Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Espérance, variance, écart type : exercices corrigés de 1re

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

L'espérance E(X) est la moyenne pondérée des valeurs de X par leurs probabilités : on multiplie chaque valeur par sa probabilité, puis on additionne.
La variance V(X) est l'espérance des carrés des écarts à E(X) ; l'écart type σ(X) en est la racine carrée.
Un écart type faible signifie que les valeurs restent groupées autour de l'espérance.
Dans un jeu, l'espérance du gain mesure le gain moyen sur un grand nombre de parties ; un jeu est équitable si elle vaut 0.
Méthode sûre : tableau de la loi, vérification que les probabilités somment à 1, puis E, puis V, puis σ.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices te font calculer l'espérance, la variance et l'écart type d'une variable aléatoire, puis utiliser l'espérance pour trancher dans un problème de jeu. Ils sont classés par difficulté croissante : les premiers sont des calculs directs, les derniers demandent de choisir toi-même la bonne démarche. Ces notions figurent au programme de première, avec le calcul d'une espérance, d'une variance et d'un écart type, et l'usage de l'espérance dans un problème comme la mise d'un jeu ¹.

Cherche d'abord seul·e, sur papier, pendant quelques minutes. Ouvre un indice seulement si tu es bloqué·e, puis compare ta rédaction à la correction. Si ton résultat diffère, repère l'étape où tu as divergé plutôt que de recopier la correction.

Pièges à éviter avant de commencer

Les exercices

Exercice 1 Espérance d'une loi donnée

★☆☆Environ 5 min

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs 0, 1 et 2 avec les probabilités suivantes :

$x_i$	0	1	2
$P(X = x_i)$	0,2	0,5	0,3

Vérifie que ce tableau définit bien une loi de probabilité.
Calcule l'espérance $E(X)$ .

Indice 1

Une loi de probabilité a des probabilités positives dont la somme vaut 1.

Indice 2

Multiplie chaque valeur par sa probabilité avant d'additionner.

Voir la correction pas à pas

On additionne les probabilités : $0{,}2 + 0{,}5 + 0{,}3 = 1$ . Elles sont toutes comprises entre 0 et 1 : c'est bien une loi de probabilité.
On écrit la somme pondérée : $E(X) = 0 \times 0{,}2 + 1 \times 0{,}5 + 2 \times 0{,}3$ .
On calcule chaque produit : $0 + 0{,}5 + 0{,}6$ .
On additionne : $E(X) = 1{,}1$ .

$E(X) = 1{,}1$ . Remarque : 1,1 n'est pas une valeur que $X$ peut prendre. C'est normal, l'espérance n'est pas forcément une valeur atteinte par la variable ³.

Exercice 2 Variance et écart type de la même loi

★☆☆Environ 8 min

On reprend la variable $X$ de l'exercice précédent, dont l'espérance est $E(X) = 1{,}1$ .

Calcule la variance $V(X)$ .
En déduis l'écart type $\sigma(X)$ .

Indice 1

Calcule d'abord les écarts $x_i - E(X)$ , puis élève-les au carré.

Indice 2

La variance est la somme des $p_i (x_i - E(X))^2$ .

Voir la correction pas à pas

Écarts à l'espérance : $0 - 1{,}1 = -1{,}1$ ; $1 - 1{,}1 = -0{,}1$ ; $2 - 1{,}1 = 0{,}9$ .
Carrés : $1{,}21$ ; $0{,}01$ ; $0{,}81$ .
Variance, en pondérant : $V(X) = 0{,}2 \times 1{,}21 + 0{,}5 \times 0{,}01 + 0{,}3 \times 0{,}81 = 0{,}242 + 0{,}005 + 0{,}243$ .
On additionne : $V(X) = 0{,}49$ .
L'écart type est la racine carrée de la variance ² : $\sigma(X) = \sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ .

$V(X) = 0{,}49$ et $\sigma(X) = 0{,}7$ . Les valeurs de $X$ s'écartent en moyenne d'environ 0,7 de l'espérance : c'est faible, la loi est resserrée autour de 1,1.

