Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
La formule d'Al-Kashi relie les trois côtés d'un triangle à un de ses angles : a2=b2+c2−2bccosA.
Elle se démontre avec le produit scalaire en écrivant BC=AC−AB.
Avec deux côtés et l'angle compris, on calcule le troisième côté ; avec les trois côtés, on calcule un angle grâce à cosA=2bcb2+c2−a2.
Pour un angle droit, cosA=0 et on retrouve le théorème de Pythagore ; un cosinus négatif signale un angle obtus.
Avant de commencer
Ce quiz porte sur la formule d'Al-Kashi et sur ses usages en géométrie plane. Le programme de première en spécialité demande de la démontrer à l'aide du produit scalaire, puis de s'en servir pour résoudre des problèmes de géométrie 1. Les questions suivent ces deux axes : savoir écrire et justifier la formule, puis l'appliquer pour trouver une longueur ou un angle.
Quiz
13 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Le côté BC est opposé au sommet A : c'est donc A qui intervient, avec un signe moins devant le double produit. La deuxième réponse a le mauvais signe, la troisième utilise un angle qui n'est pas opposé à BC, la dernière oublie les carrés.
BC2=52+82−2×5×8×cos60∘=25+64−40=49, donc BC=7. L'erreur tentante est de s'arrêter à BC2=49 : la question demande la longueur, il faut prendre la racine carrée.
Vrai : cos90∘=0, le terme −2bccosA disparaît et il reste a2=b2+c2. La formule d'Al-Kashi généralise donc Pythagore à tous les triangles.
cosA=2×5×852+82−72=8040=0,5, donc A=60∘. Attention à bien mettre au numérateur le carré du côté opposé à A (ici 7) avec le signe moins.
On isole cosA dans a2=b2+c2−2bccosA. La deuxième réponse correspond à l'angle C, la troisième a le mauvais signe, la dernière additionne a2 au lieu de le soustraire.
Un cosinus strictement négatif correspond à un angle compris entre 90∘ et 180∘. Il n'est pas exactement nul, donc l'angle n'est pas droit. Un cosinus négatif n'a rien d'impossible : seules les valeurs hors de [−1;1] signalent une erreur ou un triangle inexistant.
Comme cos120∘=−0,5 : BC2=36+100−2×6×10×(−0,5)=136+60=196, donc BC=14. L'erreur classique est d'oublier que le signe moins de la formule et le signe moins du cosinus se compensent.
Faux : elle s'applique dans tout triangle. C'est justement son intérêt : le théorème de Pythagore, lui, demande un angle droit.
Dans les deux premiers cas, la formule contient une seule inconnue. Dans le troisième, il manque une donnée : la formule aurait deux inconnues. Dans le dernier, les angles seuls ne fixent pas la taille du triangle, seulement sa forme.
On élève au carré en développant l'identité ∥u−v∥2=∥u∥2+∥v∥2−2u⋅v ; le programme présente cette démarche comme la démonstration de la formule 1. Il reste à remplacer AB⋅AC par AB×AC×cosA. Les autres réponses ignorent le double produit.
Le produit scalaire de deux vecteurs de même origine A fait intervenir l'angle qu'ils forment, c'est-à-dire A, avec un cosinus. Le sinus appartient à d'autres formules (aire, par exemple), pas à celle-ci.
BC2=16+16−2×4×4×41=32−8=24. Ici on demande BC2 et non BC : inutile de prendre la racine carrée, qui donnerait 24≈4,9.
cos=2×14×15142+152−132=420196+225−169=420252=0,6. Le carré du côté opposé (13) est le seul à être soustrait ; les deux autres côtés s'additionnent au numérateur.
Les questions qu'on se pose
Quand utiliser Al-Kashi plutôt que Pythagore ?
Pythagore ne fonctionne que si le triangle a un angle droit. Dès que l'angle n'est pas droit, ou qu'on ne sait pas s'il l'est, on utilise Al-Kashi : elle contient Pythagore comme cas particulier quand cosA=0.
Comment savoir quel angle utiliser dans la formule ?
Repère le côté dont tu cherches (ou connais) le carré : l'angle à utiliser est celui qui lui fait face. Les deux autres côtés sont ceux qui bordent cet angle. Écris toujours la formule littérale avant de remplacer par des nombres pour éviter de mélanger les lettres.