Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Formule d'Al-Kashi : exercices corrigés de Première

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Dans un triangle $ABC$ avec $a=BC$ , $b=CA$ , $c=AB$ : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}$ .
Deux côtés et l'angle entre eux donnent le troisième côté ; trois côtés donnent chaque angle par $\cos\widehat{A}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ .
Le signe de $\cos\widehat{A}$ indique la nature de l'angle : positif aigu, nul droit, négatif obtus.
La formule vient du produit scalaire : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$ .
Calculatrice en mode degrés, et racine carrée à la toute fin du calcul.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices t'entraînent à appliquer la formule d'Al-Kashi, qui figure au programme de mathématiques de Première générale, avec une démonstration à l'aide du produit scalaire ¹. Elle sert à résoudre des problèmes de géométrie en s'appuyant sur le produit scalaire ¹. Ils sont classés par difficulté croissante : commence par les premiers pour automatiser le calcul, puis passe aux problèmes qui demandent de modéliser une situation ou de poser une équation.

Pour progresser vraiment, procède toujours dans le même ordre. Cherche l'exercice sur papier, avec un schéma. Si tu bloques, ouvre un premier indice, pas la correction. Une fois ta réponse trouvée, compare ta démarche avec la correction : chaque étape correspond à une action précise, et c'est cette suite d'actions qu'il faut savoir reproduire seul(e) le jour d'un contrôle.

Démonstration · Pourquoi la formule est vraie

On part de $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ . En développant le carré scalaire :

$BC^2=\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)^2=AC^2+AB^2-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.$

Or $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos\widehat{A}$ . On obtient donc $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}$ . Le développement de $\vec{u}-\vec{v}$ mis au carré fait lui aussi partie des contenus du programme ¹.

Trois réflexes pour les calculs

MéthodeReconnaître le type de problème

Avant tout calcul, repère ce que l'énoncé te donne.

Données	Inconnue	Ce que tu fais
deux côtés et l'angle compris	le troisième côté	tu appliques la formule, puis la racine carrée
trois côtés	un angle	tu isoles le cosinus, puis $\cos^{-1}$
trois côtés	un produit scalaire	tu utilises $\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$
deux côtés dont l'opposé à l'angle, et l'angle	le troisième côté	tu poses une équation du second degré

Les exercices

Exercice 1 Calculer un troisième côté

★☆☆Environ 5 min

Dans un triangle $ABC$ , on a $AB=8$ , $AC=5$ et $\widehat{BAC}=60^\circ$ . Calcule la longueur $BC$ .

Indice 1

L'angle donné est compris entre les deux côtés connus : le côté cherché est celui qui lui fait face.

Indice 2

Rappelle-toi la valeur de $\cos 60^\circ$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit la formule pour le côté opposé à $A$ : $BC^2=AB^2+AC^2-2\times AB\times AC\times\cos\widehat{A}$ .
On remplace : $BC^2=8^2+5^2-2\times 8\times 5\times\cos 60^\circ$ .
Comme $\cos 60^\circ=\dfrac12$ , on trouve $BC^2=64+25-40=49$ .
On prend la racine carrée : $BC=\sqrt{49}=7$ .

Le côté $[BC]$ mesure 7 unités de longueur. Retiens la forme du calcul : deux carrés qui s'additionnent, puis un terme que l'on retranche.

Exercice 2 Calculer un angle à partir des trois côtés

★☆☆Environ 6 min

Un triangle $ABC$ a pour côtés $AB=8$ , $AC=5$ et $BC=7$ . Détermine, en degrés, la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ .

Indice 1

Isole $\cos\widehat{A}$ dans la formule d'Al-Kashi.

Indice 2

Le côté opposé à $A$ est $[BC]$ .

Voir la correction pas à pas

On part de $BC^2=AB^2+AC^2-2\times AB\times AC\times\cos\widehat{A}$ .
On isole le cosinus : $\cos\widehat{A}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\times AB\times AC}$ .
On remplace : $\cos\widehat{A}=\dfrac{64+25-49}{80}=\dfrac{40}{80}=\dfrac12$ .
On en déduit $\widehat{A}=60^\circ$ .

