Mathématiques (spécialité) · Première · Géométrie et produit scalaire

Équation de cercle

• Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $\Omega(a\,;\,b)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ : un point $M(x\,;\,y)$ est sur le cercle exactement quand $\Omega M=r$.
• Pour reconnaître un cercle dans une équation développée $x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0$, on regroupe les termes en $x$ et en $y$ et on met chacun sous forme canonique ; le cercle existe si le second membre obtenu est strictement positif.
• Le cercle de diamètre $[AB]$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$, ce qui donne $(x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)=0$.
• Pour savoir si un point est sur le cercle, on remplace ses coordonnées dans l'équation. Pour l'intersection avec une droite, on remplace $y$ (ou $x$) dans l'équation du cercle et on résout une équation du second degré.