Indépendance de deux événements : fiche de révision de 1re
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Deux événements A et B sont indépendants si P(A∩B)=P(A)×P(B).
Si P(A)=0, cela revient à PA(B)=P(B) : savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité de B.
Indépendant ne veut pas dire incompatible : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.
Si A et B sont indépendants, A et B le sont aussi, ainsi que A et B.
Dans un arbre pondéré, pour deux épreuves indépendantes, les probabilités du second niveau ne dépendent pas de la branche choisie au premier.
L'essentiel à retenir
Tu connais déjà les probabilités conditionnelles : PA(B) mesure la probabilité de B quand on sait que A est réalisé. L'indépendance décrit le cas le plus simple : la connaissance de A n'apporte rien sur B. Le programme de Première générale place cette notion juste après les probabilités conditionnelles, avec la règle du produit et les arbres pondérés 2.
Tester l'indépendance : méthode et exemple
Les pièges à éviter
Indépendance et événements contraires
Démonstration · Preuve pour $A$ et $\overline{B}$
Les événements A∩B et A∩B sont incompatibles et leur réunion est A. Donc
La définition est vérifiée. On obtient les autres cas en échangeant les rôles.
Épreuves indépendantes et arbres pondérés
Le programme étudie la succession de deux épreuves indépendantes et leur représentation par un arbre pondéré, avec la règle du produit et la règle de la somme 2. Dans un tel arbre, les probabilités écrites sur les branches du second niveau sont les mêmes quel que soit le résultat de la première épreuve : c'est ce qui traduit l'indépendance.
Questions flash
5 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
La définition est P(A∩B)=P(A)×P(B). L'égalité P(A∩B)=0 décrit des événements incompatibles, ce qui est une tout autre situation ; la somme et la réunion n'interviennent pas dans la définition.
Faux. Comme A∩B=∅, on a P(A∩B)=0, alors que P(A)×P(B) est non nul. L'égalité de la définition est fausse : ces événements sont dépendants. L'erreur tentante vient de l'idée que « n'avoir rien en commun » signifie « être indépendants ».
Par indépendance, P(A∩B)=0,4×0,5=0,2. Additionner donnerait 0,9, ce qui est impossible pour une intersection plus petite que chacun des deux événements.
Comme P(A∩B)=P(A)PA(B), l'égalité P(A∩B)=P(A)P(B) équivaut à PA(B)=P(B). Écrire PA(B)=P(A) mélange les rôles de A et de B.
Avec remise, les tirages sont indépendants : 0,2×0,2=0,04. La valeur 0,4 vient d'une addition à la place d'un produit ; 0,2 serait la probabilité d'un seul tirage rouge.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si deux événements sont indépendants dans un exercice ?
Deux cas. Soit l'énoncé le dit ou le modélise (tirages avec remise, lancers successifs d'un dé) et tu utilises directement le produit. Soit on te demande de le vérifier : tu calcules P(A), P(B) et P(A∩B), puis tu compares P(A∩B) à P(A)×P(B).
Quelle différence entre événements indépendants et événements incompatibles ?
Des événements incompatibles n'ont aucune issue commune : P(A∩B)=0. Des événements indépendants vérifient P(A∩B)=P(A)P(B). Si les probabilités sont non nulles, les deux propriétés s'excluent : incompatibles implique dépendants.
L'indépendance sert-elle dans les arbres pondérés ?
Oui. Pour une succession de deux épreuves indépendantes, l'arbre porte les mêmes probabilités au second niveau sur toutes les branches, et la probabilité d'un chemin est le produit de ses branches 2.