Exponentielle : exercices corrigés de Première spécialité

Pour $A$, on a un produit : $A=e^{(2x+1)+(-x+3)}$.

On additionne les exposants : $(2x+1)+(-x+3)=x+4$, donc $A=e^{x+4}$.

Pour $B$, on a un quotient : $B=e^{(x+5)-(x-2)}$. Attention aux parenthèses : $(x+5)-(x-2)=x+5-x+2=7$.

Donc $B=e^{7}$ : le résultat ne dépend pas de $x$.

Pour $C$, on écrit $(e^{x})^3=e^{3x}$, puis $C=e^{3x}\times e^{-2x}=e^{3x-2x}=e^{x}$.

Au dénominateur, $e^{1}\times e^{3}=e^{1+3}=e^{4}$.

On obtient $D=\dfrac{e^{4}}{e^{4}}$.

Un nombre non nul divisé par lui-même vaut 1, et $e^{4}$ n'est pas nul car une exponentielle est strictement positive. Donc $D=1$.

Les deux membres sont de la forme $e^{\text{quelque chose}}$, on peut donc égaler les exposants.

On obtient $2x+1=x+4$.

On isole $x$ : $2x-x=4-1$, donc $x=3$.

Vérification : pour $x=3$, le membre de gauche vaut $e^{7}$ et celui de droite $e^{7}$.

Développons le premier carré : $\left(e^{x}+e^{-x}\right)^2=e^{2x}+2e^{x}e^{-x}+e^{-2x}$.

Développons le second : $\left(e^{x}-e^{-x}\right)^2=e^{2x}-2e^{x}e^{-x}+e^{-2x}$.

On soustrait : les termes $e^{2x}$ et $e^{-2x}$ s'éliminent, il reste $4e^{x}e^{-x}$.

Or $e^{x}e^{-x}=e^{x-x}=e^{0}=1$.

Donc $E=4$ pour tout réel $x$.

On écrit $e^{2x}=e^{x}\times e^{x}$, donc l'équation devient $e^{x}\left(e^{x}-1\right)=0$.

Un produit est nul si l'un des facteurs l'est. Or $e^{x}>0$ pour tout réel $x$ : ce facteur ne s'annule jamais.

Il reste donc $e^{x}-1=0$, c'est-à-dire $e^{x}=1$.

Comme $1=e^{0}$, l'équation s'écrit $e^{x}=e^{0}$, donc $x=0$.

Une différence dans l'exposant donne un quotient : $e^{2a-b}=\dfrac{e^{2a}}{e^{b}}$.

Or $e^{2a}=\left(e^{a}\right)^2=3^2=9$.

Donc $e^{2a-b}=\dfrac{9}{5}=1{,}8$.

On transforme le premier terme : $e^{3a}=\left(e^{a}\right)^3=2^3=8$.

On transforme le second : $e^{-a}=\dfrac{1}{e^{a}}=\dfrac{1}{2}$.

On soustrait : $8-\dfrac{1}{2}=\dfrac{15}{2}=7{,}5$.

Les deux membres sont des exponentielles, donc l'équation équivaut à $x^{2}=3x+4$.

On met tout du même côté : $x^{2}-3x-4=0$.

Le discriminant vaut $\Delta=(-3)^2-4\times 1\times(-4)=9+16=25$, et $\sqrt{25}=5$.

Les solutions sont $x_1=\dfrac{3-5}{2}=-1$ et $x_2=\dfrac{3+5}{2}=4$.

Vérification pour $x=-1$ : $e^{1}$ et $e^{-3+4}=e^{1}$. Pour $x=4$ : $e^{16}$ et $e^{12+4}=e^{16}$.

Pour tout réel $x$, $1+e^{-x}>0$ car $e^{-x}>0$ : la fraction de gauche est bien définie.

Comme $e^{x}\neq 0$, on peut multiplier haut et bas par $e^{x}$ : $\dfrac{1}{1+e^{-x}}=\dfrac{e^{x}}{e^{x}\left(1+e^{-x}\right)}$.

On développe le dénominateur : $e^{x}\left(1+e^{-x}\right)=e^{x}+e^{x}e^{-x}$.

Or $e^{x}e^{-x}=e^{0}=1$, donc le dénominateur vaut $e^{x}+1$.

On obtient $\dfrac{1}{1+e^{-x}}=\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}$, ce qu'il fallait démontrer.

Un carré est toujours positif ou nul, donc pour tout réel $x$ : $\left(e^{x/2}-e^{-x/2}\right)^2\geq 0$.

On développe : $\left(e^{x/2}\right)^2-2e^{x/2}e^{-x/2}+\left(e^{-x/2}\right)^2\geq 0$.

On simplifie chaque terme : $\left(e^{x/2}\right)^2=e^{x}$, $\left(e^{-x/2}\right)^2=e^{-x}$ et $e^{x/2}e^{-x/2}=e^{0}=1$.

L'inégalité devient $e^{x}-2+e^{-x}\geq 0$.

On ajoute 2 aux deux membres : $e^{x}+e^{-x}\geq 2$, pour tout réel $x$.