Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Formule d'Al-Kashi et applications : cours de 1re spécialité

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Formule d'Al-Kashi : dans un triangle $ABC$ , $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB \times AC \times \cos\widehat{A}$ ; elle généralise le théorème de Pythagore.
Elle se démontre en écrivant $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ puis en développant le carré scalaire.
Deux usages : calculer un côté (deux côtés et l'angle compris connus), ou calculer un angle (trois côtés connus) avec $\cos\widehat{A} = \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2\,AB \times AC}$ .
Le signe de $\cos\widehat{A}$ renseigne sur la nature de l'angle : aigu, droit ou obtus.
La même idée, appliquée deux fois, donne la longueur d'une médiane.

Pourquoi une nouvelle formule ?

Tu connais le théorème de Pythagore : il relie les trois côtés d'un triangle, mais seulement quand ce triangle a un angle droit. Or, dans la plupart des problèmes de géométrie, le triangle est quelconque. Comment calculer le troisième côté si tu connais deux côtés et l'angle qu'ils forment ? Comment retrouver un angle si tu connais les trois côtés ?

Le programme de première prévoit pour cela la formule d'Al-Kashi, qui se démontre à l'aide du produit scalaire, et son emploi pour résoudre des problèmes géométriques ¹. Dans ce cours, tu vas :

démontrer la formule toi-même à partir du produit scalaire ;
voir qu'elle contient Pythagore comme cas particulier ;
l'utiliser pour calculer une longueur, un angle, puis la longueur d'une médiane ;
apprendre à choisir le bon outil et à contrôler un résultat.

Pour fixer les idées, voici deux questions que la trigonométrie du collège ne sait pas traiter dans un triangle quelconque :

Deux bateaux quittent le même port en suivant des routes qui forment un angle de $50^\circ$ . Quelle distance les sépare après avoir parcouru $8$ km et $11$ km ?
Un terrain triangulaire a des côtés de $4$ m, $5$ m et $6$ m. Quelles sont les mesures de ses angles ?

Dans les deux cas, aucun angle droit n'est disponible. La formule d'Al-Kashi répond à ces deux questions avec le même calcul, lu dans un sens ou dans l'autre.

Notations et énoncé de la formule

Observe la structure : le carré du côté cherché est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, moins un terme correctif qui dépend de l'angle compris entre ces deux côtés. Ce terme correctif est la clé : il s'annule quand l'angle est droit.

Un moyen de ne jamais se tromper de lettre : le côté qui est seul à gauche et l'angle qui apparaît dans le cosinus sont face à face. Si tu écris $BC^2$ , l'angle est en $A$ ; si tu écris $AC^2$ , l'angle est en $B$ ; si tu écris $AB^2$ , l'angle est en $C$ .

Démonstration par le produit scalaire

Démonstration · Démonstration de la formule d'Al-Kashi

On part du vecteur $\overrightarrow{BC}$ et on le décompose avec le point $A$ (relation de Chasles) :

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}.$

On calcule le carré scalaire, qui vaut le carré de la norme :

$BC^2 = \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BC} = \left(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\right).$

On développe comme une identité remarquable, ce que permettent la bilinéarité et la symétrie du produit scalaire :

$BC^2 = AC^2 - 2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} + AB^2.$

Or, par définition, $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos\widehat{BAC}$ . En remplaçant :

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB \times AC \times \cos\widehat{A}.$

C'est la formule annoncée. Ce développement est un cas du développement de $\|\vec u + \vec v\|^2$ (remplace $\vec v$ par $-\vec v$ ), qui figure parmi les outils du programme ¹².

Cas particuliers : Pythagore et signe du cosinus

Cette comparaison est très économique : elle ne demande ni cosinus ni calculatrice. Pour savoir si un triangle a un angle obtus, il suffit de comparer le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres. Le plus grand angle est toujours en face du plus grand côté, donc si un angle est obtus, c'est celui-là.

