Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Espérance, variance et écart type : cours de 1re spécialité maths

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

L'espérance $E(X)=\sum x_i\,p_i$ est la valeur moyenne que prend $X$ quand on répète l'expérience un très grand nombre de fois ; elle n'est pas forcément une valeur possible de $X$ .
La variance $V(X)=E\big((X-E(X))^2\big)$ mesure la dispersion autour de l'espérance ; on la calcule aussi par $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ .
L'écart type $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ s'exprime dans la même unité que $X$ : plus il est petit, plus les valeurs sont resserrées autour de l'espérance.
Pour $aX+b$ : $E(aX+b)=aE(X)+b$ , $V(aX+b)=a^2V(X)$ et $\sigma(aX+b)=|a|\,\sigma(X)$ .
Un jeu est équitable quand l'espérance du gain algébrique (gain moins mise) est nulle.

Pourquoi résumer une loi par deux nombres

Tu connais déjà les variables aléatoires réelles : une variable $X$ associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire, et la loi de probabilité de $X$ donne la probabilité de chaque valeur. Un tableau de loi peut contenir beaucoup de valeurs. Pour comparer deux situations ou prendre une décision, on aimerait le résumer en quelques nombres.

Le programme de première introduit trois notions pour cela : l'espérance, la variance et l'écart type d'une variable aléatoire ¹. L'espérance dit où se situe le centre de la loi. La variance et l'écart type disent à quel point les valeurs s'étalent autour de ce centre. L'espérance est un indicateur de tendance centrale, la variance un indicateur de dispersion ³.

Prenons une image. Deux élèves ont la même moyenne de 12 sur l'année. Le premier a toujours des notes entre 11 et 13. Le second alterne des 5 et des 19. Leur moyenne est identique, mais leurs résultats n'ont rien à voir : le second est bien plus irrégulier. La moyenne seule ne suffit pas ; il faut aussi un nombre qui mesure l'irrégularité. C'est exactement le rôle de l'écart type.

L'espérance : la valeur moyenne attendue

Le lien avec la moyenne d'une série statistique est direct. Dans une série, la moyenne se calcule avec des fréquences ; ici on remplace les fréquences par des probabilités. La loi des grands nombres explique pourquoi : on ne peut pas prédire le résultat d'une seule expérience, mais on peut évaluer le résultat moyen obtenu si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois ³. L'espérance est ce résultat moyen théorique.

ExempleEspérance avec une loi non uniforme

Soit $X$ de loi

$x_i$	0	1	2	3
$P(X=x_i)$	0,1	0,3	0,4	0,2

On vérifie d'abord que $0{,}1+0{,}3+0{,}4+0{,}2=1$ . Ensuite

$E(X)=0\times0{,}1+1\times0{,}3+2\times0{,}4+3\times0{,}2=0+0{,}3+0{,}8+0{,}6=1{,}7.$

La valeur 1,7 est comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de $X$ , et plus proche de 2 que de 0 parce que 2 est la valeur la plus probable.

La variance : mesurer la dispersion

L'espérance situe le centre, mais elle ne dit rien de l'étalement. Pour le mesurer, on regarde l'écart entre chaque valeur $x_i$ et l'espérance $\mu=E(X)$ . On ne peut pas faire la moyenne des écarts $x_i-\mu$ : les écarts positifs et négatifs se compensent, et cette moyenne vaut toujours 0. On élève donc chaque écart au carré avant de faire la moyenne pondérée.

Démonstration · Démonstration de la formule

On pose $\mu=E(X)$ et on développe le carré dans la définition :

$V(X)=\sum p_i(x_i-\mu)^2=\sum p_i x_i^2-2\mu\sum p_i x_i+\mu^2\sum p_i.$

Or $\sum p_i x_i=E(X)=\mu$ et $\sum p_i=1$ . Donc

$V(X)=E(X^2)-2\mu^2+\mu^2=E(X^2)-\mu^2.$

Plus la variance est petite, plus les valeurs de $X$ se concentrent près de l'espérance ³. À l'inverse, une grande variance traduit des valeurs très éparpillées de part et d'autre du centre.

L'écart type : la dispersion dans la bonne unité

La variance a un défaut : si $X$ est une durée en minutes, $V(X)$ s'exprime en minutes au carré, ce qui est difficile à interpréter. On revient à l'unité de départ en prenant la racine carrée.

