Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Étude de la fonction exponentielle : fiche de 1re spé maths

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

La fonction exponentielle, notée exp, est égale à sa propre dérivée et vaut 1 en 0 : $\exp' = \exp$ et $\exp(0)=1$ .
Elle transforme une somme en produit : $\exp(a+b)=\exp(a)\times\exp(b)$ .
Elle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ , donc sa dérivée l'est aussi : elle est strictement croissante.
Sa tangente en 0 a pour équation $y=x+1$ .
Le nombre $e=\exp(1)\approx 2{,}71828$ permet d'écrire $\exp(x)=e^x$ .

Ce qu'il faut savoir sur la fonction exponentielle

Signe et sens de variation

Démonstration · Pourquoi l'exponentielle est strictement positive

Avec la propriété somme-produit : $\exp(x)=\exp\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}\right)=\left(\exp\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2$ . Un carré est positif ou nul. Or $\exp(x)$ n'est jamais nul (voir plus haut). Donc $\exp(x)>0$ .

PropriétéVariations

Comme $\exp'=\exp$ et que $\exp>0$ , la dérivée est strictement positive sur $\mathbb{R}$ . La fonction exponentielle est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

$x$	$-\infty$		$+\infty$
$\exp'(x)$		$+$
$\exp(x)$		croissante

Méthodes à connaître

Les questions qu'on se pose

Pourquoi l'exponentielle est-elle toujours croissante ?

Sa dérivée est elle-même ⁴. Comme elle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ , la dérivée l'est aussi, ce qui donne une fonction strictement croissante.

Quelle différence entre $\exp(x)$ et $e^x$ ?

Aucune. On note $e$ la valeur de la fonction en 1, environ $2{,}71828$ , et la notation $e^x$ désigne $\exp(x)$ ⁴. La notation puissance rend les règles de calcul plus faciles à retenir.

Quelles formules faut-il connaître par cœur ?

Retiens $\exp'=\exp$ , $\exp(0)=1$ , $e^{a+b}=e^a e^b$ et $e^{-a}=\dfrac{1}{e^a}$ . Le reste (signe, variations, tangente en 0) se retrouve avec ces quatre résultats.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques — Fonction exponentielle (Première générale, spécialité) · Ministère de l'Éducation nationale (Éduscol)

Programme de mathématiques — Fonction exponentielle (Première générale, spécialité), Ministère de l'Éducation nationale (Éduscol). Consulté le 6 novembre 2026.
Édubase — Un nouveau modèle : la fonction exponentielle, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Quelques introductions possibles à la fonction exponentielle, Académie de Strasbourg. Consulté le 6 novembre 2026.
Fonction exponentielle, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Exponentielle de base a, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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