Application 1 : calculer un côté

RepérerLe côté cherché et son angle opposé
ÉcrireLa formule, côté cherché à gauche
RemplacerLongueurs et cosinus de l'angle
ConclureRacine carrée du résultat

Calculer un côté avec Al-Kashi

Application 2 : calculer un angle

RepérerL'angle cherché et son côté opposé
NumérateurCarrés des côtés adjacents moins carré de l'opposé
DénominateurDeux fois le produit des côtés adjacents
InverserTouche cos moins un, en degrés

Calculer un angle avec Al-Kashi

ExempleLes trois angles d'un triangle 4, 5, 6

Un triangle a des côtés de longueurs $4$ , $5$ et $6$ . On calcule le cosinus de chaque angle, en retranchant à chaque fois le carré du côté opposé.

Angle opposé au côté $4$ : $\cos = \dfrac{25 + 36 - 16}{2 \times 5 \times 6} = \dfrac{45}{60} = 0{,}75$ , soit environ $41{,}41^\circ$ .
Angle opposé au côté $5$ : $\cos = \dfrac{16 + 36 - 25}{2 \times 4 \times 6} = \dfrac{27}{48} = 0{,}5625$ , soit environ $55{,}77^\circ$ .
Angle opposé au côté $6$ : $\cos = \dfrac{16 + 25 - 36}{2 \times 4 \times 5} = \dfrac{5}{40} = 0{,}125$ , soit environ $82{,}82^\circ$ .

La somme vaut $41{,}41 + 55{,}77 + 82{,}82 = 180{,}00$ : le contrôle est réussi. On constate aussi que le plus petit angle est en face du plus petit côté.

Application 3 : la longueur d'une médiane

Le programme cite parmi les outils du produit scalaire la transformation de l'expression $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}$ à l'aide du milieu de $[AB]$ ¹. Dans le même esprit, on peut calculer la longueur d'une médiane, segment joignant un sommet au milieu du côté opposé. Voici comment la formule d'Al-Kashi y conduit.

Démonstration · Démonstration

Posons $\theta = \widehat{AIB}$ . Comme $I$ est sur $[BC]$ , $\widehat{AIC} = 180^\circ - \theta$ , donc $\cos\widehat{AIC} = -\cos\theta$ . Et $BI = IC = \dfrac{BC}{2}$ .

Al-Kashi dans $ABI$ : $AB^2 = AI^2 + BI^2 - 2\,AI \times BI \times \cos\theta$ .

Al-Kashi dans $AIC$ : $AC^2 = AI^2 + BI^2 + 2\,AI \times BI \times \cos\theta$ .

En additionnant, les termes en cosinus s'annulent : $AB^2 + AC^2 = 2\,AI^2 + 2\,BI^2 = 2\,AI^2 + \dfrac{BC^2}{2}$ .

Choisir le bon outil et contrôler son résultat

Face à un triangle, le choix de la méthode dépend des données. Le tableau ci-dessous résume les cas :

Quel outil choisir dans un triangle ?
Données connues	Outil
Triangle rectangle, deux côtés	Pythagore
Deux côtés et l'angle compris	Al-Kashi pour le troisième côté
Trois côtés	Al-Kashi pour un angle
Un côté et deux angles	Somme des angles à 180°, puis un autre outil

Quel outil choisir dans un triangle ?

Une dernière habitude : après un calcul, vérifie la vraisemblance. Voici quatre contrôles rapides.

Dans un triangle, chaque côté est plus petit que la somme des deux autres. Un résultat qui contredit cela est faux.
Le plus grand côté est opposé au plus grand angle.
Un cosinus est toujours compris entre $-1$ et $1$ . Si tu trouves $1{,}3$ , tu as fait une erreur de calcul ou les trois longueurs ne forment pas un triangle.
La somme des trois angles vaut $180^\circ$ ; si tu les as tous calculés avec Al-Kashi, vérifie-le.