Variable aléatoire X

Espérance E(X)
- Moyenne pondérée
- Centre de la loi
- Jeu équitable
Variance V(X)
- Écarts au carré
- E(X²) − E(X)²
- Toujours ≥ 0
Écart type σ(X)
- Racine de V(X)
- Même unité que X
- Mesure l'étalement

Les trois notions en un coup d'œil · Espérance, variance et écart type d'une variable aléatoire.

Méthode : tout calculer avec un tableau

Dès que la loi comporte plus de trois valeurs, un tableau évite les erreurs. L'idée est d'ajouter des lignes sous le tableau de la loi pour calculer les produits $p_i x_i$ et $p_i x_i^2$ , puis de faire les sommes.

Vérifier la loiLa somme des probabilités vaut 1.
EspéranceE(X) = somme des p_i × x_i.
CarrésE(X²) = somme des p_i × x_i².
VarianceV(X) = E(X²) − E(X)².
Écart typeσ(X) = racine carrée de V(X).

Calculer espérance, variance et écart type

ExempleExemple complet rédigé

Une urne contient des jetons numérotés. On note $X$ le numéro d'un jeton tiré au hasard, de loi :

$x_i$	$-2$	0	1	4
$p_i$	0,2	0,3	0,4	0,1
$p_i x_i$	$-0{,}4$	0	0,4	0,4
$p_i x_i^2$	0,8	0	0,4	1,6

Étape 1. La somme des $p_i$ vaut $0{,}2+0{,}3+0{,}4+0{,}1=1$ : la loi est cohérente.

Étape 2. $E(X)=-0{,}4+0+0{,}4+0{,}4=0{,}4$ .

Étape 3. $E(X^2)=0{,}8+0+0{,}4+1{,}6=2{,}8$ .

Étape 4. $V(X)=2{,}8-0{,}4^2=2{,}8-0{,}16=2{,}64$ .

Étape 5. $\sigma(X)=\sqrt{2{,}64}\approx1{,}62$ .

Comparer les trois lois du cours
Loi	E(X)	V(X)	σ(X)
Dé équilibré	3,5	35/12 ≈ 2,92	≈ 1,71
Valeurs 0, 1, 2, 3	1,7	0,81	0,9
Valeurs −2, 0, 1, 4	0,4	2,64	≈ 1,62

Comparer les trois lois du cours · Résultats des exemples traités dans le cours.

Transformer une variable : l'effet de $aX+b$

On rencontre souvent une variable construite à partir d'une autre : un gain obtenu en multipliant un résultat par un coefficient, puis en retirant une mise, un changement d'unité (des degrés Celsius aux degrés Fahrenheit), etc. Il serait long de refaire tout le calcul : des formules permettent de passer de $X$ à $aX+b$ directement.

Démonstration · Démonstration

La variable $aX+b$ prend la valeur $ax_i+b$ avec la probabilité $p_i$ . Donc

$E(aX+b)=\sum p_i(ax_i+b)=a\sum p_ix_i+b\sum p_i=aE(X)+b.$

Pour la variance, avec $\mu=E(X)$ , l'écart de $aX+b$ à son espérance est $(ax_i+b)-(a\mu+b)=a(x_i-\mu)$ . Donc

$V(aX+b)=\sum p_i\,a^2(x_i-\mu)^2=a^2V(X).$

En prenant la racine carrée, $\sigma(aX+b)=\sqrt{a^2}\,\sigma(X)=|a|\,\sigma(X)$ .

Espérance et jeux : la mise équitable

L'un des usages de l'espérance au programme est la résolution de problèmes comme la détermination de la mise d'un jeu ¹. Quand on joue, on s'intéresse au gain algébrique : ce qu'on reçoit moins ce qu'on a misé. Il peut être négatif (on perd de l'argent) ou positif.

ExempleFixer la mise d'une loterie

On lance un dé équilibré. Si on obtient 6, on reçoit 12 €. Si on obtient 4 ou 5, on reçoit 3 €. Sinon, on ne reçoit rien. Soit $G$ la somme reçue :

$g_i$ (en €)	0	3	12
$P(G=g_i)$	$\dfrac36$	$\dfrac26$	$\dfrac16$

$E(G)=0\times\frac36+3\times\frac26+12\times\frac16=1+2=3.$

Le jeu est équitable pour une mise de 3 €. Avec une mise de 4 €, l'espérance du gain algébrique vaut $3-4=-1$ € : en répétant la partie un grand nombre de fois, le joueur perd en moyenne 1 € par partie, et l'organisateur gagne autant.

