fonctions $t\mapsto \exp(kt)$ viennent ensuite. Les objectifs du chapitre sont de découvrir la fonction exponentielle, d'utiliser sa relation fonctionnelle et de manipuler ses propriétés algébriques.³

La définition de la fonction exponentielle

Une fonction est parfois définie par une formule (comme $x\mapsto x^2$ ). L'exponentielle est définie autrement : par une propriété de sa dérivée. Cette façon de faire est fréquente en mathématiques : on décrit la fonction par la condition qu'elle doit vérifier.

Que dit concrètement l'égalité $\exp'=\exp$ ? En chaque point de la courbe, le coefficient directeur de la tangente est égal à l'ordonnée du point. Au point d'abscisse $0$ , l'ordonnée vaut $1$ , donc la tangente a pour coefficient directeur $1$ . Plus la courbe monte, plus elle est pentue : c'est exactement le comportement d'une grandeur dont la vitesse de croissance est proportionnelle à sa valeur.

Courbe représentative de la fonction exponentielle · La courbe passe par A(0 ; 1) et reste strictement au-dessus de l'axe des abscisses.

L'exponentielle ne s'annule jamais

Avant de calculer avec l'exponentielle, il faut s'assurer qu'on peut diviser par elle. C'est l'objet de la première propriété.

Démonstration · Démonstration

Posons $g(x)=\exp(x)\times\exp(-x)$ pour tout réel $x$ . La fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables.

On dérive : la dérivée de $x\mapsto\exp(-x)$ est $x\mapsto-\exp'(-x)=-\exp(-x)$ . Donc $g'(x)=\exp(x)\exp(-x)+\exp(x)\times\big(-\exp(-x)\big)=0.$ La dérivée de $g$ est nulle sur $\mathbb{R}$ , donc $g$ est constante. Sa valeur est $g(0)=\exp(0)\times\exp(0)=1\times1=1$ .

Ainsi $\exp(x)\exp(-x)=1$ pour tout $x$ . Un produit égal à $1$ n'a aucun facteur nul, donc $\exp(x)\neq0$ .

Dans cette démonstration, on a utilisé une idée que tu retrouveras souvent : une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante. Pour la valeur de la constante, on évalue en un point commode, ici $0$ .

Démonstration · Démonstration

Soit $x$ un réel. La relation fonctionnelle (démontrée plus bas) donne $\exp(x)=\exp\!\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}\right)=\left(\exp\dfrac{x}{2}\right)^2$ . Un carré est positif ou nul ; comme $\exp(x)\neq0$ , il est strictement positif.

Donc $\exp(x)>0$ pour tout $x$ .

La relation fonctionnelle

C'est le résultat central du chapitre. Il transforme une somme dans l'argument en un produit de valeurs de la fonction. On parle de relation fonctionnelle, ou d'équation fonctionnelle, et c'est elle qu'on utilise pour transformer des écritures.¹³

Démonstration · Démonstration

Fixons un réel $a$ . On sait que $\exp(a)\neq0$ , ce qui permet de définir, pour tout réel $x$ , $h(x)=\frac{\exp(x+a)}{\exp(a)}.$ La fonction $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, comme $x\mapsto x+a$ a pour dérivée $1$ , $h'(x)=\frac{\exp'(x+a)}{\exp(a)}=\frac{\exp(x+a)}{\exp(a)}=h(x).$ De plus $h(0)=\dfrac{\exp(a)}{\exp(a)}=1$ .

La fonction $h$ est donc dérivable, égale à sa dérivée et vaut $1$ en $0$ : elle vérifie les conditions qui définissent $\exp$ . Par unicité, $h=\exp$ . On obtient $\frac{\exp(x+a)}{\exp(a)}=\exp(x),\quad\text{soit}\quad\exp(x+a)=\exp(x)\exp(a).$ Comme $a$ et $x$ sont quelconques, c'est la relation annoncée.

Démonstration · Pourquoi l'unicité est vraie

Supposons que $u$ soit une fonction dérivable telle que $u'=u$ et $u(0)=1$ . Comme $\exp$ ne s'annule pas, on peut étudier $q=\dfrac{u}{\exp}$ . Sa dérivée est $q'=\frac{u'\exp-u\exp'}{\exp^2}=\frac{u\exp-u\exp}{\exp^2}=0,$ donc $q$ est constante, égale à $q(0)=\dfrac{1}{1}=1$ . Ainsi $u=\exp$ : il n'y a qu'une seule fonction possible.

