Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
La fonction exponentielle coïncide avec sa fonction dérivée, et l'image de 0 est 1 4.
Elle transforme une somme en produit : exp(a+b)=exp(a)×exp(b)4.
Le nombre e désigne l'image de 1 par l'exponentielle ; il vaut environ 2,71828 4.
Comme exp′=exp, on dérive les expressions contenant exp avec les règles usuelles de dérivation du cours de Première.
Avant de commencer
Ce quiz teste ce que tu dois savoir sur la fonction exponentielle en Première : sa définition, sa relation avec les sommes et les produits, sa dérivée et son utilisation dans des calculs de dérivées et de tangentes. Les questions mêlent des vrai-faux, des choix uniques ou multiples et deux calculs numériques.
Quiz
15 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
L'exponentielle est la fonction qui coïncide avec sa dérivée et dont l'image de 0 est 1 4. La deuxième proposition change la valeur en 0 : avec exp(0)=0, on obtiendrait la fonction nulle. La troisième décrit x↦x. La quatrième décrit une fonction de type exp(−x), dont la dérivée est l'opposée de la fonction.
L'image de 0 par l'exponentielle est 1 4. On confond parfois avec 0, par analogie avec x↦x ; et e est l'image de 1, pas de 0 4.
La fonction exponentielle transforme une somme en produit 4 : exp(a+b)=exp(a)×exp(b). La première réponse est la confusion la plus fréquente. Prends a=b=0 : exp(0)+exp(0)=2 alors que exp(0)=1.
Puisque l'exponentielle transforme une somme en produit 4, exp(x)×exp(−x)=exp(x+(−x))=exp(0)=14. On en déduit que exp(−x)=exp(x)1. Le produit ne vaut pas 0 : un produit nul imposerait un facteur nul, ce qui contredit ce résultat.
Le nombre e est l'image de 1 par la fonction exponentielle, et vaut environ 2,71828 4. Le nombre dérivé de exp en 0 vaut exp(0)=1, car exp′=exp4, et non 2,71828. Quant à exp(2), c'est un autre nombre.
C'est faux : c'est un produit, et non une somme, qui apparaît 4. Un contre-exemple suffit : avec a=b=0, le membre de gauche vaut 1+1=2 et le membre de droite exp(0)=1.
Par la propriété qui transforme une somme en produit 4, exp(2)×exp(3)=exp(2+3)=exp(5). Le quotient vaut donc exp(5)exp(5)=1. L'erreur serait de calculer chaque terme séparément avec des valeurs arrondies.
On écrit exp(x+4)=exp(x)×exp(4) car l'exponentielle transforme une somme en produit 4. Le quotient devient exp(4) (on peut diviser par exp(x) car il n'est jamais nul, comme le montre exp(x)exp(−x)=1). Les autres réponses oublient que la somme dans l'exposant devient un produit.
C'est faux. On a exp(x)×exp(−x)=exp(0)=14 ; si exp(x) valait 0, ce produit vaudrait 0 et non 1. L'exponentielle ne s'annule donc jamais.
Comme exp′=exp4, f′(x)=3exp(x)+1. En 0, f′(0)=3exp(0)+1=3×1+1=4. Les erreurs tentantes : oublier la dérivée de x, qui vaut 1, ou prendre exp(0)=0.
On utilise la dérivée d'un produit (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=x et v(x)=exp(x), sachant que exp′=exp4 : g′(x)=1×exp(x)+xexp(x)=(1+x)exp(x). Répondre xexp(x) revient à oublier de dériver le facteur x ; répondre exp(x) revient à oublier le second terme du produit.
La tangente en a=0 a pour équation y=f′(0)(x−0)+f(0). Ici f(0)=exp(0)=1 et f′(0)=exp(0)=1, car exp′=exp et exp(0)=14. On obtient y=x+1. La réponse y=ex+1 confond le coefficient directeur en 0 (qui vaut 1) avec l'image de 1.
Comme l'exponentielle transforme une somme en produit 4 : exp(2x)=exp(x+x)=exp(x)×exp(x), donc la première est vraie ; la deuxième découle de exp(x)exp(−x)=1 ; la quatrième vient de exp(x+1)=exp(x)×exp(1) avec exp(1)=e4. La troisième est fausse : elle remplace le produit par une somme.
On a h′(x)=exp(x)−1 car exp′=exp4. L'exponentielle ne s'annule jamais et vaut 1 en 0 ; elle est donc strictement positive, et sa dérivée, qui est elle-même, aussi : exp est strictement croissante. Ainsi exp(x)>1 si x>0 et exp(x)<1 si x<0, d'où h′(x)>0 pour x>0 et h′(x)<0 pour x<0. Dire « toujours positif » oublie le terme −1 qui change le signe.
On regroupe les exposants : exp(3x+1)×exp(−3x)=exp(3x+1−3x)=exp(1)=e4. La réponse 1 serait juste si l'exposant total valait 0 ; ici il reste le +1. Les deux dernières réponses multiplient les exposants ou les additionnent mal.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi l'exponentielle transforme-t-elle une somme en produit ?
C'est une propriété de la fonction : elle transforme une somme en produit 4. Elle sert à modéliser des phénomènes où un même écart sur la variable entraîne toujours le même rapport entre les images 4. Concrètement, passer de x à x+1 multiplie toujours la valeur par e.
Comment savoir si je dois utiliser $\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$ dans un exercice ?
Dès que tu vois un produit ou un quotient d'exponentielles, regarde si tu peux regrouper les exposants : exp(a)×exp(b)=exp(a+b) et exp(b)exp(a)=exp(a−b). Pour une dérivée, utilise plutôt exp′=exp4 avec les règles de dérivation (somme, produit, quotient) vues en Première.
Faut-il connaître une valeur approchée de $e$ ?
Il suffit de savoir que e est l'image de 1 par l'exponentielle et qu'il vaut environ 2,71828 4. Dans la plupart des exercices, on garde e ou exp(…) sous forme exacte et on ne donne une valeur approchée qu'à la fin si on le demande.