Exercice 3 Un jeu de dé : le gain moyen

★☆☆Environ 8 min

Un joueur paie 2 € pour lancer un dé équilibré à six faces. Si le 6 sort, il reçoit 9 €. Sinon, il ne reçoit rien. On note $G$ le gain net du joueur, en euros (la mise est déjà déduite).

Donne les valeurs prises par $G$ et leurs probabilités.
Calcule $E(G)$ .
Interprète le résultat.

Indice 1

Si le 6 sort, le joueur a payé 2 € et reçu 9 € : que vaut son gain net ?

Indice 2

Si le 6 ne sort pas, il perd sa mise.

Voir la correction pas à pas

Si le 6 sort (probabilité $\frac{1}{6}$ ), le gain net vaut $9 - 2 = 7$ €.
Sinon (probabilité $\frac{5}{6}$ ), le gain net vaut $-2$ €.
Espérance : $E(G) = 7 \times \frac{1}{6} + (-2) \times \frac{5}{6} = \frac{7 - 10}{6}$ .
On simplifie : $E(G) = -\frac{1}{2} = -0{,}5$ €.
Interprétation : la loi des grands nombres relie l'espérance à la moyenne des résultats que l'on observerait en répétant l'expérience très souvent ³. Ici, le joueur perd en moyenne 0,50 € par partie.

$E(G) = -0{,}5$ €. Le jeu est défavorable au joueur. Cela ne dit rien sur une partie isolée, qu'il peut très bien gagner.

Exercice 4 Une probabilité inconnue

★★☆Environ 10 min

Une variable aléatoire $X$ a pour loi :

$x_i$	−1	0	2	4
$P(X = x_i)$	0,1	$a$	0,4	0,2

Détermine la valeur de $a$ .
Calcule $E(X)$ .

Indice 1

Que vaut la somme des probabilités d'une loi ?

Indice 2

Une fois $a$ trouvé, n'oublie pas la valeur négative $-1$ dans l'espérance.

Voir la correction pas à pas

La somme des probabilités vaut 1 : $0{,}1 + a + 0{,}4 + 0{,}2 = 1$ .
On isole $a$ : $a = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$ .
On écrit l'espérance : $E(X) = (-1) \times 0{,}1 + 0 \times 0{,}3 + 2 \times 0{,}4 + 4 \times 0{,}2$ .
On calcule : $-0{,}1 + 0 + 0{,}8 + 0{,}8 = 1{,}5$ .

$a = 0{,}3$ et $E(X) = 1{,}5$ . Quand une probabilité est inconnue, c'est toujours la condition « somme égale à 1 » qui la donne.

Exercice 5 Quelle mise pour un jeu équitable ?

★★☆Environ 12 min

On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. Si c'est un as (4 cartes), le joueur reçoit 12 €. Si c'est un roi (4 cartes), il reçoit 5 €. Dans tous les autres cas, il ne reçoit rien. Le joueur paie une mise de $m$ euros avant le tirage.

On dit que le jeu est équitable lorsque l'espérance du gain net est nulle. Détermine la mise $m$ qui rend le jeu équitable.

Indice 1

Commence par l'espérance du montant reçu, avant de retirer la mise.

Indice 2

Le gain net est le montant reçu moins $m$ : que devient l'espérance ?

Voir la correction pas à pas

Soit $R$ le montant reçu. $P(R = 12) = \frac{4}{32}$ , $P(R = 5) = \frac{4}{32}$ et $P(R = 0) = \frac{24}{32}$ .
Espérance du montant reçu : $E(R) = 12 \times \frac{4}{32} + 5 \times \frac{4}{32} + 0 \times \frac{24}{32} = \frac{48 + 20}{32}$ .
On simplifie : $E(R) = \frac{68}{32} = 2{,}125$ €.
Le gain net vaut $G = R - m$ . Le jeu est équitable si $E(G) = 0$ , c'est-à-dire $E(R) - m = 0$ , donc $m = E(R)$ .
La mise équitable est $m = 2{,}125$ €.