Cette relation ressemble volontairement à la règle $a^{m+n}=a^m a^n$ sur les puissances. C'est ce qui justifie la notation que tu vas voir dans la section suivante.

La notation $e^x$ et les règles de calcul

PropriétéPropriétés algébriques

Pour tous réels $a$ et $b$ et tout entier relatif $n$ :

Règle	Écriture
Produit	$e^{a+b}=e^a\times e^b$
Inverse	$e^{-a}=\dfrac{1}{e^a}$
Quotient	$e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}$
Puissance	$\left(e^{a}\right)^{n}=e^{na}$

Ces propriétés sont celles que l'on manipule pour transformer et simplifier les écritures.³

Démonstration · Démonstrations des règles d'inverse, de quotient et de puissance

Inverse. On a $e^{a}\times e^{-a}=e^{0}=1$ (relation fonctionnelle puis $e^0=1$ ). Comme $e^a\neq0$ , on divise : $e^{-a}=\dfrac{1}{e^a}$ .

Quotient. $e^{a-b}=e^{a+(-b)}=e^a\times e^{-b}=e^a\times\dfrac{1}{e^b}=\dfrac{e^a}{e^b}$ .

Puissance. Pour $n$ entier naturel, on répète la relation fonctionnelle : $e^{na}=e^{a+a+\dots+a}=e^a\times e^a\times\dots\times e^a=\left(e^a\right)^n$ . Pour $n$ négatif, on passe à l'inverse avec la règle précédente.

Méthode : simplifier une expression avec des exponentielles

RepérerProduits, quotients et puissances de e^(...)
Additionnere^u × e^v = e^(u+v)
Soustraire ou multipliere^u / e^v = e^(u-v) ; (e^u)^n = e^(nu)
ContrôlerTester avec x = 0 avant de conclure

Simplifier une expression en exponentielles

Développer, factoriser, identités remarquables

Les expressions avec $e^x$ se traitent comme n'importe quelle expression littérale, en gardant $e^x$ comme « bloc ». Les identités remarquables s'appliquent donc normalement, et la relation fonctionnelle sert à simplifier les produits qui apparaissent.

Démontrer une égalité avec des exponentielles

Les énoncés du type « montrer que, pour tout réel $x$ , … » reviennent souvent. Une démonstration d'égalité ne se rédige pas en écrivant d'emblée l'égalité à prouver : on part d'un membre et on le transforme jusqu'à obtenir l'autre.

ExempleUne égalité à démontrer

Montrons que, pour tout réel $x$ , $\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$ .

On part du membre de gauche et on multiplie le numérateur et le dénominateur par $e^{x}$ , qui n'est pas nul : $\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=\frac{e^{x}\left(e^{x}-e^{-x}\right)}{e^{x}\left(e^{x}+e^{-x}\right)}=\frac{e^{2x}-e^{x}\times e^{-x}}{e^{2x}+e^{x}\times e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}.$ On a utilisé $e^{x}\times e^{x}=e^{2x}$ et $e^{x}\times e^{-x}=1$ . L'égalité est donc vraie pour tout réel $x$ .

Lien avec les équations $y'=ay$ et les modèles

Le chapitre qui suit étudie les fonctions $t\mapsto\exp(kt)$ . Voici pourquoi elles sont naturelles : si $g(t)=\exp(kt)$ avec $k$ réel, la dérivée d'une composée donne $g'(t)=k\exp(kt)=k\,g(t)$ . La fonction $g$ vérifie donc une équation du type $y'=ky$ , qui correspond au cadre d'un phénomène où la variation est proportionnelle à la valeur.¹

Exercices corrigés

Exercice 1 Simplifier des expressions

★☆☆Environ 8 min

Simplifie chaque expression en une seule puissance de $e$ :

$P=e^{5}\times e^{-2}\times e^{3x}$ ;
$Q=\dfrac{e^{4x+1}}{e^{x-2}}$ ;
$R=\left(e^{-x}\right)^{3}\times e^{2x}$ .

