Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Étude de la fonction exponentielle : cours de Première

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

La fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée et vaut 1 en 0 : $\exp' = \exp$ et $\exp(0)=1$ .
Elle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ , donc sa dérivée l'est aussi : elle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
Conséquences : $e^a < e^b \iff a<b$ et $e^a = e^b \iff a=b$ ; on peut comparer et résoudre sans calculatrice.
Sa courbe passe par $(0\ ;\ 1)$ , admet pour tangente en ce point la droite $y=x+1$ et reste au-dessus de cette tangente.
Pour étudier $u\,e^x$ ou $\dfrac{u}{v}$ avec une exponentielle : on dérive, on factorise par $e^x$ , et le signe de la dérivée est celui du facteur restant.

Introduction : pourquoi étudier cette fonction ?

Tu connais déjà la fonction exponentielle : tu sais ce qui la définit et tu as vu comment elle transforme une somme en produit. Dans ce cours, on passe à l'étude de la fonction : quel est son signe, comment varie-t-elle, à quoi ressemble sa courbe, et comment utiliser tout cela pour étudier des fonctions plus compliquées.

Pourquoi s'y attarder ? Parce que cette fonction sert à décrire des phénomènes où une même variation de la variable provoque toujours le même rapport entre les images : c'est ce qu'on appelle une croissance dite « exponentielle »⁴. Le programme de Première rattache d'ailleurs la fonction exponentielle à l'étude des suites géométriques, c'est-à-dire des évolutions successives à taux constant¹, et à la dérivation, qui permet d'étudier les variations des fonctions¹.

À la fin de ce cours, tu sauras :

démontrer que $e^x>0$ pour tout réel $x$ ;
justifier que la fonction est strictement croissante ;
comparer deux exponentielles et résoudre des équations ou inéquations simples ;
tracer la courbe et déterminer sa tangente en $0$ ;
dériver et étudier des fonctions faisant intervenir $e^x$ .

Rappels indispensables

On peut choisir plusieurs points d'entrée pour définir cette fonction : par la propriété de sa dérivée, ou par sa propriété algébrique qui transforme une somme en produit⁴. Le programme laisse d'ailleurs le choix de l'introduction, par exemple en partant de l'équation $y'=y$ ³. Quel que soit le chemin suivi en classe, les propriétés que tu vas utiliser ici sont les mêmes.

Démonstration · Pourquoi $e^{-a}=1/e^a$ ?

On applique la propriété algébrique à $a$ et $-a$ :

$e^a\times e^{-a}=e^{a+(-a)}=e^0=1.$

Le produit de $e^a$ et de $e^{-a}$ vaut $1$ : ces deux nombres sont donc inverses l'un de l'autre. En particulier $e^a\neq 0$ pour tout réel $a$ , sinon le produit vaudrait $0$ et non $1$ .

Le signe de l'exponentielle

Première question quand on étudie une fonction : est-elle positive, négative, ou de signe variable ? Pour l'exponentielle, la réponse est la plus simple possible.

Démonstration · Démonstration

On écrit $x=\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}$ . Avec la propriété qui transforme une somme en produit⁴ :

$e^x=e^{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}}=e^{\frac{x}{2}}\times e^{\frac{x}{2}}=\left(e^{\frac{x}{2}}\right)^2.$

Un carré est toujours positif ou nul, donc $e^x\geq 0$ .

Par ailleurs, on vient de voir que $e^x\times e^{-x}=1$ , donc $e^x\neq 0$ .

Un nombre positif ou nul et non nul est strictement positif : $e^x>0$ .

ExempleSigne d'une expression

Étudions le signe de $f(x)=(3-2x)\,e^x$ . Le facteur $e^x$ est strictement positif pour tout $x$ , donc $f(x)$ a le même signe que $3-2x$ . Or $3-2x>0 \iff x<\dfrac32$ .

$x$		$\dfrac32$
signe de $3-2x$	$+$	$0$	$-$
signe de $e^x$	$+$		$+$
signe de $f(x)$	$+$	$0$	$-$

Dérivée et variations

Démonstration · Démonstration

La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est elle-même⁴ : $\exp'(x)=e^x$ . Or on vient de montrer que $e^x>0$ pour tout $x$ . La dérivée est donc strictement positive sur $\mathbb{R}$ , et une fonction dont la dérivée est strictement positive est strictement croissante.

Le tableau de variations tient en une ligne :

$x$	$-\infty$		$+\infty$
$\exp'(x)=e^x$		$+$
$\exp(x)$		$\nearrow$

La valeur de référence est $\exp(0)=1$ ⁴ : la courbe passe par le point de coordonnées $(0\ ;\ 1)$ . Comme la fonction est croissante, on en déduit que $e^x<1$ pour $x<0$ et que $e^x>1$ pour $x>0$ .

Quelques valeurs de l'exponentielle
x	-2	-1	0	1	2	3
e^x (arrondi)	0,135	0,368	1	2,718	7,389	20,086

Quelques valeurs de l'exponentielle · Valeurs arrondies : on voit la fonction croître et rester positive.