L'angle $\widehat{BAC}$ mesure 60°. On retrouve le triangle de l'exercice précédent : les deux situations sont réciproques l'une de l'autre.

Exercice 3 Reconnaître un angle obtus

★★☆Environ 8 min

Un triangle $ABC$ a pour côtés $AB=4$ , $AC=5$ et $BC=7$ . Calcule $\cos\widehat{BAC}$ et dis si l'angle en $A$ est aigu, droit ou obtus.

Indice 1

Le plus grand côté est en face du plus grand angle.

Indice 2

Regarde le signe du cosinus obtenu.

Voir la correction pas à pas

On écrit $\cos\widehat{A}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\times AB\times AC}$ .
On remplace : $\cos\widehat{A}=\dfrac{16+25-49}{40}$ .
On calcule le numérateur : $16+25-49=-8$ , donc $\cos\widehat{A}=\dfrac{-8}{40}=-0{,}2$ .
Le cosinus est négatif, donc l'angle $\widehat{A}$ est obtus. À la calculatrice, il mesure environ $101{,}5^\circ$ .

On obtient $\cos\widehat{BAC}=-0{,}2$ : l'angle en $A$ est obtus. Ce résultat est cohérent, puisque $[BC]$ est le plus grand côté et que $49>16+25$ .

Exercice 4 Produit scalaire à partir des longueurs

★★☆Environ 8 min

Dans un triangle $ABC$ , on donne $AB=6$ , $AC=7$ et $BC=8$ . Calcule le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ sans mesurer d'angle.

Indice 1

Développe $\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)^2$ pour faire apparaître $\overrightarrow{BC}^2$ .

Indice 2

Le produit scalaire est lié au terme $-2bc\cos\widehat{A}$ de la formule d'Al-Kashi.

Voir la correction pas à pas

On écrit $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ .
On développe : $BC^2=AC^2+AB^2-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ .
On isole : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$ .
On remplace : $\dfrac{36+49-64}{2}=\dfrac{21}{2}=10{,}5$ .

On trouve $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\mathbf{10{,}5}$ . Le résultat est positif, ce qui annonce un angle $\widehat{A}$ aigu : le lien entre signe du produit scalaire et signe du cosinus est direct.

Exercice 5 Angle obtus et longueur irrationnelle

★★☆Environ 8 min

Dans un triangle $ABC$ , on a $AB=7$ , $AC=5$ et $\widehat{BAC}=120^\circ$ . Donne la valeur exacte de $BC$ , puis une valeur approchée au centième.

Indice 1

Utilise $\cos 120^\circ=-\dfrac12$ .

Indice 2

Fais attention au signe : on retranche un nombre négatif.

Voir la correction pas à pas

On écrit $BC^2=AB^2+AC^2-2\times AB\times AC\times\cos 120^\circ$ .
On remplace : $BC^2=49+25-2\times 7\times 5\times\left(-\dfrac12\right)$ .
On calcule : $BC^2=74+35=109$ .
Donc $BC=\sqrt{109}\approx 10{,}44$ .

La valeur exacte est $BC=\sqrt{109}$ , soit environ 10,44. Quand l'angle est obtus, le terme $-2bc\cos\widehat{A}$ devient positif et le côté opposé est plus long que dans le cas d'un angle droit.

Exercice 6 Nature d'un triangle sans calculer d'angle

★★☆Environ 8 min

Un triangle $ABC$ a pour côtés $AB=5$ , $AC=6$ et $BC=8$ . Sans chercher la mesure des angles, détermine si le triangle possède un angle obtus, en calculant le cosinus de l'angle opposé au plus grand côté.

Indice 1

Le plus grand côté est $[BC]$ : l'angle opposé est $\widehat{A}$ .

Indice 2

Le dénominateur $2bc$ est positif : le signe du cosinus est celui du numérateur.