Pour la question 1, donne la valeur numérique du coefficient constant de l'exposant, c'est-à-dire $5-2$ .

Indice 1

Additionne les exposants dans un produit, soustrais-les dans un quotient.

Indice 2

Attention aux parenthèses quand tu soustrais $x-2$ : le signe change aussi devant le $2$ .

Voir la correction pas à pas

Question 1 : $P=e^{5-2+3x}=e^{3x+3}$ .
Question 2 : $Q=e^{(4x+1)-(x-2)}=e^{4x+1-x+2}=e^{3x+3}$ .
Question 3 : $\left(e^{-x}\right)^3=e^{-3x}$ , puis $R=e^{-3x}\times e^{2x}=e^{-3x+2x}=e^{-x}$ .
Contrôle en $x=0$ : $P=e^{3}$ , $Q=e^{1}/e^{-2}=e^{3}$ , $R=e^{0}=1$ . Les valeurs correspondent aux formes simplifiées.

Les formes simplifiées sont $P=e^{3x+3}$ , $Q=e^{3x+3}$ et $R=e^{-x}$ . Retiens que les exposants ne font que s'additionner, se soustraire ou se multiplier par un entier.

Exercice 2 Calculer à partir d'une valeur donnée

★★☆Environ 10 min

On sait que $e^{a}=2$ pour un certain réel $a$ .

Exprime $e^{-a}$ puis $e^{3a}$ à l'aide de nombres entiers ou de fractions.
Calcule $e^{3a}\times e^{-a}$ .

Donne la valeur finale de la question 2.

Indice 1

Utilise $e^{-a}=\dfrac{1}{e^{a}}$ et $e^{3a}=\left(e^{a}\right)^3$ .

Indice 2

Pour la question 2, tu peux aussi regrouper : $e^{3a}e^{-a}=e^{2a}$ .

Voir la correction pas à pas

$e^{-a}=\dfrac{1}{e^{a}}=\dfrac{1}{2}$ .
$e^{3a}=\left(e^{a}\right)^{3}=2^{3}=8$ .
$e^{3a}\times e^{-a}=8\times\dfrac12=4$ .
Vérification par la relation fonctionnelle : $e^{3a}e^{-a}=e^{2a}=\left(e^{a}\right)^2=2^2=4$ .

On trouve $4$ par deux chemins différents, ce qui confirme le résultat. Dès que $e^a$ est connu, toutes les valeurs $e^{na}$ s'en déduisent par puissance.

Exercice 3 Démontrer une identité

★★★Environ 12 min

Démontre que, pour tout réel $x$ : $\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}-\left(e^{x}-e^{-x}\right)^{2}=4.$

Indice 1

Développe chacun des deux carrés avec les identités remarquables.

Indice 2

N'oublie pas que $e^{x}\times e^{-x}=1$ .

Voir la correction pas à pas

Premier carré : $\left(e^{x}+e^{-x}\right)^2=e^{2x}+2e^{x}e^{-x}+e^{-2x}=e^{2x}+2+e^{-2x}$ .
Deuxième carré : $\left(e^{x}-e^{-x}\right)^2=e^{2x}-2e^{x}e^{-x}+e^{-2x}=e^{2x}-2+e^{-2x}$ .
On soustrait : $\left(e^{2x}+2+e^{-2x}\right)-\left(e^{2x}-2+e^{-2x}\right)=2-(-2)=4$ .
L'égalité est vraie pour tout réel $x$ .

Les termes en $e^{2x}$ et $e^{-2x}$ se compensent et il reste $4$ . On aurait pu aussi utiliser $a^2-b^2$ avec $a=e^x+e^{-x}$ et $b=e^x-e^{-x}$ : le résultat est $(a-b)(a+b)=2e^{-x}\times2e^{x}=4$ .

Exercice 4 Deux valeurs connues

★★☆Environ 10 min

Deux réels $a$ et $b$ vérifient $e^{a}=3$ et $e^{b}=4$ .

Calcule la valeur de $\dfrac{e^{2a}}{e^{b}}$ .

Indice 1

Écris $e^{2a}=\left(e^{a}\right)^2$ .

Indice 2

Un quotient d'exponentielles est une exponentielle de la différence, mais ici il est plus rapide de calculer chaque terme.

