Formule d'Al-Kashi : fiche de révision de 1re spé maths
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
La formule d'Al-Kashi généralise le théorème de Pythagore : BC2=AB2+AC2−2AB×AC×cosA.
Avec deux côtés et l'angle compris, elle donne le troisième côté ; avec les trois côtés, elle donne un angle.
Sa démonstration repose sur le développement de ∥u−v∥2 avec le produit scalaire, au programme de Première 1.
Quand l'angle vaut 90∘, le cosinus est nul et on retrouve Pythagore.
Pour un angle, on isole le cosinus puis on utilise la touche cos−1 de la calculatrice.
Ce que dit la formule
Le programme de Première demande de connaître la formule d'Al-Kashi et d'en savoir faire la démonstration à l'aide du produit scalaire 1. Elle sert à résoudre des problèmes de géométrie où l'on connaît certaines mesures d'un triangle et où l'on cherche les autres.
Pourquoi elle est vraie
Démonstration · Démonstration avec le produit scalaire
On part de l'égalité vectorielle BC=AC−AB. On développe le carré scalaire, comme le programme le prévoit pour ∥u−v∥21 :
BC2=∥AC−AB∥2=AC2+AB2−2AB⋅AC
Or AB⋅AC=AB×AC×cosA. On remplace :
BC2=AB2+AC2−2AB×AC×cosA
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Pièges à éviter
Quand l'utiliser
Questions flash
4 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
BC2=25+64−2×5×8×cos60∘=89−40=49, donc BC=7. Répondre 49 serait oublier la racine carrée ; répondre 89 serait oublier le terme en cosinus.
Le côté opposé à B est AC, et les côtés qui encadrent B sont AB et BC. La réponse 2 met à gauche un côté qui touche B ; la 3 se trompe de signe ; la 4 mélange l'angle B avec les côtés qui encadrent A.
Si A=90∘, cosA=0, le terme −2bccosA disparaît et il reste a2=b2+c2. Penser que les deux formules sont sans rapport est une erreur fréquente : Pythagore est un cas particulier.
cosA=7049+25−64=7010=71. Le signe négatif viendrait d'une inversion entre BC2 et la somme des deux autres carrés ; la dernière réponse additionne les trois carrés au lieu de soustraire BC2 (et un cosinus ne dépasse jamais 1).
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre Al-Kashi et le théorème de Pythagore ?
Pythagore ne s'applique qu'aux triangles rectangles. Al-Kashi s'applique à tous les triangles : le terme −2bccosA corrige l'écart quand l'angle n'est pas droit. Avec un angle droit, ce terme vaut zéro.
Faut-il savoir démontrer la formule d'Al-Kashi ?
Oui, la démonstration par le produit scalaire figure explicitement au programme de Première 1. Retiens la ligne essentielle : BC=AC−AB, on développe le carré scalaire, puis on utilise AB⋅AC=AB×AC×cosA.
Comment savoir si l'angle est aigu ou obtus avec la formule ?
Regarde le signe de b2+c2−a2. S'il est positif, le cosinus est positif et l'angle est aigu ; s'il est négatif, l'angle est obtus ; s'il est nul, l'angle est droit.