Programmer le calcul

Le programme prévoit aussi la programmation d'un calcul automatique de ces trois indicateurs pour une variable aléatoire ¹. On représente la loi par deux listes de même longueur : les valeurs et leurs probabilités. Voici une version en Python, qui suit les définitions du cours.

MéthodeUn algorithme en Python

from math import sqrt

def esperance(valeurs, probas):
    total = 0
    for x, p in zip(valeurs, probas):
        total = total + p * x
    return total

def variance(valeurs, probas):
    m = esperance(valeurs, probas)
    total = 0
    for x, p in zip(valeurs, probas):
        total = total + p * (x - m) ** 2
    return total

def ecart_type(valeurs, probas):
    return sqrt(variance(valeurs, probas))

Pour la loi du tableau étudié plus haut, ecart_type([0, 1, 2, 3], [0.1, 0.3, 0.4, 0.2]) renvoie une valeur proche de 0,9. L'ordinateur travaille avec des nombres décimaux approchés : le résultat peut s'afficher avec de très petites erreurs, par exemple 0.9000000000000001.

Synthèse et erreurs à éviter

À retenirFormules à connaître par cœur

Notion	Formule
Espérance	$E(X)=\sum p_i x_i$
Variance (définition)	$V(X)=\sum p_i(x_i-E(X))^2$
Variance (calcul)	$V(X)=E(X^2)-E(X)^2$
Écart type	$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
Transformation	$E(aX+b)=aE(X)+b$ ; $\sigma(aX+b)=\lvert a\rvert\sigma(X)$
Jeu équitable	mise $=E(G)$

Exercices corrigés

Exercice 1 Les trois indicateurs d'une loi

★☆☆Environ 8 min

Une variable aléatoire $X$ a pour loi :

$x_i$	$-2$	0	1	4
$P(X=x_i)$	0,2	0,3	0,4	0,1

Calcule l'espérance, la variance et l'écart type de $X$ (arrondi au centième pour l'écart type).

Indice 1

Vérifie d'abord que la somme des probabilités vaut 1.

Indice 2

Calcule $E(X^2)$ en mettant chaque valeur $x_i$ au carré, y compris $-2$ .

Voir la correction pas à pas

Les probabilités sont 0,2 ; 0,3 ; 0,4 ; 0,1. Leur somme vaut 1 : la loi est correcte.
Espérance : $E(X)=(-2)\times0{,}2+0\times0{,}3+1\times0{,}4+4\times0{,}1=-0{,}4+0+0{,}4+0{,}4=0{,}4$ .
Espérance des carrés : $E(X^2)=4\times0{,}2+0\times0{,}3+1\times0{,}4+16\times0{,}1=0{,}8+0+0{,}4+1{,}6=2{,}8$ .
Variance : $V(X)=E(X^2)-E(X)^2=2{,}8-0{,}4^2=2{,}8-0{,}16=2{,}64$ .
Écart type : $\sigma(X)=\sqrt{2{,}64}\approx1{,}62$ .

On obtient $E(X)=0{,}4$ , $V(X)=2{,}64$ et $\sigma(X)\approx1{,}62$ . L'écart type est grand par rapport à l'espérance : la variable est très dispersée, ce qui est cohérent avec des valeurs allant de $-2$ à 4.

Exercice 2 Une urne et une mise équitable

★★☆Environ 10 min

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 1 rouge, 3 vertes et 6 noires. Un joueur tire une boule au hasard. Il reçoit 20 € si elle est rouge, 5 € si elle est verte et rien si elle est noire.

Détermine la loi de la somme reçue $G$ et calcule $E(G)$ .
Quelle mise rend le jeu équitable (en euros) ?
Le joueur mise 4 €. Quelle est l'espérance de son gain algébrique ?

Indice 1

Les probabilités se lisent directement avec le nombre de boules de chaque couleur sur 10.

Indice 2

Un jeu est équitable quand l'espérance du gain algébrique est nulle.

Voir la correction pas à pas

Loi de $G$ : $P(G=20)=\dfrac1{10}$ , $P(G=5)=\dfrac3{10}$ , $P(G=0)=\dfrac6{10}$ . La somme vaut 1.
Espérance : $E(G)=20\times\dfrac1{10}+5\times\dfrac3{10}+0\times\dfrac6{10}=2+1{,}5=3{,}5$ .
Le jeu est équitable si la mise $m$ vérifie $E(G)-m=0$ , donc $m=3{,}5$ €.
Avec une mise de 4 €, le gain algébrique est $G-4$ et son espérance vaut $E(G)-4=3{,}5-4=-0{,}5$ €.