Voir la correction pas à pas

$e^{2a}=\left(e^{a}\right)^2=3^2=9$ .
$e^{b}=4$ est donné.
$\dfrac{e^{2a}}{e^{b}}=\dfrac{9}{4}=2{,}25$ .
Contrôle : $\dfrac{e^{2a}}{e^{b}}=e^{2a-b}$ ; on retrouve bien un nombre strictement positif.

La valeur cherchée est $\dfrac{9}{4}=2{,}25$ . On n'a jamais eu besoin de connaître $a$ ni $b$ : seules les valeurs de $e^a$ et $e^b$ comptent.

Exercice 5 Tangente à la courbe en $x=1$

★★☆Environ 10 min

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $\exp$ . Détermine l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$ , puis montre que cette tangente passe par l'origine.

Indice 1

Utilise $y=f'(1)(x-1)+f(1)$ .

Indice 2

Rappelle-toi que $\exp'=\exp$ et que $\exp(1)=e$ .

Voir la correction pas à pas

On a $f(1)=\exp(1)=e$ .
Comme $\exp'=\exp$ , on a $f'(1)=\exp(1)=e$ .
L'équation de la tangente est $y=e(x-1)+e=ex-e+e=ex$ .
Pour $x=0$ , on obtient $y=e\times0=0$ : la tangente passe par l'origine.

La tangente au point d'abscisse $1$ a pour équation $y=ex$ . Elle passe par l'origine, ce qui est une propriété particulière de ce point de la courbe.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi définit-on l'exponentielle par sa dérivée plutôt que par une formule ?

Aucune formule algébrique simple ne la décrit avec les opérations vues en Première. La condition $f'=f$ et $f(0)=1$ la détermine pourtant de façon unique, et c'est ce qui permet de démontrer toutes ses propriétés sans formule.

Quelle est la différence entre $\exp(x)$ et $e^x$ ?

Il n'y en a aucune. $e^x$ est la notation de $\exp(x)$ , avec $e=\exp(1)$ . Cette notation rappelle que la fonction se comporte comme une puissance, avec la même règle d'addition des exposants.

Comment savoir si je dois utiliser la relation fonctionnelle ?

Dès que tu vois un produit ou un quotient de termes en $e^{\dots}$ , ou une somme dans un exposant que tu veux séparer, ou que tu veux au contraire regrouper. Ramène toujours l'expression à une seule puissance de $e$ quand c'est possible.

Pourquoi $e^x$ est-il toujours positif, alors que l'exposant peut être négatif ?

L'exposant négatif ne rend pas le résultat négatif : $e^{-3}=\dfrac{1}{e^{3}}$ est l'inverse d'un nombre positif, donc positif. La démonstration repose sur $e^x=\left(e^{x/2}\right)^2$ et sur le fait que $e^x$ ne s'annule jamais.

Que faire pour vérifier une simplification ?

Remplace $x$ par une valeur simple, souvent $0$ , dans l'expression de départ et dans le résultat. Si les deux valeurs diffèrent, il y a une erreur. Si elles concordent, ce n'est pas une preuve, mais c'est un bon contrôle.

Est-ce que $e^x$ veut dire « $e$ multiplié $x$ fois par lui-même » ?

Seulement quand $x$ est un entier naturel. Pour les autres réels, $e^x$ n'a pas cette lecture : c'est la valeur en $x$ de la fonction $\exp$ , définie par sa dérivée. La notation en puissance garde seulement les règles de calcul.

Sources

Programme visé : Programme d'enseignement de spécialité de mathématiques – Classe de première – Voie générale · Éduscol / Ministère de l'Éducation nationale

Programme d'enseignement de spécialité de mathématiques – Classe de première – Voie générale, Éduscol / Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources Éduscol – Documents programme mathématiques Première, Éduscol / Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Cours Exponentielle – Première Spécialité Mathématiques, CNRS – Pages Math. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

Pourquoi une nouvelle fonction ?

La définition de la fonction exponentielle

L'exponentielle ne s'annule jamais

La relation fonctionnelle

La notation $e^x$ et les règles de calcul

Méthode : simplifier une expression avec des exponentielles

Développer, factoriser, identités remarquables

Démontrer une égalité avec des exponentielles

Lien avec les équations $y'=ay$ et les modèles

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