Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Indépendance de deux événements : exercices corrigés de 1re

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ ³.
Pour tester l'indépendance, on calcule les trois nombres $P(A)$ , $P(B)$ et $P(A\cap B)$ , puis on compare $P(A\cap B)$ au produit.
Si $A$ et $B$ sont indépendants, leurs contraires le sont aussi, et on peut combiner $A$ ou $\overline{A}$ avec $B$ ou $\overline{B}$ par un produit ³.
Dans un arbre pondéré qui représente deux épreuves indépendantes, les probabilités du second niveau ne dépendent pas de la branche choisie au premier ¹.
Indépendant ne veut pas dire incompatible : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.

Comment utiliser ces exercices

Cette page te fait pratiquer l'indépendance de deux événements. Les exercices montent en difficulté : les premiers appliquent directement la définition, les derniers demandent de choisir une stratégie (passer par le contraire, résoudre une équation, repérer une situation où l'indépendance est fausse). Cherche chaque exercice sur papier avant d'ouvrir les indices, puis compare avec la correction étape par étape.

Les exercices

Exercice 1 Tester l'indépendance avec le produit

★☆☆Environ 5 min

Dans une expérience aléatoire, on considère deux événements $A$ et $B$ tels que $P(A)=0{,}4$ , $P(B)=0{,}5$ et $P(A\cap B)=0{,}2$ .

Calcule $P(A)\times P(B)$ , puis dis si $A$ et $B$ sont indépendants.

Indice 1

Compare $P(A\cap B)$ au produit $P(A)\times P(B)$ , pas à la somme.

Voir la correction pas à pas

On calcule le produit : $P(A)\times P(B)=0{,}4\times 0{,}5=0{,}2$ .
On compare avec $P(A\cap B)=0{,}2$ : les deux nombres sont égaux.
Par définition, $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ , donc $A$ et $B$ sont indépendants.

Le produit vaut $0{,}2$ et il est égal à $P(A\cap B)$ : les événements sont indépendants. Avec $P(A\cap B)=0{,}25$ , ils ne l'auraient pas été.

Exercice 2 Probabilité d'une réunion

★☆☆Environ 6 min

Les événements $A$ et $B$ sont indépendants, avec $P(A)=0{,}3$ et $P(B)=0{,}6$ .

Calcule $P(A\cup B)$ .

Indice 1

Commence par calculer $P(A\cap B)$ grâce à l'indépendance.

Indice 2

Utilise ensuite $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ .

Voir la correction pas à pas

Comme $A$ et $B$ sont indépendants, $P(A\cap B)=0{,}3\times 0{,}6=0{,}18$ .
On applique la formule de la réunion : $P(A\cup B)=0{,}3+0{,}6-0{,}18$ .
On calcule : $P(A\cup B)=0{,}72$ .

$P(A\cup B)=0{,}72$ . Retiens l'enchaînement : l'indépendance donne l'intersection, et l'intersection permet d'obtenir la réunion.

Exercice 3 Un dé et une pièce

★☆☆Environ 6 min

On lance un dé équilibré à six faces et, séparément, une pièce équilibrée. Le résultat de la pièce ne dépend pas de celui du dé.

Calcule la probabilité d'obtenir un $6$ avec le dé et « face » avec la pièce. Donne le résultat sous forme de fraction irréductible, puis sa valeur décimale arrondie au millième.

Indice 1

Note $A$ : « le dé donne 6 » et $B$ : « la pièce donne face ». Ces deux événements portent sur deux épreuves distinctes.

Indice 2

La situation correspond à une succession de deux épreuves indépendantes, que le programme représente par un arbre ¹.

Voir la correction pas à pas

On pose $A$ : « le dé donne $6$ » et $B$ : « la pièce donne face ». Alors $P(A)=\dfrac{1}{6}$ et $P(B)=\dfrac{1}{2}$ .
Les deux lancers sont indépendants, donc $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ .
On calcule : $P(A\cap B)=\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{12}$ .
En décimal : $\dfrac{1}{12}\approx 0{,}083$ .

La probabilité est $\dfrac{1}{12}\approx 0{,}083$ . Sur un arbre, c'est le produit des probabilités le long de la branche « $6$ puis face ».

Exercice 4 Deux dés : le piège de la somme

★★☆Environ 10 min

On lance deux dés équilibrés à six faces, un rouge et un bleu. On note $A$ : « le dé rouge donne $6$ » et $B$ : « la somme des deux dés vaut $7$ ».

Calcule $P(A)$ et $P(B)$ .
Calcule $P(A\cap B)$ , la probabilité que le dé rouge donne $6$ et que la somme vaille $7$ .
$A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Indice 1

L'univers contient $36$ issues équiprobables, les couples (rouge ; bleu).

Indice 2

Pour $B$ , liste les couples dont la somme vaut $7$ : $(1;6)$ , $(2;5)$ , … Combien y en a-t-il ?