La mise équitable est de 3,50 €. À 4 €, le joueur perd en moyenne 0,50 € par partie sur un grand nombre de parties ; le jeu est défavorable au joueur.

Exercice 3 Changer d'échelle

★★★Environ 12 min

Une variable aléatoire $X$ a pour espérance 12 et pour écart type 3. On pose $Y=2X-5$ .

Calcule $E(Y)$ .
Calcule $V(Y)$ puis $\sigma(Y)$ .
On pose $Z=-X+10$ . Que valent $E(Z)$ et $\sigma(Z)$ ? Compare $\sigma(Z)$ à $\sigma(X)$ .

Indice 1

Utilise $E(aX+b)=aE(X)+b$ et $V(aX+b)=a^2V(X)$ .

Indice 2

Pour $\sigma$ , passe par la variance de $X$ : $V(X)=\sigma(X)^2$ .

Voir la correction pas à pas

Espérance : $E(Y)=2E(X)-5=2\times12-5=19$ .
On a $V(X)=\sigma(X)^2=3^2=9$ .
Variance : $V(Y)=2^2\times V(X)=4\times9=36$ .
Écart type : $\sigma(Y)=\sqrt{36}=6$ , ce qui est aussi $|2|\times3$ .
Pour $Z=-X+10$ : $E(Z)=-12+10=-2$ et $\sigma(Z)=|-1|\times3=3$ .

On obtient $E(Y)=19$ , $V(Y)=36$ et $\sigma(Y)=6$ . Pour $Z$ , $\sigma(Z)=\sigma(X)=3$ : multiplier par $-1$ retourne la loi sans changer son étalement, et ajouter 10 la décale. L'écart type ne dépend que de la valeur absolue du coefficient.

Les questions qu'on se pose

À quoi servent l'espérance et l'écart type dans la vie courante ?

L'espérance donne la valeur moyenne à long terme : c'est elle qui permet de fixer le prix d'un billet de loterie ou de juger si un jeu est favorable. L'écart type mesure le risque ou l'irrégularité autour de cette moyenne. Deux placements peuvent avoir la même rentabilité moyenne et des risques très différents. Ces deux nombres résument une loi entière en deux valeurs ³.

Quelle est la différence entre espérance et moyenne ?

La moyenne s'applique à des données observées, l'espérance à une loi de probabilité théorique. Les deux sont reliées : la loi des grands nombres indique que la moyenne des résultats d'un grand nombre d'expériences identiques se rapproche de l'espérance ³. Les calculs se ressemblent, avec des probabilités à la place des fréquences.

Pourquoi calcule-t-on un carré dans la variance ?

Si on faisait la moyenne des écarts $x_i-\mu$ sans carré, les écarts positifs et négatifs s'annuleraient et on trouverait toujours 0. Le carré rend tous les écarts positifs. Comme il change aussi l'unité, on prend ensuite la racine carrée pour obtenir l'écart type, qui s'exprime dans l'unité de la variable ².

Comment savoir quelle formule de la variance utiliser ?

Si l'espérance est un nombre simple et que les écarts $x_i-\mu$ sont faciles à calculer, la définition marche bien. Dans la plupart des cas, la formule $E(X^2)-E(X)^2$ est plus rapide, surtout avec un tableau. Les deux donnent exactement le même résultat. Si la question demande de « justifier » ou d'utiliser la définition, écris-la d'abord.

Une espérance peut-elle être négative ? Un écart type peut-il être nul ?

Oui pour l'espérance : si les valeurs ou les gains algébriques sont souvent négatifs, elle l'est (cas d'un jeu défavorable au joueur). Un écart type est toujours positif ou nul. Il est nul seulement si la variable ne prend qu'une seule valeur : aucune dispersion, donc aucun hasard sur le résultat.

Sources

Programme de mathématiques de première générale (PDF), Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Écart type, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Espérance mathématique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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Espérance, variance et écart type : cours de 1re spécialité maths

L'essentiel

Pourquoi résumer une loi par deux nombres

L'espérance : la valeur moyenne attendue

La variance : mesurer la dispersion

L'écart type : la dispersion dans la bonne unité

Méthode : tout calculer avec un tableau

Transformer une variable : l'effet de $aX+b$

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Synthèse et erreurs à éviter

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Exercice 1 Les trois indicateurs d'une loi

Exercice 2 Une urne et une mise équitable

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