Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques
Espérance, variance et écart type : quiz de Première
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- L'espérance résume la valeur centrale d'une loi de probabilité : elle se rapproche de la moyenne observée quand on répète l'expérience un très grand nombre de fois 3.
- La variance vaut et mesure la dispersion autour de l'espérance 3.
- L'écart type s'exprime dans la même unité que 2.
- L'espérance n'est pas forcément une valeur que peut prendre 3.
Avant de commencer
Ce quiz couvre les trois notions du programme de Première sur une variable aléatoire : l'espérance, la variance et l'écart type 1. Tu y trouveras des questions de définition, de lecture de notation et des calculs à faire à la main sur des lois simples. Lis chaque explication, même quand ta réponse est juste : elle précise aussi pourquoi l'erreur la plus tentante est fausse.
Quiz
14 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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L'écart type est une mesure de la dispersion d'une distribution de probabilité 2. L'idée de « valeur centrale » correspond à l'espérance, qui est un indicateur de tendance centrale 3 : c'est la confusion la plus fréquente entre les deux notions. Il ne donne ni la valeur la plus probable, ni une probabilité.
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La variance est l'espérance du carré de l'écart entre et son espérance 3. La version sans carré est tentante, mais elle vaut toujours 0 : les écarts positifs et négatifs se compensent, c'est justement pourquoi on élève au carré. Les deux autres formules ne mesurent aucun écart à l'espérance.
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L'écart type est défini comme la racine carrée de la variance, et il se note 2. L'erreur fréquente est de donner la variance comme résultat final d'un exercice qui demande l'écart type : il reste alors une racine carrée à calculer.
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L'espérance est une moyenne pondérée par les probabilités 3 : . L'erreur tentante est de faire la moyenne simple , qui ignore que les valeurs n'ont pas la même probabilité.
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Faux : l'espérance ne correspond pas forcément à une valeur que la variable peut prendre 3. Pour un dé équilibré à six faces, elle vaut , alors qu'aucune face ne porte ce nombre. Penser que l'espérance est « le résultat attendu » à chaque tirage est l'erreur à éviter.
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Le gain algébrique vaut avec la probabilité et avec la probabilité . Donc . En moyenne, on perd € par partie : le jeu est défavorable au joueur. Oublier de retrancher la mise donnerait €, un résultat faux. Utiliser l'espérance pour juger une mise fait partie du programme 1.
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On a . Les écarts à l'espérance sont et , de carrés et . Donc 3. Sans les carrés, les écarts se compenseraient et on trouverait 0, ce qui est absurde pour une variable qui prend deux valeurs différentes.
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L'écart type est la racine carrée de la variance 2 : . Diviser la variance par 2 (soit ) est l'erreur tentante : on ne divise pas, on prend la racine carrée.
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Variance et écart type sont des indicateurs de dispersion autour de l'espérance : plus la variance est petite, plus les valeurs sont concentrées près de l'espérance 3. Près de l'espérance ne veut pas dire près de 0 : une variable peut avoir une petite variance et une espérance égale à 100. « Toutes égales » est un cas extrême, pas une conséquence générale.
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L'écart type est homogène à la variable mesurée 2 : il s'exprime donc en mètres. C'est la variance, avec ses carrés d'écarts, qui s'exprimerait en mètres carrés. Cette propriété est la raison pour laquelle on préfère souvent l'écart type pour interpréter une dispersion.
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D'abord . Les écarts à sont , et , de carrés , et . Donc 3. Si tu oublies de pondérer et additionnes simplement , tu trouves : les probabilités comptent aussi dans la variance.
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La loi des grands nombres permet d'évaluer le résultat moyen obtenu si on exécute un grand nombre d'expériences de même type : c'est ce qui lie l'espérance à l'idée de moyenne 3. L'écart type, lui, décrit la dispersion et ne fixe pas la valeur vers laquelle se stabilise la moyenne.
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Le programme demande de savoir interpréter les notations , , et 1. est la probabilité de l'événement « prend une valeur inférieure ou égale à ». La confondre avec revient à oublier toutes les valeurs strictement plus petites que .
Les questions qu'on se pose
Pourquoi élève-t-on les écarts au carré dans la variance ?
La variance est définie comme l'espérance de 3. Sans le carré, les écarts positifs et négatifs se compenseraient et on obtiendrait toujours 0, ce qui ne dirait rien de la dispersion. Le carré rend tous les écarts positifs. Comme il change aussi l'unité, on prend ensuite la racine carrée pour obtenir l'écart type, homogène à la variable 2.
Quelle différence entre espérance et moyenne ?
La moyenne se calcule sur des résultats observés ; l'espérance se calcule à partir de la loi de probabilité. Elles sont liées : la loi des grands nombres permet d'évaluer le résultat moyen obtenu sur un grand nombre d'expériences de même type 3. Sur peu d'expériences, la moyenne observée peut s'écarter nettement de l'espérance.
À quoi sert l'espérance dans un problème de jeu ?
Elle sert à évaluer le gain moyen sur un grand nombre de parties, donc à décider si une mise est raisonnable. Le programme cite explicitement l'usage de l'espérance dans une résolution de problème, par exemple pour une mise dans un jeu 1. Une espérance de gain négative signale un jeu défavorable au joueur.
Sources
- Programme de mathématiques de première générale (PDF), Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
- Écart type, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
- Espérance mathématique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
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