Fonction exponentielle : exercices corrigés de Première

Au numérateur, $e^{5}\times e^{-2}=e^{5+(-2)}=e^{3}$.

On a donc $A=\dfrac{e^{3}}{e^{1}}$.

Comme $\dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$, on obtient $A=e^{3-1}=e^{2}$.

Avec la calculatrice, $e^2\approx 7{,}389$.

La fonction est une somme de trois termes : $3e^x$, $-2x$ et $1$.

$(3e^x)'=3e^x$ car $(e^x)'=e^x$ ; $(-2x)'=-2$ ; $(1)'=0$.

Ainsi $f'(x)=3e^x-2$.

En $0$ : $f'(0)=3e^0-2=3\times 1-2=1$.

On a $f(0)=e^0=1$.

Comme $f'=f$, on a $f'(0)=e^0=1$.

L'équation est $y=f'(0)(x-0)+f(0)=1\times x+1$, soit $y=x+1$.

On approche $e^{0{,}1}$ par $0{,}1+1=1{,}1$.

On a $f(1)=e^1=e$.

Comme $f'=f$, on a $f'(1)=e$.

L'équation est $y=f'(1)(x-1)+f(1)=e(x-1)+e$.

On développe : $y=ex-e+e=ex$.

L'ordonnée à l'origine est nulle : la tangente passe par l'origine du repère.

Avec $a=x$ et $b=-x$ : $e^x\times e^{-x}=e^{x+(-x)}=e^0=1$.

Un produit égal à $1$ n'a aucun facteur nul : donc $e^x\neq 0$.

Ensuite $e^x=e^{x/2+x/2}=e^{x/2}\times e^{x/2}=\left(e^{x/2}\right)^2$, un carré, donc $e^x\geqslant 0$.

Positif ou nul et non nul : $e^x>0$ pour tout réel $x$.

Comme la dérivée de $\exp$ est $\exp$ ⁴, elle est strictement positive : la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

On pose $u(x)=x+1$ et $v(x)=e^x$ ; alors $u'(x)=1$ et $v'(x)=e^x$.

$f'(x)=1\times e^x+(x+1)e^x$.

On factorise : $f'(x)=e^x\,(1+x+1)=(x+2)e^x$.

En $1$ : $f'(1)=(1+2)e^1=3e$.

Avec $e\approx 2{,}71828$ ⁴, $3e\approx 8{,}155$.

L'exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (résultat de l'exercice sur la positivité) : elle prend deux fois la même valeur seulement en deux nombres égaux.

L'équation équivaut donc à $2x-1=x+3$.

On regroupe : $2x-x=3+1$, soit $x=4$.

Vérification : $e^{2\times4-1}=e^7$ et $e^{4+3}=e^7$.

$g'(x)=e^x-1$.

$g'(x)=0 \iff e^x=1=e^0 \iff x=0$.

Si $x>0$, alors $e^x>e^0=1$ par croissance, donc $g'(x)>0$ ; si $x<0$, alors $e^x<1$, donc $g'(x)<0$.

$g$ est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et croissante sur $[0\,;+\infty[$.

Le minimum est atteint en $0$ : $g(0)=e^0-0=1$.

$u'(x)=2$ et $v'(x)=e^x$, donc $f'(x)=2e^x+(2x-3)e^x$.

On factorise : $f'(x)=e^x(2+2x-3)=(2x-1)e^x$.

Comme $e^x>0$, $f'(x)$ a le signe de $2x-1$ : négatif pour $x<\frac12$, nul en $\frac12$, positif pour $x>\frac12$.

$f$ est donc décroissante sur $]-\infty\,;\frac12]$ et croissante sur $[\frac12\,;+\infty[$.

Le minimum est $f\left(\frac12\right)=\left(2\times\frac12-3\right)e^{1/2}=-2e^{1/2}$.

Avec $e^{1/2}\approx 1{,}6487$, on obtient $-2e^{1/2}\approx -3{,}297$.

$f'(x)=(2x-2)e^x+(x^2-2x)e^x$.

On factorise par $e^x$ : $f'(x)=e^x(2x-2+x^2-2x)=(x^2-2)e^x$.

Comme $e^x>0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $x^2-2=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$.

Ce trinôme est positif pour $x<-\sqrt2$ et pour $x>\sqrt2$, négatif entre les deux racines.

$f$ est donc croissante sur $]-\infty\,;-\sqrt2]$, décroissante sur $[-\sqrt2\,;\sqrt2]$, puis croissante sur $[\sqrt2\,;+\infty[$.

En $\sqrt2$, la fonction passe de la décroissance à la croissance : c'est un minimum local, de valeur $f(\sqrt2)=(2-2\sqrt2)e^{\sqrt2}$.

Avec $2-2\sqrt2\approx-0{,}82843$ et $e^{\sqrt2}\approx4{,}11325$, on obtient $f(\sqrt2)\approx-3{,}40753$, soit $f(\sqrt2)\approx-3{,}408$ à $10^{-3}$ près.