Exercices corrigés

Exercice 1 Calculer un côté

★☆☆Environ 6 min

Dans un triangle $ABC$ , $AB = 5$ cm, $AC = 7$ cm et $\widehat{A} = 60^\circ$ . Calcule la longueur $BC$ , arrondie au millième.

Indice 1

Quel côté est opposé à l'angle $\widehat{A}$ ?

Indice 2

$\cos 60^\circ = \tfrac12$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit la formule : $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB \times AC \times \cos\widehat{A}$ .
On remplace : $BC^2 = 25 + 49 - 2 \times 5 \times 7 \times \tfrac12$ .
On calcule : $BC^2 = 74 - 35 = 39$ .
On prend la racine : $BC = \sqrt{39} \approx 6{,}245$ cm.

Le côté $[BC]$ mesure environ $6{,}245$ cm. Il est bien plus petit que $AB + AC = 12$ cm, ce qui est cohérent.

Exercice 2 Distance entre deux bateaux

★☆☆Environ 8 min

Deux bateaux quittent le même port $A$ . Le premier parcourt $8$ km selon la route $[AB]$ , le second parcourt $11$ km selon la route $[AC]$ . Ces routes forment un angle de $50^\circ$ . Calcule la distance $BC$ , en km, arrondie au millième.

Indice 1

Le côté cherché est $[BC]$ , opposé à l'angle en $A$ .

Indice 2

Calculatrice en mode degrés : $\cos 50^\circ \approx 0{,}6428$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit la formule : $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB \times AC \times \cos\widehat{A}$ .
On remplace : $BC^2 = 64 + 121 - 2 \times 8 \times 11 \times \cos 50^\circ$ .
On calcule : $BC^2 \approx 185 - 113{,}131 = 71{,}869$ .
On prend la racine : $BC \approx 8{,}478$ km.

Les deux bateaux sont séparés d'environ $8{,}478$ km. Ce résultat est compris entre $11 - 8 = 3$ km et $8 + 11 = 19$ km, il est vraisemblable.

Exercice 3 Calculer un angle

★★☆Environ 8 min

Un triangle $ABC$ a pour côtés $AB = 5$ , $AC = 6$ et $BC = 7$ . Calcule la mesure de l'angle $\widehat{A}$ en degrés, arrondie au centième.

Indice 1

Isole $\cos\widehat{A}$ dans la formule d'Al-Kashi.

Indice 2

Utilise la touche $\cos^{-1}$ de la calculatrice en mode degrés.

Voir la correction pas à pas

On écrit : $\cos\widehat{A} = \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2\,AB \times AC}$ .
On remplace : $\cos\widehat{A} = \dfrac{25 + 36 - 49}{60}$ .
On simplifie : $\cos\widehat{A} = \dfrac{12}{60} = 0{,}2$ .
On applique $\cos^{-1}$ : $\widehat{A} \approx 78{,}46^\circ$ .

L'angle $\widehat{A}$ vaut environ $78{,}46^\circ$ . Le cosinus étant positif, l'angle est aigu, comme attendu.

Exercice 4 Un produit scalaire sans angle

★★☆Environ 7 min

Dans un triangle $ABC$ , on donne $AB = 4$ , $AC = 6$ et $BC = 8$ . Calcule le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ , puis dis si l'angle $\widehat{A}$ est aigu ou obtus.

Indice 1

Isole le produit scalaire dans l'égalité obtenue en développant $\left(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\right)^2$ .

Indice 2

Le signe du produit scalaire est celui de $\cos\widehat{A}$ .

Voir la correction pas à pas

On part de $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ .
On isole : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2}$ .
On remplace : $\dfrac{16 + 36 - 64}{2} = \dfrac{-12}{2} = -6$ .
Le produit scalaire est négatif, donc $\cos\widehat{A} < 0$ : l'angle $\widehat{A}$ est obtus.

On trouve $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = -6$ et l'angle $\widehat{A}$ est obtus. On le confirme : $BC^2 = 64 > 16 + 36 = 52$ .