La courbe, sa tangente en 0 et sa convexité

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction exponentielle dans un repère. Ses éléments de lecture sont directement liés à ce qui précède :

elle passe par $(0\ ;\ 1)$ car $\exp(0)=1$ ⁴ ;
elle passe par le point d'abscisse $1$ et d'ordonnée $e\approx 2{,}718$ ⁴ ;
elle est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses car $e^x>0$ ;
elle monte de gauche à droite car la fonction est croissante.

Courbe de l'exponentielle et sa tangente en 0 · La courbe reste au-dessus de sa tangente en 0.

Dériver des expressions contenant $e^x$

Comme $(e^x)'=e^x$ ⁴, les formules de dérivation du chapitre précédent s'appliquent sans nouveauté : tu les combines avec cette dérivée de référence.

Méthode : étudier une fonction avec une exponentielle

DéfinitionEnsemble de définition et dérivabilité
DérivéeCalculer f'(x) avec les règles
FactoriserMettre e^x en facteur
SigneÉtudier le facteur restant (e^x > 0)
TableauVariations et valeurs remarquables

Étudier une fonction avec exp

ExempleÉtude complète de $f(x)=(x-1)\,e^x$

Ensemble de définition. $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ .

Dérivée. On a calculé plus haut : $f'(x)=x\,e^x$ .

Signe. Comme $e^x>0$ , le signe de $f'(x)$ est celui de $x$ :

si $x<0$ , alors $f'(x)<0$ ;
si $x=0$ , alors $f'(0)=0$ ;
si $x>0$ , alors $f'(x)>0$ .

Tableau de variations.

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
signe de $f'(x)$		$-$	$0$	$+$
variations de $f$		$\searrow$	$-1$	$\nearrow$

Valeur du minimum. $f(0)=(0-1)\,e^0=-1$ . La fonction $f$ admet donc un minimum égal à $-1$ , atteint en $x=0$ .

Exponentielle et modélisation : le lien avec les suites

Si cette fonction est au programme, c'est qu'elle décrit des situations concrètes. Elle convient aux phénomènes où, chaque fois que la variable avance du même pas, les images sont multipliées par un même facteur⁴. C'est exactement ce qui se passe pour une suite géométrique : à chaque étape, on multiplie par le même nombre. Avec la fonction exponentielle, ce « pas » peut devenir aussi petit qu'on veut : l'évolution est continue.

Cette idée se généralise. Pour un réel $a>0$ , l'exponentielle de base $a$ associe à tout réel $x$ le réel $a^x$ ; elle prolonge aux réels la fonction qui à l'entier $n$ associe $a^n$ , et c'est donc la version continue d'une suite géométrique⁵. De telles fonctions servent en physique et en biologie quand la rapidité de l'augmentation est proportionnelle à l'effectif présent⁵.

Pièges et réflexes pour l'examen

Exercices corrigés

Exercice 1 Étudier les variations de (x − 1)e^x

★☆☆Environ 10 min

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x-1)\,e^x$ .

Calcule $f'(x)$ et factorise-la par $e^x$ .
Étudie le signe de $f'(x)$ et dresse le tableau de variations de $f$ .
Détermine la valeur minimale de $f$ .

Indice 1

Utilise la formule $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=x-1$ et $v(x)=e^x$ .

Indice 2

Le facteur $e^x$ est toujours strictement positif : seul le facteur restant compte pour le signe.

Voir la correction pas à pas

On pose $u(x)=x-1$ et $v(x)=e^x$ : $u'(x)=1$ et $v'(x)=e^x$ .
On applique $(uv)'=u'v+uv'$ : $f'(x)=e^x+(x-1)e^x$ .
On factorise par $e^x$ : $f'(x)=e^x(1+x-1)=x\,e^x$ .
Comme $e^x>0$ , le signe de $f'(x)$ est celui de $x$ : négatif pour $x<0$ , nul en $0$ , positif pour $x>0$ .
La fonction $f$ est donc décroissante sur $]-\infty\ ;\ 0]$ puis croissante sur $[0\ ;\ +\infty[$ .
Le minimum est atteint en $0$ : $f(0)=(0-1)e^0=-1$ .

La fonction $f$ admet un minimum égal à $-1$ , atteint en $x=0$ . Le réflexe à retenir : dériver, factoriser par $e^x$ , lire le signe du facteur restant.

Exercice 2 Tangente à un quotient avec exponentielle

★★☆Environ 12 min

Soit $h$ la fonction définie sur $]-2\ ;\ +\infty[$ par $h(x)=\dfrac{e^x}{x+2}$ .

Calcule $h'(x)$ et montre que $h'(x)=\dfrac{e^x(x+1)}{(x+2)^2}$ .
Détermine le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $h$ au point d'abscisse $0$ .
Donne l'équation réduite de cette tangente.

Indice 1

Utilise $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u(x)=e^x$ et $v(x)=x+2$ .

Indice 2

Le coefficient directeur de la tangente en $0$ est $h'(0)$ .