Voir la correction pas à pas

L'univers compte $36$ couples équiprobables. $A$ contient les $6$ couples $(6\,;\,b)$ , donc $P(A)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$ .
Les couples de somme $7$ sont $(1;6)$ , $(2;5)$ , $(3;4)$ , $(4;3)$ , $(5;2)$ , $(6;1)$ . Il y en a $6$ , donc $P(B)=\dfrac{1}{6}$ .
Un seul couple réalise $A$ et $B$ : $(6;1)$ . Donc $P(A\cap B)=\dfrac{1}{36}$ .
On calcule $P(A)\times P(B)=\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}$ , qui est égal à $P(A\cap B)$ .
Conclusion : $A$ et $B$ sont indépendants.

$P(A\cap B)=\dfrac{1}{36}\approx 0{,}028$ et $A$ et $B$ sont indépendants, même si la somme dépend en apparence du dé rouge. Avec une somme égale à $12$ , l'indépendance serait fausse : essaie pour t'entraîner.

Exercice 5 Les deux événements contraires

★★☆Environ 8 min

Les événements $A$ et $B$ sont indépendants, avec $P(A)=0{,}7$ et $P(B)=0{,}2$ .

Donne $P(\overline{A})$ et $P(\overline{B})$ .
Calcule $P(\overline{A}\cap\overline{B})$ .
Calcule $P(A\cap\overline{B})$ .

Indice 1

Si $A$ et $B$ sont indépendants, $\overline{A}$ et $\overline{B}$ le sont aussi ³.

Indice 2

Utilise $P(\overline{A})=1-P(A)$ .

Voir la correction pas à pas

On a $P(\overline{A})=1-0{,}7=0{,}3$ et $P(\overline{B})=1-0{,}2=0{,}8$ .
Les contraires de deux événements indépendants sont indépendants : $P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}3\times 0{,}8=0{,}24$ .
De la même façon, $P(A\cap\overline{B})=0{,}7\times 0{,}8=0{,}56$ .

$P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}24$ et $P(A\cap\overline{B})=0{,}56$ . Contrôle utile : $P(A\cup B)=1-P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}76$ , ce que confirme $0{,}7+0{,}2-0{,}14=0{,}76$ .

Exercice 6 Deux tirs au but

★★☆Environ 10 min

Une joueuse marque un penalty avec la probabilité $0{,}8$ . Elle tire deux penalties de suite, et on suppose les deux tirs indépendants.

Dessine l'arbre pondéré de la situation.
Calcule la probabilité qu'elle marque les deux fois.
Calcule la probabilité qu'elle marque exactement un penalty sur les deux.

Indice 1

Sur l'arbre, les probabilités du second tir sont les mêmes quelle que soit l'issue du premier.

Indice 2

Pour « exactement un », il y a deux branches : réussite puis échec, échec puis réussite.

Voir la correction pas à pas

Premier niveau de l'arbre : réussite (R) avec $0{,}8$ , échec (E) avec $0{,}2$ . Second niveau : les mêmes probabilités sous chaque branche, car les tirs sont indépendants.
Deux réussites : $P(RR)=0{,}8\times 0{,}8=0{,}64$ (règle du produit le long d'une branche ¹).
Exactement une réussite : on additionne les branches $RE$ et $ER$ (règle de la somme ¹).
$P(RE)=0{,}8\times 0{,}2=0{,}16$ et $P(ER)=0{,}2\times 0{,}8=0{,}16$ .
Donc $P(\text{exactement un})=0{,}16+0{,}16=0{,}32$ .

Elle marque deux fois avec la probabilité $0{,}64$ et exactement une fois avec la probabilité $0{,}32$ . Il reste $0{,}04$ pour deux échecs, et $0{,}64+0{,}32+0{,}04=1$ .

Exercice 7 Trouver une probabilité inconnue

★★★Environ 12 min

Les événements $A$ et $B$ sont indépendants. On sait que $P(A)=0{,}5$ et $P(A\cup B)=0{,}8$ .

Détermine $P(B)$ .

Indice 1

Pose $x=P(B)$ et exprime $P(A\cap B)$ en fonction de $x$ .

Indice 2

Remplace dans $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ puis résous l'équation.

Voir la correction pas à pas

On pose $x=P(B)$ . Par indépendance, $P(A\cap B)=0{,}5\,x$ .
La formule de la réunion donne $0{,}8=0{,}5+x-0{,}5\,x$ .
On simplifie : $0{,}8=0{,}5+0{,}5\,x$ , donc $0{,}5\,x=0{,}3$ .
On obtient $x=0{,}6$ .
Vérification : $P(A\cap B)=0{,}3$ et $0{,}5+0{,}6-0{,}3=0{,}8$ .

$P(B)=0{,}6$ . L'indépendance transforme une inconnue d'intersection en simple produit, ce qui ramène le problème à une équation du premier degré.

Exercice 8 Au moins un succès en trois essais

★★★Environ 12 min

Un jeu de grattage gagne avec la probabilité $0{,}1$ à chaque ticket. Léa achète trois tickets ; on suppose les résultats indépendants d'un ticket à l'autre.

Calcule la probabilité qu'elle gagne au moins une fois.