La mise équitable est 2,125 €, soit un peu plus de 2,12 €. En pratique, un organisateur qui veut gagner de l'argent demande une mise supérieure à ce montant. C'est exactement le type de raisonnement que le programme attend quand il parle d'utiliser l'espérance pour la mise d'un jeu ¹.

Exercice 6 Un écart type exact

★★☆Environ 10 min

Lors d'un jeu, le nombre de points $X$ marqués par un joueur vaut 10 avec la probabilité 0,2 et 20 avec la probabilité 0,8.

Calcule l'espérance $E(X)$ .
Calcule la variance $V(X)$ .
Détermine l'écart type $\sigma(X)$ et indique son unité.

Indice 1

Il n'y a que deux valeurs : l'espérance se calcule en deux produits.

Indice 2

Dans la variance, écris bien $(10 - E(X))^2$ et $(20 - E(X))^2$ .

Voir la correction pas à pas

$E(X) = 10 \times 0{,}2 + 20 \times 0{,}8 = 2 + 16 = 18$ .
Écarts à l'espérance : $10 - 18 = -8$ et $20 - 18 = 2$ .
Variance : $V(X) = 0{,}2 \times (-8)^2 + 0{,}8 \times 2^2 = 0{,}2 \times 64 + 0{,}8 \times 4 = 12{,}8 + 3{,}2 = 16$ .
Écart type : $\sigma(X) = \sqrt{16} = 4$ .
L'écart type est de même nature que la variable mesurée ² : il vaut 4 points.

$E(X) = 18$ points, $V(X) = 16$ et $\sigma(X) = 4$ points. L'espérance est proche de 20 car cette valeur est beaucoup plus probable.

Exercice 7 Que devient l'écart type quand on transforme X ?

★★★Environ 15 min

On reprend la variable $X$ des deux premiers exercices (valeurs 0, 1, 2 avec les probabilités 0,2 ; 0,5 ; 0,3, et $\sigma(X) = 0{,}7$ ). On définit la variable $Y = 2X + 5$ .

Donne la loi de $Y$ .
Calcule $E(Y)$ .
Calcule $\sigma(Y)$ directement à partir de la loi de $Y$ .
Compare $\sigma(Y)$ et $\sigma(X)$ . Que constates-tu ?

Indice 1

Remplace chaque valeur de $X$ par $2x + 5$ : les probabilités ne changent pas.

Indice 2

Calcule la variance de $Y$ avec l'espérance de $Y$ , pas celle de $X$ .

Indice 3

Pour la comparaison, calcule le quotient $\sigma(Y) / \sigma(X)$ .

Voir la correction pas à pas

Les valeurs de $Y$ sont $2 \times 0 + 5 = 5$ , $2 \times 1 + 5 = 7$ et $2 \times 2 + 5 = 9$ , avec les mêmes probabilités 0,2 ; 0,5 ; 0,3.
$E(Y) = 5 \times 0{,}2 + 7 \times 0{,}5 + 9 \times 0{,}3 = 1 + 3{,}5 + 2{,}7 = 7{,}2$ .
Écarts à 7,2 : $-2{,}2$ ; $-0{,}2$ ; $1{,}8$ . Carrés : $4{,}84$ ; $0{,}04$ ; $3{,}24$ .
$V(Y) = 0{,}2 \times 4{,}84 + 0{,}5 \times 0{,}04 + 0{,}3 \times 3{,}24 = 0{,}968 + 0{,}02 + 0{,}972 = 1{,}96$ .
$\sigma(Y) = \sqrt{1{,}96} = 1{,}4$ .
Comparaison : $\dfrac{1{,}4}{0{,}7} = 2$ . L'écart type de $Y$ est le double de celui de $X$ .