Exercice 5 Un angle obtus

★★☆Environ 8 min

Un triangle $ABC$ a pour côtés $AB = 6$ , $AC = 10$ et $BC = 14$ . Calcule la mesure de l'angle $\widehat{A}$ en degrés.

Indice 1

Calcule d'abord $\cos\widehat{A}$ : le numérateur peut être négatif.

Indice 2

Cherche un angle entre $0^\circ$ et $180^\circ$ dont le cosinus est cette valeur.

Voir la correction pas à pas

On écrit : $\cos\widehat{A} = \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2\,AB \times AC}$ .
On remplace : $\cos\widehat{A} = \dfrac{36 + 100 - 196}{120}$ .
On simplifie : $\cos\widehat{A} = \dfrac{-60}{120} = -\dfrac12$ .
On en déduit : $\widehat{A} = 120^\circ$ .

L'angle $\widehat{A}$ mesure $120^\circ$ . Il est obtus et opposé au plus grand côté, ce qui est cohérent.

Exercice 6 Longueur d'une médiane

★★★Environ 12 min

Dans un triangle $ABC$ , $AB = 5$ , $AC = 7$ et $BC = 8$ . Le point $I$ est le milieu de $[BC]$ . Calcule $AI$ en appliquant deux fois la formule d'Al-Kashi, arrondi au millième.

Indice 1

Les angles $\widehat{AIB}$ et $\widehat{AIC}$ sont supplémentaires : leurs cosinus sont opposés.

Indice 2

Additionne les deux égalités obtenues pour faire disparaître le cosinus.

Voir la correction pas à pas

On note $\theta = \widehat{AIB}$ ; alors $\cos\widehat{AIC} = -\cos\theta$ , et $BI = IC = 4$ .
Dans $ABI$ : $25 = AI^2 + 16 - 8\,AI\cos\theta$ .
Dans $AIC$ : $49 = AI^2 + 16 + 8\,AI\cos\theta$ .
On additionne : $74 = 2\,AI^2 + 32$ , donc $AI^2 = 21$ .
On conclut : $AI = \sqrt{21} \approx 4{,}583$ .

La médiane $[AI]$ mesure environ $4{,}583$ . On vérifie avec la formule directe : $\dfrac{2 \times 25 + 2 \times 49 - 64}{4} = 21$ .

Les questions qu'on se pose

Quelle différence entre Pythagore et Al-Kashi ?

Pythagore ne vaut que dans un triangle rectangle. Al-Kashi vaut dans tout triangle et contient un terme en cosinus ; quand l'angle est droit, ce terme est nul et on retrouve Pythagore.

Faut-il apprendre la démonstration ?

Oui, le programme la mentionne explicitement, avec le produit scalaire ¹³. Retiens le fil : Chasles, carré scalaire, développement, définition du produit scalaire avec le cosinus.

Comment savoir quel côté retrancher quand je cherche un angle ?

Tu retranches toujours le carré du côté opposé à l'angle cherché. Les deux autres côtés, adjacents à l'angle, apparaissent au numérateur en positif et au dénominateur dans le produit.

Que faire si le cosinus calculé est négatif ?

Rien de spécial : l'angle est simplement obtus. La calculatrice renvoie bien un angle entre $90^\circ$ et $180^\circ$ . Si le cosinus sort hors de $[-1\,;\,1]$ , c'est qu'il y a une erreur de calcul ou que le triangle n'existe pas.

Faut-il garder les valeurs exactes ou arrondir ?

Garde la valeur exacte (par exemple $\sqrt{39}$ ) le plus longtemps possible, puis arrondis seulement le résultat final selon la consigne. Arrondir trop tôt cumule les erreurs, surtout quand on utilise un résultat dans un calcul suivant.

Sources

Programme de mathématiques de première générale - enseignement de spécialité, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources d'accompagnement - Géométrie dans l'espace et produit scalaire, Éduscol - Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Aménagement du programme de mathématiques de première générale, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.

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Exercice 4 Un produit scalaire sans angle

Exercice 5 Un angle obtus

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