Voir la correction pas à pas

On repère le plus grand côté : $BC=8$ . L'angle opposé est $\widehat{BAC}$ .
On écrit $\cos\widehat{A}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\times AB\times AC}$ .
On remplace : $\cos\widehat{A}=\dfrac{25+36-64}{60}$ .
On calcule : $25+36-64=-3$ , donc $\cos\widehat{A}=\dfrac{-3}{60}=-0{,}05$ .
Le cosinus est négatif, donc l'angle $\widehat{A}$ est obtus. Les deux autres angles, opposés à des côtés plus petits, sont forcément aigus.

On obtient $\cos\widehat{BAC}=-0{,}05$ : le triangle a un angle obtus en $A$ , mais très proche de l'angle droit. Un triangle ne peut avoir qu'un seul angle obtus, c'est pourquoi on teste uniquement le plus grand côté.

Exercice 7 Un angle qui n'est pas remarquable

★★☆Environ 8 min

Un triangle $ABC$ a pour côtés $AB=6$ , $AC=7$ et $BC=9$ . Donne, en degrés et au centième près, la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ .

Indice 1

Écris d'abord $\cos\widehat{A}$ sous forme de fraction, sans arrondir.

Indice 2

Utilise la touche $\cos^{-1}$ de la calculatrice réglée en degrés.

Voir la correction pas à pas

On écrit $\cos\widehat{A}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\times AB\times AC}$ .
On remplace : $\cos\widehat{A}=\dfrac{36+49-81}{84}=\dfrac{4}{84}=\dfrac{1}{21}$ .
On applique la fonction réciproque : $\widehat{A}=\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{21}\right)$ .
La calculatrice donne $\widehat{A}\approx 87{,}27^\circ$ .

L'angle $\widehat{BAC}$ mesure environ 87,27°. Il est aigu et proche de $90^\circ$ , ce qui est cohérent : $36+49=85$ est à peine supérieur à $81$ .

Exercice 8 Diagonales d'un parallélogramme

★★★Environ 12 min

Dans un parallélogramme $ABCD$ , on a $AB=6$ , $AD=4$ et $\widehat{BAD}=60^\circ$ . Calcule la longueur de la diagonale $[BD]$ , puis celle de la diagonale $[AC]$ en justifiant la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$ .

Indice 1

Dans le triangle $ABD$ , l'angle en $A$ est compris entre $[AB]$ et $[AD]$ .

Indice 2

Dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires : leur somme vaut $180^\circ$ .

Voir la correction pas à pas

Dans le triangle $ABD$ , on écrit $BD^2=AB^2+AD^2-2\times AB\times AD\times\cos 60^\circ$ .
On remplace : $BD^2=36+16-2\times 6\times 4\times\dfrac12=52-24=28$ .
Donc $BD=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\approx 5{,}29$ .
Les angles consécutifs $\widehat{BAD}$ et $\widehat{ABC}$ sont supplémentaires : $\widehat{ABC}=180^\circ-60^\circ=120^\circ$ , et $BC=AD=4$ .
Dans le triangle $ABC$ , $AC^2=AB^2+BC^2-2\times AB\times BC\times\cos 120^\circ=36+16+24=76$ , donc $AC=\sqrt{76}=2\sqrt{19}\approx 8{,}72$ .

On trouve $BD=2\sqrt7\approx 5{,}29$ et $AC=2\sqrt{19}\approx 8{,}72$ . Le calcul de $AC$ utilise un cosinus négatif : c'est la diagonale la plus longue, celle qui est opposée à l'angle obtus.

Exercice 9 Une distance impossible à mesurer

★★★Environ 12 min

Un étang sépare deux points $A$ et $B$ . Depuis un point $O$ de la rive, on mesure $OA=120$ m, $OB=200$ m et $\widehat{AOB}=40^\circ$ . Calcule la distance $AB$ au mètre près (calculatrice en degrés).

Indice 1

Représente la situation par un triangle $OAB$ et repère l'angle compris entre les deux côtés connus.

Indice 2

Garde les valeurs exactes jusqu'à la dernière étape, puis arrondis.

