Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Fonctions t ↦ exp(kt) et modèles exponentiels : cours de 1re

Publié le 7 novembre 2026 · Mis à jour le 7 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Pour un réel $k$ , la fonction $f : t \mapsto \exp(kt)$ est dérivable et $f'(t)=k\,\exp(kt)$ : sa dérivée est proportionnelle à elle-même.
Elle est strictement positive, vaut $1$ en $t=0$ , croît si $k>0$ et décroît si $k<0$ .
Pour $t$ entier, $\exp(kt)=(e^{k})^{t}$ : on retrouve une suite géométrique de raison $e^{k}$ , et la fonction en est la version continue.
Un modèle exponentiel s'écrit $f(t)=A\exp(kt)$ : $A$ est la valeur initiale, $k$ règle la vitesse de croissance ( $k>0$ ) ou de décroissance ( $k<0$ ).
Pour trouver un temps (doublement, demi-vie), on résout une équation $\exp(kt)=c$ par balayage à la calculatrice, par un algorithme de seuil ou grâce aux variations de la fonction.

Pourquoi étudier t ↦ exp(kt)

Tu connais déjà la fonction exponentielle et ses propriétés algébriques. Dans ce chapitre, tu vas lui donner un paramètre : au lieu de $\exp(t)$ , tu étudies $\exp(kt)$ , où $k$ est un nombre réel fixé. Ce petit paramètre change beaucoup de choses : il permet de régler la vitesse d'une évolution, et même d'en changer le sens.

Les programmes présentent la fonction exponentielle comme un outil de modélisation. Une ressource d'Éduscol la relie à la loi de refroidissement : les élèves s'approprient cette fonction à partir d'une expérience de refroidissement de l'eau ¹. D'autres ressources montrent que la radioactivité se modélise aussi par une fonction exponentielle ³.

Les ressources d'accompagnement de Première expliquent qu'il existe des grandeurs dont l'évolution est discrète, décrites par des suites, et des fonctions qui permettent de passer à un modèle continu grâce aux exponentielles ². Tout le chapitre tient dans ce passage : de la suite géométrique, qu'on évalue à des instants entiers, à la fonction exponentielle, qu'on évalue à tout instant réel.

À la fin du chapitre, tu sauras :

dériver une fonction de la forme $t \mapsto \exp(kt)$ ou $t \mapsto A\exp(kt)$ ;
dire si elle croît ou décroît, et tracer l'allure de sa courbe ;
relier cette fonction à une suite géométrique ;
construire un modèle exponentiel à partir de deux données et l'utiliser pour répondre à une question.

La fonction t ↦ exp(kt) : définition et premières propriétés

Démonstration · Pourquoi exp(k(t+s)) = exp(kt) × exp(ks)

On sait que $\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$ pour tous réels $a$ et $b$ . Avec $a=kt$ et $b=ks$ :

$\exp(k(t+s))=\exp(kt+ks)=\exp(kt)\times\exp(ks).$

Pour l'inverse, on prend $a=kt$ et $b=-kt$ : $\exp(kt)\times\exp(-kt)=\exp(0)=1$ , donc $\exp(-kt)=\dfrac{1}{\exp(kt)}$ .

Dérivée et sens de variation

Démonstration · Démonstration

La fonction $f$ est de la forme $t \mapsto \exp(u(t))$ avec $u(t)=kt$ . On dérive une composée de ce type avec la formule $\left(\exp(u)\right)'=u'\exp(u)$ . Ici $u'(t)=k$ , donc $f'(t)=k\exp(kt)$ .

PropriétéSens de variation

Comme $\exp(kt)>0$ , le signe de $f'(t)=k\exp(kt)$ est celui de $k$ .

Valeur de $k$	Signe de $f'$	Variations de $f$
$k>0$	positif	strictement croissante
$k=0$	nul	constante, égale à $1$
$k<0$	négatif	strictement décroissante

Courbes de t ↦ exp(0,5t) et t ↦ exp(−0,5t) · Le signe de k décide du sens de variation ; les deux courbes passent par (0 ; 1).

Lien avec les suites géométriques

Les ressources d'Éduscol proposent de comparer une suite géométrique, par exemple $u(n)=2^n$ pour $n$ entier naturel, avec une fonction exponentielle définie pour tout $t$ réel, et d'étudier le passage de l'une à l'autre ². Voyons pourquoi les deux se rejoignent.

Démonstration · Démonstration

Calculons le rapport de deux termes consécutifs :

$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\exp(k(n+1))}{\exp(kn)}=\exp(kn+k-kn)=\exp(k).$

Ce rapport ne dépend pas de $n$ : la suite est géométrique de raison $\exp(k)$ . Comme $u_0=\exp(0)=1$ , on obtient $u_n=\exp(k)^n$ .

