Fonctions exp(kt) et modèles exponentiels : exercices de 1re

Pour $t=0$, l'exposant vaut $0{,}5\times 0=0$, donc $f(0)=e^{0}=1$.

Pour $t=2$, l'exposant vaut $0{,}5\times 2=1$, donc $f(2)=e^{1}=e$.

Pour $t=4$, l'exposant vaut $0{,}5\times 4=2$, donc $f(4)=e^{2}$.

À la calculatrice, $e^{2}\approx 7{,}389056$.

Ici $A=5$ et $k=-0{,}3$, donc $g'(t)=-0{,}3\times 5\,e^{-0{,}3t}=-1{,}5\,e^{-0{,}3t}$.

Comme $e^{-0{,}3t}>0$ pour tout $t$, le signe de $g'(t)$ est celui de $-1{,}5$ : $g'(t)<0$.

La dérivée est strictement négative sur $\mathbb{R}$, donc $g$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

Pour $t=0$ : $g'(0)=-1{,}5\,e^{0}=-1{,}5$.

Le point $(0\,;\,200)$ donne $h(0)=A\,e^{0}=A=200$.

Le point d'abscisse $1$ donne $h(1)=200\,e^{k}$. Il est donné égal à $200\,e^{-0{,}5}$, donc $e^{k}=e^{-0{,}5}$.

Deux exponentielles égales ont le même exposant : $k=-0{,}5$.

On obtient $h(t)=200\,e^{-0{,}5t}$, donc $h(4)=200\,e^{-2}$.

À la calculatrice, $e^{-2}\approx 0{,}135335$, d'où $h(4)\approx 27{,}067$.

On a $u_{n+1}=100\times 1{,}05^{\,n+1}=1{,}05\times u_n$ : la suite est géométrique de raison $1{,}05$ et de premier terme $100$.

Pour $n=10$ : $1{,}05^{10}\approx 1{,}628895$, donc $u_{10}\approx 162{,}889$.

Pour $t=10$ : $f(10)=100\,e^{0{,}5}$ et $e^{0{,}5}\approx 1{,}648721$, donc $f(10)\approx 164{,}872$.

L'écart vaut $f(10)-u_{10}\approx 164{,}872-162{,}889\approx 1{,}983$.

On dérive : $f'(t)=0{,}4\times 3\,e^{0{,}4t}=0{,}4\,f(t)$.

Pour $t=2$ : $f'(2)=0{,}4\,f(2)$, avec $f(2)=3\,e^{0{,}8}>0$.

Donc $\dfrac{f'(2)}{f(2)}=\dfrac{0{,}4\,f(2)}{f(2)}=0{,}4$.

Le même calcul vaut pour tout $t$ : le quotient est égal à $0{,}4$ partout.

$T(0)=20+60\,e^{0}=20+60=80$ : la boisson part bien de $80$ °C.

$T(10)=20+60\,e^{-1}$ et $e^{-1}\approx 0{,}367879$, donc $T(10)\approx 20+22{,}073\approx 42{,}07$ °C.

On dérive : $T'(t)=60\times(-0{,}1)\,e^{-0{,}1t}=-6\,e^{-0{,}1t}$.

Comme $e^{-0{,}1t}>0$, on a $T'(t)<0$ : la température est strictement décroissante.

Quand $t$ devient grand, $e^{-0{,}1t}$ se rapproche de $0$, donc $T(t)$ se rapproche de $20$ °C.

$N(0)=8000\,e^{0}=8000$ : $N_0$ est le nombre de noyaux au départ. C'est l'ordonnée à l'origine de la courbe ².

On écrit $N(t+1)=8000\,e^{-0{,}2(t+1)}=8000\,e^{-0{,}2t}\times e^{-0{,}2}=N(t)\times e^{-0{,}2}$.

Donc $\dfrac{N(t+1)}{N(t)}=e^{-0{,}2}\approx 0{,}8187$ : chaque heure, il reste environ $81{,}9\,\%$ des noyaux présents au début de cette heure.

$N(5)=8000\,e^{-1}\approx 8000\times 0{,}367879\approx 2943{,}04$, soit environ $2943$ noyaux.

On dérive : $N'(t)=-0{,}2\times 8000\,e^{-0{,}2t}=-0{,}2\,N(t)$.

Comme $N(t)>0$, on a $N'(t)<0$ : $N$ est strictement décroissante.