Voir la correction pas à pas

On pose $u(x)=e^x$ , $v(x)=x+2$ , donc $u'(x)=e^x$ et $v'(x)=1$ .
On applique la formule : $h'(x)=\dfrac{e^x(x+2)-e^x\times1}{(x+2)^2}$ .
On factorise le numérateur : $e^x(x+2-1)=e^x(x+1)$ , d'où $h'(x)=\dfrac{e^x(x+1)}{(x+2)^2}$ .
On calcule $h'(0)=\dfrac{e^0\times1}{2^2}=\dfrac14$ . Le coefficient directeur est $0{,}25$ .
On calcule $h(0)=\dfrac{e^0}{2}=\dfrac12$ .
L'équation de la tangente est $y=h'(0)(x-0)+h(0)$ , soit $y=\dfrac14x+\dfrac12$ .

La tangente à la courbe de $h$ au point d'abscisse $0$ a pour équation $y=\dfrac14 x+\dfrac12$ , de coefficient directeur $0{,}25$ .

Exercice 3 Une inégalité par l'étude de fonction

★★★Environ 15 min

On considère $k(x)=e^x-x$ pour tout réel $x$ .

Calcule $k'(x)$ et étudie son signe en utilisant la croissance stricte de l'exponentielle.
Dresse le tableau de variations de $k$ et donne son minimum.
En déduire que pour tout réel $x$ , $e^x>x$ .

Indice 1

Écris $1=e^0$ pour comparer $e^x$ et $1$ .

Indice 2

Si le minimum de $k$ est strictement positif, alors $k(x)>0$ pour tout $x$ .

Voir la correction pas à pas

La fonction $k$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $k'(x)=e^x-1$ .
On résout $k'(x)>0$ : $e^x>1$ , soit $e^x>e^0$ . L'exponentielle étant strictement croissante, cela équivaut à $x>0$ .
Donc $k'(x)<0$ si $x<0$ , $k'(0)=0$ et $k'(x)>0$ si $x>0$ .
La fonction $k$ décroît sur $]-\infty\ ;\ 0]$ puis croît sur $[0\ ;\ +\infty[$ .
Son minimum est $k(0)=e^0-0=1$ .
Pour tout $x$ , $k(x)\geq1>0$ , c'est-à-dire $e^x-x>0$ , donc $e^x>x$ .

La fonction $k$ a pour minimum $1$ en $x=0$ , ce qui prouve que $e^x>x$ pour tout réel $x$ . Ce type de raisonnement (étudier la différence de deux expressions) sert à démontrer beaucoup d'inégalités.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi l'exponentielle ne s'annule-t-elle jamais ?

Parce que $e^x\times e^{-x}=e^0=1$ . Si $e^x$ valait $0$ , le produit vaudrait $0$ et non $1$ . Cette propriété vient de la relation qui transforme une somme en produit⁴. Elle sert très souvent pour simplifier les équations de la forme $A(x)\,e^x=0$ .

Comment savoir si je dois factoriser par $e^x$ ?

Dès que la dérivée contient plusieurs termes avec $e^x$ , factorise. Tu obtiens un produit dont un facteur, $e^x$ , est strictement positif : le signe de la dérivée est alors celui de l'autre facteur. C'est presque toujours la bonne démarche pour les fonctions du type $(ax+b)e^x$ .

À quoi sert la fonction exponentielle en pratique ?

Elle décrit les situations où, à chaque pas identique sur la variable, les images sont multipliées par le même facteur⁴, comme une croissance de population⁵ ou un refroidissement². Elle est liée aux suites géométriques, dont elle est la version continue⁵.

Qu'est-ce qui peut tomber à l'examen sur ce chapitre ?

Les questions typiques sont : dériver une fonction contenant $e^x$ ; étudier son signe et dresser son tableau de variations ; déterminer l'équation d'une tangente ; résoudre une équation ou une inéquation avec des exponentielles ; démontrer une inégalité par l'étude d'une fonction auxiliaire comme $e^x-x-1$ .

L'exponentielle est-elle la seule fonction égale à sa dérivée ?

Parmi les fonctions qui valent $1$ en $0$ , oui : c'est ce qui la définit⁴. D'autres fonctions, comme $2e^x$ , sont égales à leur dérivée mais valent $2$ en $0$ . La condition $\exp(0)=1$ fixe donc le facteur multiplicatif.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques — Fonction exponentielle (Première générale, spécialité) · Ministère de l'Éducation nationale (Éduscol)

Programme de mathématiques — Fonction exponentielle (Première générale, spécialité), Ministère de l'Éducation nationale (Éduscol). Consulté le 6 novembre 2026.
Édubase — Un nouveau modèle : la fonction exponentielle, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Quelques introductions possibles à la fonction exponentielle, Académie de Strasbourg. Consulté le 6 novembre 2026.
Fonction exponentielle, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Exponentielle de base a, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

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Dérivée et variations

La courbe, sa tangente en 0 et sa convexité

Dériver des expressions contenant $e^x$

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Exercice 1 Étudier les variations de (x − 1)e^x

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