$\sigma(Y) = 1{,}4$ . Sur cet exemple, multiplier la variable par 2 double l'écart type, tandis qu'ajouter 5 décale toutes les valeurs sans changer la dispersion (l'espérance passe de 1,1 à 7,2, soit $2 \times 1{,}1 + 5$ ). C'est une observation sur un cas, que tu peux retrouver en général en réfléchissant à l'effet du décalage et du facteur sur les écarts.

Exercice 8 Deux jeux, même gain moyen

★★★Environ 15 min

Deux jeux sont proposés, sans mise.

Jeu A : on gagne 0 € ou 100 €, chacun avec la probabilité 0,5.
Jeu B : on gagne 40 € ou 60 €, chacun avec la probabilité 0,5.

Calcule l'espérance du gain pour chaque jeu.
Calcule l'écart type du gain pour chaque jeu.
Calcule la différence $\sigma_A - \sigma_B$ et explique ce qu'elle apporte pour choisir un jeu.

Indice 1

Si les deux espérances sont égales, c'est la dispersion qui départage les jeux.

Indice 2

Quand l'espérance vaut 50, les écarts sont faciles : $0 - 50$ , $100 - 50$ , etc.

Voir la correction pas à pas

Jeu A : $E(G_A) = 0 \times 0{,}5 + 100 \times 0{,}5 = 50$ €.
Jeu B : $E(G_B) = 40 \times 0{,}5 + 60 \times 0{,}5 = 50$ €. Les deux jeux ont le même gain moyen.
Jeu A : $V(G_A) = 0{,}5 \times (0 - 50)^2 + 0{,}5 \times (100 - 50)^2 = 1250 + 1250 = 2500$ , donc $\sigma_A = 50$ €.
Jeu B : $V(G_B) = 0{,}5 \times (40 - 50)^2 + 0{,}5 \times (60 - 50)^2 = 50 + 50 = 100$ , donc $\sigma_B = 10$ €.
Différence : $\sigma_A - \sigma_B = 50 - 10 = 40$ €.
Interprétation : variance et écart type mesurent l'étalement des valeurs autour de l'espérance, et un étalement faible signifie des résultats groupés près d'elle ³. Le jeu B est donc beaucoup plus régulier que le jeu A.

$\sigma_A - \sigma_B = 40$ €. À espérance égale, l'écart type renseigne sur le risque : A est un jeu de tout ou rien, B donne presque toujours un gain proche de 50 €. Le choix dépend alors de ce que tu cherches, la sécurité ou la chance de gros gain.

Les questions qu'on se pose

Peut-on trouver une variance négative ?

Non. La variance est l'espérance de carrés d'écarts à l'espérance ³, donc une somme de termes positifs ou nuls pondérés par des probabilités positives. Si tu trouves un résultat négatif, vérifie que tu as bien élevé les écarts au carré avant de les pondérer. Une variance nulle signifie que la variable est constante.

À quoi sert l'écart type si la variance existe déjà ?

L'écart type est la racine carrée de la variance ² et il est homogène à la variable mesurée ². Si X est en euros, la variance est en euros au carré, ce qui ne parle pas à l'intuition, alors que l'écart type est en euros et se compare directement aux valeurs de X et à son espérance.

Un jeu à espérance positive est-il toujours gagnant ?

Non. L'espérance décrit le gain moyen que l'on obtiendrait sur un grand nombre de parties, d'après la loi des grands nombres ³. Sur une seule partie, ou un petit nombre, le résultat peut s'en écarter beaucoup. C'est précisément la dispersion, mesurée par l'écart type, qui dit à quel point.

Sources

Programme de mathématiques de première générale (PDF), Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Écart type, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Espérance mathématique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Exercice 1 Espérance d'une loi donnée

Exercice 2 Variance et écart type de la même loi

Exercice 3 Un jeu de dé : le gain moyen

Exercice 4 Une probabilité inconnue

Exercice 5 Quelle mise pour un jeu équitable ?

Exercice 6 Un écart type exact

Exercice 7 Que devient l'écart type quand on transforme X ?

Exercice 8 Deux jeux, même gain moyen

Les questions qu'on se pose

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