Indépendance de deux événements : cours de Première

Tu lances un dé, puis une pièce. Le résultat du dé change-t-il tes chances d'obtenir pile ? Ton intuition répond non. Tu tires deux cartes dans un paquet sans remettre la première : la première carte change-t-elle les chances pour la seconde ? Cette fois, oui. Dans ce chapitre, on donne un sens précis à cette différence : c'est la notion d'indépendance.

Tu as déjà vu les probabilités conditionnelles : $P_A(B)$ mesure la probabilité de $B$ quand on sait que $A$ est réalisé. L'indépendance est le cas particulier où cette information ne sert à rien. Le programme de Première place d'ailleurs cette notion à côté des arbres pondérés, de la règle du produit et de la succession de deux épreuves indépendantes ¹.

Dans ce cours, tu vas :

• définir l'indépendance de deux événements avec une égalité à vérifier ;
• faire le lien avec les probabilités conditionnelles ;
• éviter la confusion classique avec les événements incompatibles ;
• utiliser l'indépendance pour calculer dans un arbre pondéré ;
• t'entraîner sur des exercices corrigés.

Cette définition est une égalité à vérifier. Elle ne dépend pas de ce que tu ressens : deux événements qui semblent liés peuvent être indépendants, et réciproquement. Pour savoir si $A$ et $B$ sont indépendants, tu calcules les trois nombres $P(A)$, $P(B)$ et $P(A\cap B)$, puis tu compares $P(A\cap B)$ au produit $P(A)\times P(B)$.

Rappelons la notation vue dans le chapitre précédent : lorsque $P(A)$ est non nulle, $P_A(B)$ désigne la probabilité de $B$ sachant $A$ ¹, et on a

$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.$

Cette propriété donne le sens concret de l'indépendance : l'information « $A$ est réalisé » ne modifie pas la probabilité de $B$. Si tu sais que le dé est tombé sur un nombre pair, tes chances d'obtenir pile à la pièce restent exactement de $\dfrac12$.

C'est la confusion la plus fréquente. Deux notions s'opposent :

• incompatibles : $A\cap B=\varnothing$, c'est-à-dire que $A$ et $B$ ne peuvent pas se réaliser ensemble ;
• indépendants : $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

L'idée à retenir : des événements incompatibles sont au contraire très dépendants. Si tu sais que $A$ s'est réalisé, tu sais avec certitude que $B$ ne s'est pas réalisé, donc $P_A(B)=0$. L'information sur $A$ change complètement la probabilité de $B$.

Les documents d'accompagnement du programme insistent sur un point : l'indépendance fait partie d'un modèle. Elle peut être posée comme hypothèse de départ, ou être la conséquence d'autres hypothèses. Quand on applique ensuite le modèle à une situation réelle, par exemple deux dés physiques, l'indépendance fait partie de ce qu'on suppose sur la situation ¹.

Concrètement, dans un énoncé, tu rencontres deux cas :

1. L'énoncé dit que les épreuves sont indépendantes (« on lance deux fois de suite », « de manière indépendante »). Tu peux alors multiplier directement, sans rien vérifier.
2. L'énoncé donne les probabilités de $A$, de $B$ et de $A\cap B$ (par un tableau, un dénombrement). Tu dois alors tester l'égalité pour décider.

Le programme prévoit de représenter la répétition de deux épreuves indépendantes par un arbre pondéré, et de calculer avec la règle du produit et la règle de la somme ¹. C'est l'application principale de l'indépendance.

Le programme évoque aussi des exemples de succession de plusieurs épreuves indépendantes, pas seulement deux ¹. Le principe reste le même : on multiplie le long d'un chemin. Pour trois tirs indépendants de probabilité de réussite $p$, la probabilité de les rater tous les trois est $(1-p)^3$, donc celle d'en réussir au moins un est $1-(1-p)^3$.

Quand on a plus de deux événements, il faut une définition plus exigeante que l'indépendance de chaque couple. Les ouvrages de niveau supérieur précisent que l'indépendance deux à deux n'entraîne pas l'indépendance mutuelle ³. Au programme de Première, tu retiens surtout le cas de deux événements et celui de successions d'épreuves décrites par un arbre.