La raison $q=e^k$ est supérieure à $1$ si $k>0$ (la suite croît), comprise entre $0$ et $1$ si $k<0$ (la suite décroît). On retrouve exactement le sens de variation vu plus haut : la suite est la fonction observée seulement aux instants $0, 1, 2, 3, \dots$ .

Ce que la fonction apporte en plus, c'est qu'elle donne des valeurs à tous les instants, y compris entre deux entiers. Dans l'exemple d'Éduscol, la valeur de départ, appelée nombre d'initiateurs, correspond à l'ordonnée à l'origine de la fonction ². C'est le $A$ de notre écriture $A\exp(kt)$ .

Suiteu(n) = A·q^n pour n entier, évolution discrète
RaisonOn écrit q = exp(k), soit k = ln q
Fonctionf(t) = A·exp(kt) pour tout t réel
Modèle continuf(n) = u(n) aux entiers, valeurs aussi entre eux

De la suite géométrique à la fonction exponentielle

Les modèles exponentiels : croissance et décroissance

Cette propriété explique que le même type de fonction apparaisse dans des domaines très différents. Une ressource d'Éduscol sur la radioactivité cite d'autres domaines du programme où une modélisation par fonction exponentielle est utilisée : le circuit électrique « RC » et la cinétique chimique d'ordre 1 ³. Le refroidissement d'un liquide, lui, sert d'expérience d'introduction à la fonction exponentielle ¹.

MéthodeTrouver k et A à partir de deux données

On sait que $f(0)=A$ et on connaît une autre valeur $f(t_1)=y_1$ avec $t_1\neq0$ .

La valeur initiale donne $A$ .
On écrit $A\exp(kt_1)=y_1$ , donc $\exp(kt_1)=\dfrac{y_1}{A}$ .
On note $\ln\!\left(\dfrac{y_1}{A}\right)$ l'unique réel dont l'exponentielle vaut $\dfrac{y_1}{A}$ (la calculatrice en donne une valeur approchée ; on peut aussi la trouver par balayage). Alors $kt_1=\ln\!\left(\dfrac{y_1}{A}\right)$ , d'où $k=\dfrac{1}{t_1}\ln\!\left(\dfrac{y_1}{A}\right)$ .
On vérifie le signe : $k>0$ si $y_1>A$ (croissance), $k<0$ si $y_1<A$ (décroissance).

Temps de doublement, demi-vie et résolution d'équations

Une question typique de modélisation : au bout de combien de temps la grandeur a-t-elle doublé, ou été divisée par deux ? Dans la ressource Éduscol sur la radioactivité, une simulation avec un programme Python permet de valider ce modèle exponentiel ³. Ici nous allons surtout apprendre à résoudre ces questions par le calcul.

Utiliser un modèle exponentiel avec esprit critique

Savoir calculer ne suffit pas : il faut aussi savoir ce qu'un modèle permet de dire. Les ressources d'Éduscol insistent sur la compréhension et l'interrogation critique des modèles étudiés ². Voici une démarche de rédaction qui fonctionne pour la plupart des sujets.

Exercices corrigés

Exercice 1 Population de bactéries

★☆☆Environ 8 min

Une culture contient $500$ bactéries à l'instant $t=0$ (en heures). Son effectif est modélisé par $N(t)=500\exp(0{,}2\,t)$ .

Calcule l'effectif prévu pour $t=5$ .
Dérive $N$ et déduis-en le sens de variation.
Exprime $N'(t)$ en fonction de $N(t)$ .

Indice 1

Pour $t=5$ , l'argument de l'exponentielle vaut $0{,}2\times5$ .

Indice 2

$N'(t)=500\times0{,}2\times\exp(0{,}2t)$ .

Voir la correction pas à pas

On remplace $t$ par $5$ : $N(5)=500\exp(0{,}2\times5)=500\exp(1)=500e\approx 1\,359$ bactéries.
On dérive : $N'(t)=500\times0{,}2\times\exp(0{,}2t)=100\exp(0{,}2t)$ .
Comme $\exp(0{,}2t)>0$ , on a $N'(t)>0$ pour tout $t$ : $N$ est strictement croissante.
On remarque que $N'(t)=0{,}2\times500\exp(0{,}2t)=0{,}2\,N(t)$ : la vitesse de croissance est égale à $20\,\%$ de l'effectif.

Au bout de $5$ heures, la culture compte environ $1\,359$ bactéries, et sa croissance est proportionnelle à l'effectif, avec le coefficient $0{,}2$ .

Exercice 2 Temps de doublement

★★☆Environ 10 min

Un capital suit le modèle $C(t)=2\,000\exp(0{,}05\,t)$ , avec $t$ en années.

Calcule, au dixième d'année près, le temps nécessaire pour que le capital double.

Indice 1

Cherche $t$ tel que $C(t)=4\,000$ .