Voir la correction pas à pas

On modélise par le triangle $OAB$ , l'angle en $O$ étant compris entre $[OA]$ et $[OB]$ .
On écrit $AB^2=OA^2+OB^2-2\times OA\times OB\times\cos 40^\circ$ .
On remplace : $AB^2=120^2+200^2-2\times 120\times 200\times\cos 40^\circ=54\,400-48\,000\cos 40^\circ$ .
Avec $\cos 40^\circ\approx 0{,}7660$ , on obtient $AB^2\approx 17\,630$ .
On prend la racine carrée : $AB\approx 132{,}8$ m, soit environ 133 m.

La distance entre $A$ et $B$ est d'environ 133 m. C'est l'usage classique de la formule : obtenir une distance sans la mesurer directement, à partir de deux longueurs et d'un angle.

Exercice 10 Trouver un côté par une équation

★★★Environ 15 min

Dans un triangle $ABC$ , on a $AC=3$ , $BC=7$ et $\widehat{BAC}=60^\circ$ . On note $x=AB$ . Écris une équation du second degré vérifiée par $x$ , puis détermine $x$ .

Indice 1

Applique la formule au côté $[BC]$ , opposé à l'angle $A$ : l'inconnue est maintenant un côté de l'angle.

Indice 2

Une longueur est positive : élimine la solution négative.

Voir la correction pas à pas

On écrit $BC^2=AB^2+AC^2-2\times AB\times AC\times\cos 60^\circ$ , soit $49=x^2+9-2\times x\times 3\times\dfrac12$ .
On simplifie : $49=x^2+9-3x$ , donc $x^2-3x-40=0$ .
On calcule le discriminant : $\Delta=(-3)^2-4\times 1\times(-40)=9+160=169=13^2$ .
Les racines sont $x=\dfrac{3-13}{2}=-5$ et $x=\dfrac{3+13}{2}=8$ .
Une longueur ne peut pas être négative : $x=8$ .

On trouve $AB=\mathbf{8}$ . Ici l'inconnue n'est pas le côté opposé à l'angle, mais un côté adjacent : la formule mène alors à une équation du second degré, dont on garde la racine positive.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir quel côté placer à gauche dans la formule d'Al-Kashi ?

À gauche se trouve toujours le carré du côté opposé à l'angle utilisé. Si tu utilises l'angle $\widehat{A}$ , à gauche tu as $a^2=BC^2$ . À droite, les deux autres côtés sont ceux qui forment l'angle $\widehat{A}$ : ils apparaissent aussi dans le terme avec le cosinus.

Quand utiliser Al-Kashi plutôt que Pythagore ?

Le théorème de Pythagore ne fonctionne que dans un triangle rectangle. La formule d'Al-Kashi marche dans n'importe quel triangle et redonne Pythagore quand l'angle vaut $90^\circ$ , puisque son cosinus est nul. Dès que le triangle n'est pas rectangle, ou que tu ne sais pas s'il l'est, utilise Al-Kashi.

Quel lien avec le produit scalaire, au programme de Première ?

La formule se démontre en développant $\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)^2$ : le programme demande d'ailleurs de savoir la démontrer avec le produit scalaire ¹. Elle donne aussi une façon de calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ quand on connaît seulement les trois longueurs : $\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$ .

Sources

Programme de mathématiques de première générale - enseignement de spécialité, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources d'accompagnement - Géométrie dans l'espace et produit scalaire, Éduscol - Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Aménagement du programme de mathématiques de première générale, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

Signaler une erreur sur cette page

Formule d'Al-Kashi : exercices corrigés de Première

L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Trois réflexes pour les calculs

Les exercices

Exercice 1 Calculer un troisième côté

Exercice 2 Calculer un angle à partir des trois côtés

Exercice 3 Reconnaître un angle obtus

Exercice 4 Produit scalaire à partir des longueurs

Exercice 5 Angle obtus et longueur irrationnelle

Exercice 6 Nature d'un triangle sans calculer d'angle

Exercice 7 Un angle qui n'est pas remarquable

Exercice 8 Diagonales d'un parallélogramme

Exercice 9 Une distance impossible à mesurer

Exercice 10 Trouver un côté par une équation

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur