Fonctions t ↦ exp(kt) et modèles exponentiels : fiche de 1re
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une fonction f:t↦Cekt modélise une évolution continue où la variation est proportionnelle à la valeur.
Sa dérivée est f′(t)=kf(t) : le signe de k donne le sens de variation (croissante si k>0, décroissante si k<0).
Quand t augmente de 1, la valeur est multipliée par ek : on retrouve le comportement d'une suite géométrique.
La constante C est la valeur initiale, c'est-à-dire f(0).
À quoi servent ces fonctions ?
Pour décrire une grandeur qui évolue au cours du temps, on dispose de deux outils. Les suites décrivent une évolution par étapes (jour après jour, année après année). Les fonctions décrivent une évolution continue, où l'on peut regarder la grandeur à n'importe quel instant t2.
La fonction exponentielle est liée à la loi de refroidissement : on l'aborde par une expérience où de l'eau refroidit 1. Elle sert aussi à modéliser la radioactivité 3, et d'autres phénomènes comme le circuit électrique « RC » ou la cinétique chimique d'ordre 1 3.
Les formules à connaître
Méthode et exemple
Questions flash
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On dérive une fonction composée : (ekt)′=kekt. La réponse ekt oublie le facteur k, qui vient de la dérivée de kt. Les autres ne correspondent à aucune règle de dérivation.
Sa dérivée vaut kCekt ; avec C>0 et ekt>0, elle a le signe de k, donc négatif. On pourrait croire qu'une exponentielle croît toujours, mais c'est vrai seulement pour k>0.
On a f′(t)=−0,1f(t) et f(0)=200, donc f′(0)=−0,1×200=−20. Donner 20 oublie le signe de k.
f(t+1)/f(t)=ek(t+1)/ekt=ek, un nombre indépendant de t : c'est ce qui rend les valeurs régulièrement espacées géométriques. Répondre k confond la raison avec le coefficient de l'exposant.
Les questions qu'on se pose
Quelle différence entre une suite géométrique et une fonction exponentielle ?
La suite géométrique décrit une évolution discrète, avec des valeurs aux entiers seulement ; la fonction exponentielle donne un modèle continu, défini pour tout t réel 2. Elles se rejoignent : f(0),f(1),f(2),… est géométrique de raison ek.
Comment trouver $k$ à partir d'un énoncé ?
Si l'énoncé donne la valeur de la grandeur à deux instants, par exemple f(0)=C et f(1), tu écris f(1)=Cek, donc ek=f(1)/C. Avec la fonction ln, quand elle est au programme de ta classe, tu en déduis k. Sinon, l'énoncé fournit directement k.