Quiz : fonctions t ↦ exp(kt) et modèles exponentiels (1re)

Quiz

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1. Dans une activité de classe classique, à quel phénomène physique relie-t-on la fonction exponentielle, au travers d'une expérience avec de l'eau ?

   La loi de refroidissementLa chute libre d'un objetLa réfraction de la lumièreLa dilatation d'un métal
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2. Vrai ou faux : la désintégration radioactive d'un échantillon est un phénomène que l'on modélise par une fonction exponentielle.

   VraiFaux
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3. On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u(n)=2^n$. Quelle est sa nature ?

   Arithmétique de raison 2Géométrique de raison 2Arithmétique de raison 1Géométrique de raison 1/2
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4. Avec $u(n)=2^n$, calcule $u(5)$.

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5. Soit $f(t)=\exp(kt)$ avec $k$ un réel. Que vaut $f(0)$ ?

   01$k$$\exp(k)$
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6. Une population est modélisée par $P(t)=3\,\exp(-0{,}5\,t)$ avec $t\ge 0$. Que représente le nombre $3$ ?

   La vitesse de décroissanceLa valeur de $P$ en $t=0$La valeur de $P$ pour $t$ très grandLa dérivée de $P$ en $t=0$
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7. On admet que la dérivée de $f(t)=C\,e^{kt}$ est $f'(t)=kC\,e^{kt}$. Avec $C>0$, quelle condition sur $k$ assure que $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$ ?

   $k>0$$k=0$$k<0$Aucune : $f$ est toujours croissante
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8. Calcule $f(10)$ pour $f(t)=200\,\exp(0{,}03\,t)$. Donne le résultat arrondi au centième.

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9. Vrai ou faux : pour $k=-2$, la fonction $t\mapsto \exp(-2t)$ prend des valeurs négatives lorsque $t$ est grand.

   VraiFaux
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10. Quelles fonctions sont de la forme $t\mapsto C\,e^{kt}$ avec $C$ et $k$ réels ? (plusieurs réponses)

    Plusieurs réponses possibles.

    $t\mapsto 5\,e^{0{,}2t}$$t\mapsto 5t^{2}$$t\mapsto 4\,e^{-t}$$t\mapsto 3+e^{t}$
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11. Pour $f(t)=\exp(0{,}4\,t)$, que vaut le rapport $\dfrac{f(t+1)}{f(t)}$ ?

    $\exp(0{,}4)$$0{,}4$$\exp(0{,}4\,t)$$1{,}4$
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12. On cherche $k$ tel que la fonction $f(t)=\exp(kt)$ vérifie $f(2)=\exp(1)$. Quelle est la valeur de $k$ ?

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13. Avec $u(n)=2^n$, quel est le plus petit entier $n$ tel que $u(n)>1000$ ?

    Ta réponse
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14. Quel est l'intérêt de passer d'une suite géométrique à une fonction exponentielle pour modéliser un phénomène ?

    Passer d'une évolution par étapes à un modèle continuRendre le modèle forcément exactSupprimer toute valeur initialeRemplacer le temps par un nombre entier
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15. Dans quels domaines retrouve-t-on une modélisation par une fonction exponentielle d'après les ressources d'accompagnement ? (plusieurs réponses)

    Plusieurs réponses possibles.

    Le circuit électrique « RC »La cinétique chimique d'ordre 1La radioactivitéLa trajectoire d'un ballon lancé en l'air
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16. Un élève modélise une population de bactéries par $P(t)=100\,e^{0{,}3t}$ et affirme que le modèle reste valable pour $t=200$. Quelle remarque est la plus pertinente ?

    Le modèle est toujours valable car l'exponentielle est continueUn modèle a des limites : la population ne peut pas croître indéfiniment faute de place et de nourritureLe modèle est faux dès que $t>0$Il faut remplacer $k$ par une valeur négative
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