Indice 1

Il est plus rapide de passer par l'événement contraire.

Indice 2

Le contraire de « au moins une victoire » est « aucune victoire ».

Voir la correction pas à pas

On note $G$ : « Léa gagne au moins une fois ». Son contraire $\overline{G}$ est « les trois tickets perdent ».
Chaque ticket perd avec la probabilité $1-0{,}1=0{,}9$ .
Les trois tickets sont indépendants, donc $P(\overline{G})=0{,}9\times 0{,}9\times 0{,}9=0{,}729$ .
On en déduit $P(G)=1-0{,}729=0{,}271$ .

La probabilité de gagner au moins une fois est $0{,}271$ . Ce raisonnement « contraire puis produit » est l'un des plus utiles du chapitre : il remplace une longue somme de branches par un seul calcul.

Exercice 9 Un tirage sans remise : indépendance fausse

★★★Environ 14 min

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules bleues. On tire deux boules l'une après l'autre, sans remise. On note $R_1$ : « la première boule est rouge » et $R_2$ : « la seconde boule est rouge ».

Calcule $P(R_1\cap R_2)$ .
Calcule $P(R_2)$ avec la formule des probabilités totales.
$R_1$ et $R_2$ sont-ils indépendants ?

Indice 1

Pour $P(R_1\cap R_2)$ , multiplie $P(R_1)$ par la probabilité de $R_2$ sachant $R_1$ .

Indice 2

Pour $P(R_2)$ , sépare selon que la première boule est rouge ou bleue.

Indice 3

Compare $P(R_1\cap R_2)$ à $P(R_1)\times P(R_2)$ .

Voir la correction pas à pas

$P(R_1)=\dfrac{3}{5}$ . Si la première boule est rouge, il reste $2$ rouges sur $4$ boules : $P_{R_1}(R_2)=\dfrac{2}{4}$ .
Donc $P(R_1\cap R_2)=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{10}=0{,}3$ .
Si la première boule est bleue, il reste $3$ rouges sur $4$ : $P_{\overline{R_1}}(R_2)=\dfrac{3}{4}$ .
Probabilités totales : $P(R_2)=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{3}{5}$ .
On calcule $P(R_1)\times P(R_2)=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{25}=0{,}36$ .
Comme $0{,}3\neq 0{,}36$ , on a $P(R_1\cap R_2)\neq P(R_1)\times P(R_2)$ : les événements ne sont pas indépendants.

$P(R_1\cap R_2)=0{,}3$ , alors que le produit vaudrait $0{,}36$ : la couleur de la première boule modifie les chances de la seconde. Avec remise, les deux tirages seraient au contraire indépendants et on aurait $\dfrac{9}{25}$ .

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si deux événements sont indépendants dans un exercice ?

Deux cas se présentent. Soit l'énoncé l'affirme (« les tirs sont indépendants », « le résultat de l'un ne dépend pas de l'autre ») et tu utilises directement le produit. Soit il te demande de le montrer, et tu calcules $P(A)$ , $P(B)$ et $P(A\cap B)$ pour vérifier si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ ³. Une seule égalité fausse suffit à conclure que les événements ne sont pas indépendants.

Quelle différence entre événements indépendants et événements incompatibles ?

Deux événements sont incompatibles lorsqu'ils ne peuvent pas se produire ensemble, soit $A\cap B=\emptyset$ . Deux événements sont indépendants lorsque $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ ³. Si $P(A)>0$ et $P(B)>0$ , des événements incompatibles ont une intersection de probabilité nulle, alors que le produit est strictement positif : ils ne sont donc jamais indépendants. Savoir que l'un est réalisé t'apprend quelque chose sur l'autre (il ne peut pas l'être), ce qui est l'inverse de l'indépendance.

Dans un arbre pondéré, comment reconnaître deux épreuves indépendantes ?

Regarde les branches du second niveau : si leurs probabilités sont les mêmes sous chaque branche du premier niveau, les deux épreuves sont indépendantes. Le programme parle d'une succession de deux épreuves indépendantes représentée par un arbre ¹. Dès que les probabilités du second niveau changent selon la branche (tirage sans remise, par exemple), la situation est conditionnelle et l'indépendance est perdue.

Sources

Ressources accompagnement — Probabilités et indépendance (document de formation), Éduscol — Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Programme de mathématiques Première générale (PDF officiel), Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 6 novembre 2026.
Leçon 266 : Utilisation de la notion d'indépendance en probabilités, CNRS — Mathématiques. Consulté le 6 novembre 2026.
Indépendance, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Indépendance (politique), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Exercice 1 Tester l'indépendance avec le produit

Exercice 2 Probabilité d'une réunion

Exercice 3 Un dé et une pièce

Exercice 4 Deux dés : le piège de la somme

Exercice 5 Les deux événements contraires

Exercice 6 Deux tirs au but

Exercice 7 Trouver une probabilité inconnue

Exercice 8 Au moins un succès en trois essais

Exercice 9 Un tirage sans remise : indépendance fausse

Les questions qu'on se pose

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