Indice 2

Après avoir divisé par $2\,000$ , prends le logarithme népérien des deux membres.

Voir la correction pas à pas

On doit résoudre $2\,000\exp(0{,}05t)=4\,000$ .
On divise par $2\,000$ : $\exp(0{,}05t)=2$ .
On prend le logarithme népérien : $0{,}05\,t=\ln 2$ .
On divise par $0{,}05$ : $t=\dfrac{\ln 2}{0{,}05}\approx\dfrac{0{,}6931}{0{,}05}\approx13{,}9$ .

Le capital double en environ $13{,}9$ ans. Ce temps ne dépend pas du capital de départ : il vaut toujours $\dfrac{\ln2}{0{,}05}$ .

Exercice 3 Trouver le coefficient d'une décroissance

★★★Environ 12 min

Une quantité décroît selon $Q(t)=Q_0\exp(kt)$ , avec $t$ en jours. On mesure $Q(0)=80$ et $Q(6)=20$ .

Détermine $k$ (arrondi au millième).
Calcule la demi-vie, c'est-à-dire la durée au bout de laquelle la quantité est divisée par $2$ (arrondie au dixième).

Indice 1

$Q_0=Q(0)$ .

Indice 2

Pour la demi-vie, résous $\exp(kT)=\frac12$ .

Voir la correction pas à pas

On a $Q_0=80$ et l'équation $80\exp(6k)=20$ .
On obtient $\exp(6k)=\dfrac{20}{80}=0{,}25$ , donc $6k=\ln0{,}25=-\ln4$ .
Donc $k=-\dfrac{\ln 4}{6}\approx-0{,}231$ .
Pour la demi-vie : on cherche $T$ tel que $\exp(kT)=\dfrac12$ . Comme $\exp(6k)=\dfrac14=\left(\dfrac12\right)^2$ , on a $\left(\exp(3k)\right)^2=\left(\dfrac12\right)^2$ , donc $\exp(3k)=\dfrac12$ (une exponentielle est positive) et $T=3$ .
Vérification : en $3$ jours, $80\exp(-3\times0{,}231)\approx 40$ .

Le coefficient vaut environ $-0{,}231$ et la demi-vie est de $3$ jours : la quantité est divisée par $2$ tous les $3$ jours, donc par $4$ en $6$ jours, ce qui est cohérent avec les données.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi la fonction exp(kt) ne vaut-elle jamais zéro ?

Parce que l'exponentielle est strictement positive pour tout réel. Dans $\exp(kt)$ , l'argument $kt$ est un réel comme un autre, donc le résultat est toujours strictement positif. Pour $k<0$ , la courbe se rapproche de l'axe des abscisses quand $t$ augmente, sans le toucher.

Comment savoir si un phénomène est exponentiel ?

Regarde les rapports entre valeurs à des instants régulièrement espacés. S'ils sont constants (même facteur à chaque pas), le modèle est exponentiel. Si ce sont les différences qui sont constantes, le modèle est affine. Tu peux aussi vérifier que la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité.

Quelle est la différence entre une suite géométrique et une fonction exponentielle ?

Une suite géométrique donne des valeurs aux instants entiers $0, 1, 2, \dots$ : c'est un modèle discret. La fonction $t\mapsto A\exp(kt)$ donne une valeur à tout instant réel : c'est un modèle continu. Elles coïncident aux entiers quand la raison de la suite est $\exp(k)$ ².

Que faire quand on me demande la valeur de k sans me donner ln ?

Écris l'équation $\exp(kt_1)=y_1/A$ et résous-la numériquement : tableau de valeurs à la calculatrice, balayage par un petit programme Python, ou encadrement. Si le logarithme népérien est connu, il donne la valeur exacte en une ligne. Dans les deux cas, indique le raisonnement et vérifie le résultat en remplaçant dans l'équation.

Un modèle exponentiel peut-il décrire une évolution sur très longtemps ?

Rarement. Une croissance exponentielle n'a pas de plafond, ce qui est irréaliste sur le long terme. Les ressources d'accompagnement invitent d'ailleurs à discuter les limites du modèle choisi ². À l'examen, tu peux conclure que le modèle n'est valable que dans un domaine de temps précis.

Sources

Édubase — Un nouveau modèle : la fonction exponentielle, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources d'accompagnement — Mathématiques Première générale (modèles exponentiels), Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources d'accompagnement — Radioactivité et exponentielle (modèles continus), Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.

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Fonctions t ↦ exp(kt) et modèles exponentiels : cours de 1re

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Pourquoi étudier t ↦ exp(kt)

La fonction t ↦ exp(kt) : définition et premières propriétés

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Temps de doublement, demi-vie et résolution d'équations

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Exercice 1 Population de bactéries

Exercice 2 Temps de doublement

Exercice 3 Trouver le coefficient d'une décroissance

Quiz

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