Mathématiques (spécialité) · Première · Géométrie et produit scalaire

Formule d'Al-Kashi et applications

• Formule d'Al-Kashi : dans un triangle $ABC$, $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB \times AC \times \cos\widehat{A}$ ; elle généralise le théorème de Pythagore.
• Elle se démontre en écrivant $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ puis en développant le carré scalaire.
• Deux usages : calculer un côté (deux côtés et l'angle compris connus), ou calculer un angle (trois côtés connus) avec $\cos\widehat{A} = \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2\,AB \times AC}$.
• Le signe de $\cos\widehat{A}$ renseigne sur la nature de l'angle : aigu, droit ou obtus.